Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés de l'addition et de la multiplication des vecteurs.
On commence par rappeler qu’un vecteur est une quantité définie par une norme, une direction et un sens. Un vecteur peut être représenté dans un espace approprié par un segment orienté avec une longueur spécifique. Cela signifie que l’on peut considérer les vecteurs comme définissant un mouvement, se déplaçant dans une direction et un sens donnés pour une distance spécifiée.
Cette représentation permet d’additionner deux vecteurs ; si les deux vecteurs peuvent être considérés comme un mouvement dans une direction et un sens donnés pour une distance spécifiée, leur somme peut être considérée comme la combinaison des deux mouvements.
En deux dimensions, on peut choisir un espace où l’on peut représenter la norme et le sens en fonction d’une variation horizontale et verticale. Dans cet espace, le vecteur a une composante horizontale de et une composante verticale de . On peut le concevoir comme un déplacement de unités horizontalement et un déplacement de unités verticalement.
Cela signifie que l’on peut additionner deux vecteurs en considérant leurs composantes. Graphiquement, la somme de deux vecteurs et est le déplacement combiné. Par conséquent, on peut tracer le point final du premier vecteur comme le point initial du deuxième vecteur. Alors, la somme des vecteurs a le point initial du premier vecteur et le point final du deuxième vecteur, comme le montre la figure suivante.
Comme le vecteur représente le déplacement de et , il a une composante horizontale égale à la somme des composantes horizontales de et et une composante verticale égale à la somme des composantes verticales de et . Cela nous donne ce qui suit.
Théorème : Addition de vecteurs en deux dimensions
Pour tous vecteurs en deux dimensions et ,
Comme la somme de deux vecteurs quelconques en deux dimensions est aussi un vecteur en deux dimensions, on peut dire que l’addition de vecteurs en deux dimensions est fermée. C’est ce que l’on appelle parfois la propriété de fermeture de l’addition de vecteurs.
Cette notion s’étend à des dimensions plus élevées mais on va uniquement étudier des vecteurs en deux dimensions dans le cadre de cette fiche explicative.
On peut aussi définir la multiplication par un nombre réel d’un vecteur comme la multiplication par un nombre réel de ses composantes. Graphiquement, la multiplication d’un vecteur par le réel est une dilatation du vecteur d’un facteur .
Théorème : Multiplication de vecteurs par un nombre réel en deux dimensions
Pour tout vecteur et tout nombre réel ,
Voyons comment utiliser ces définitions pour répondre à une question impliquant une propriété de l’addition de vecteurs.
Exemple 1: Commutativité de l’addition de vecteurs
Complétez ce qui suit : .
Réponse
On commence par simplifier le membre gauche de l’équation. Pour déterminer la somme de deux vecteurs, on rappelle que pour et
alors,
Dans ce cas, et ; par conséquent,
Cela est égal au membre droit de l’équation donnée, on appelle alors le vecteur inconnu .
On peut alors simplifier le membre de droite de l’équation donnée :
Égaliser les deux équations donne
Pour que deux vecteurs soient égaux, leurs composantes correspondantes doivent être égales. Définir l’égalité des composantes donne deux équations :
On peut les résoudre pour voir que et , donc le vecteur inconnu est
Il existe une deuxième méthode pour montrer cela. On commence par additionner les vecteurs du membre gauche de l’équation :
Ensuite, on utilise la commutativité de l’addition :
Enfin, on peut utiliser l’addition de vecteurs :
Par conséquent, le vecteur inconnu est .
La deuxième méthode ci-dessus peut être généralisée à deux vecteurs quelconques :
En d’autres termes, pour tous vecteurs en deux dimensions et ,
C’est ce que l’on appelle la commutativité de l’addition de vecteurs. Une interprétation graphique de cette propriété est donnée dans le schéma suivant.
Si et sont non nuls, alors on peut tracer ces vecteurs comme les côtés d’un parallélogramme. Le vecteur de la diagonale de ce parallélogramme peut alors représenter ou , donc ces expressions doivent être égales.
On doit envisager le cas où l’un, ou les deux, de ces deux vecteurs est le vecteur nul. Si , alors on peut montrer que
Par conséquent,
C’est ce qu’on appelle la propriété de l’élément neutre pour l’addition, car l’addition du vecteur nul ne change pas le vecteur.
On peut également démontrer des propriétés pour la multiplication par un nombre réel. Par exemple, pour tout vecteur ,
Par conséquent,
C’est ce qu’on appelle la propriété de l’élément neutre pour la multiplication, car la multiplication d’un vecteur par le réel 1 n’affecte pas sa norme, sa direction ou son sens.
L’addition des vecteurs et la multiplication par un nombre réel ont de nombreuses propriétés en deux dimensions. Nous n’allons pas toutes les démontrer ; elles peuvent cependant toutes être déduites de l’étude des composantes des vecteurs.
Théorème : Propriétés de l’addition de vecteur et de la multiplication par un nombre réel en deux dimensions
Pour tous vecteurs , , et pour tous nombres réels et , on a ce qui suit.
- Propriétés de l’addition de vecteurs :
- Propriétés de la multiplication de vecteurs par un nombre réel :
Toutes ces propriétés sont vraies pour des vecteurs de dimensions supérieures à deux et démontrables de manière algébrique. Étudions maintenant un exemple illustrant comment utiliser ces propriétés pour évaluer une expression impliquant des vecteurs.
Exemple 2: Simplifier une expression vectorielle à l’aide des propriétés des opérations vectorielles
Sachant que et , trouvez .
Réponse
On peut directement répondre à cette question en utilisant les propriétés de l’addition de vecteurs. On utilise d’abord la commutativité de l’addition de vecteurs pour réorganiser l’expression. Elle stipule que pour tous vecteurs et ,
En appliquant cela à l’expression, on obtient
On utilise ensuite la propriété de l’opposé pour l’addition de vecteurs pour simplifier l’expression. Elle stipule que pour tout vecteur ,
En appliquant cela à l’expression avec l’associativité de l’addition de vecteurs, on obtient
Enfin, on utilise la propriété de l’élément neutre pour l’addition qui stipule que pour tout vecteur ,
Par conséquent,
Une deuxième méthode consiste à travailler avec les composantes de et :
On distribue le signe négatif du vecteur en multipliant toutes ses composantes par :
On trouve maintenant la somme des vecteurs en additionnant leurs composantes correspondantes :
Dans notre prochain exemple, nous allons voir une application de l’associativité de l’addition de vecteurs. La méthode d’addition de ces vecteurs en déterminant la somme de leurs composantes correspondantes peut être généralisée pour montrer que l’associativité est vraie pour tous vecteurs.
Exemple 3: Vérifier l’associativité de l’addition de vecteurs en deux dimensions
Soient , et .
- Trouvez .
- Trouvez .
- Est-ce que est égal à ?
Réponse
Partie 1
Pour trouver la somme de ces vecteurs, on ajoute les composantes correspondantes :
L’évaluation de l’expression entre parenthèses donne
L’addition des composantes correspondantes de ces vecteurs donne
Partie 2
Pour commencer,
L’évaluation de l’expression entre parenthèses donne
L’addition des composantes correspondantes de ces vecteurs donne
Partie 3
On a montré que ces deux expressions se simplifient pour donner le même vecteur . Il s’agit d’un exemple de l’associativité de l’addition de vecteurs. On peut utiliser cet exemple pour généraliser cette propriété.
Soient , et .
Alors
On peut alors utiliser l’associativité de l’addition pour réécrire ce vecteur :
Par conséquent, pour tous vecteurs en deux dimensions , et ,
Dans notre prochain exemple, nous allons décrire une propriété de la multiplication par un nombre réel et prouver que cette propriété est vraie pour tous vecteurs et tout nombre réel.
Exemple 4: Décrire une propriété de la multiplication par un nombre réel
Quelle est la propriété qui montre que ?
Réponse
Cette propriété est appelée la distributivité de la multiplication par un nombre réel par rapport à l’addition de vecteurs. Elle stipule que pour tous vecteurs et et pour tout nombre réel ,
On peut la démontrer en considérant les composantes de et :
Ensuite, pour multiplier le vecteur par un nombre réel , on multiplie chaque composante par , ce qui donne
On sait ensuite que la multiplication est distributive par rapport à l’addition :
On peut donc le réécrire comme
Cette propriété est appelée distributivité de la multiplication par un nombre réel par rapport à l’addition.
Dans l’exemple qui suit, nous allons utiliser les propriétés des vecteurs pour déterminer un vecteur inconnu à partir d’une équation vectorielle.
Exemple 5: Vérifier la distributivité de la multiplication par un nombre réel par rapport à l’addition de vecteurs
Complétez ce qui suit : .
Réponse
On commence par simplifier le membre gauche de l’équation. On utilise d’abord la distributivité de la multiplication par un nombre réel par rapport à l’addition de vecteurs :
On peut alors évaluer la multiplication par le nombre réel :
En l’égalisant au membre gauche de l’équation, on obtient
On peut alors simplifier cette équation en utilisant la propriété d’élimination pour l’addition de vecteurs qui indique que si , alors .
Pour clarifier cela, on utilise la commutativité de l’addition de vecteurs pour réécrire l’équation comme
Ensuite, on élimine le vecteur , ce qui donne
Par conséquent, le vecteur inconnu est .
Dans le dernier exemple, nous allons démontrer la propriété de l’opposé pour l’addition de vecteurs.
Exemple 6: Décrire la propriété de l’opposé pour l’addition de vecteurs
Quelle est la propriété de l’addition qui montre que ?
Réponse
Cette propriété est appelée la propriété de l’opposé pour l’addition de vecteurs. On peut prouver cette propriété en considérant les composantes du vecteur . Tout d’abord, soit .
Alors
On peut alors le substituer dans l’expression et évaluer :
La propriété de l’opposé pour l’addition de vecteurs stipule que pour tout vecteur ,
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- On peut utiliser les propriétés de l’addition de vecteurs et de la multiplication de vecteurs par un nombre réel pour simplifier les expressions impliquant des vecteurs.
- Propriétés de l’addition de vecteurs :
- Propriétés de la multiplication de vecteurs par un nombre réel :
- On peut prouver que ces propriétés sont vraies en utilisant les composantes des vecteurs.
- Bien que l’on ait uniquement considéré ces propriétés pour des vecteurs en deux dimensions, toutes ces propriétés s’étendent aux vecteurs de dimensions supérieures.
