Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés de l’addition et de la multiplication par un scalaire de vecteurs. Nous commençons par rappeler qu’un vecteur est une quantité avec une norme, une direction et un sens. Et nous pouvons représenter un vecteur dans un espace approprié par un segment orienté avec une longueur spécifique. Dans cette vidéo, nous n’allons considérer que des vecteurs en deux dimensions.
En deux dimensions, nous pouvons représenter la norme, la direction et le sens d’un vecteur par un déplacement horizontal et vertical, comme illustré. Si le vecteur 𝐯 a une composante horizontale 𝑎 et une composante verticale 𝑏, on peut le considérer comme un déplacement horizontal de 𝑎 unités et un déplacement vertical de 𝑏 unités. Nous pouvons utiliser cette idée pour additionner deux vecteurs en étudiant leurs composantes.
Graphiquement, la somme de deux vecteurs 𝐮 et 𝐯 est leur déplacement total. Nous pouvons donc tracer le point initial du second vecteur au même point que le point final du premier vecteur. La somme des vecteurs a le point initial du premier vecteur et le point final du second vecteur comme illustré. Comme le vecteur 𝐮 plus 𝐯 représente le déplacement du vecteur 𝐮 et du vecteur 𝐯, sa composante horizontale est égale à la somme des composantes horizontales de 𝐮 et 𝐯 et sa composante verticale est égale à la somme des composantes verticales de 𝐮 et 𝐯.
Nous pouvons l’écrire plus formellement comme suit. Pour deux vecteurs quelconques en deux dimensions 𝐮 égale 𝑢 un et 𝑢 deux, et 𝐯 égale 𝑣 un et 𝑣 deux, alors 𝐮 plus 𝐯 a les composantes 𝑢 un plus 𝑣 un et 𝑢 deux plus 𝑣 deux. Comme la somme de deux vecteurs quelconques en deux dimensions est également un vecteur en deux dimensions, on peut dire que l’addition de vecteurs en deux dimensions est fermée. C’est ce que l’on appelle parfois la propriété de fermeture de l’addition de vecteurs. Bien que cette propriété s’étende aux dimensions supérieures, nous n’allons étudier que des vecteurs en deux dimensions dans cette vidéo. Nous pouvons également définir la multiplication d’un vecteur par un scalaire comme la multiplication de ses composantes par un scalaire.
Pour tout vecteur 𝐮 de composantes 𝑢 un et 𝑢 deux et tout scalaire 𝑘, alors 𝑘 fois 𝐮 a les composantes 𝑘𝑢 un et 𝑘𝑢 deux. Graphiquement, la multiplication d’un vecteur par un scalaire 𝑘 est une dilatation ou un agrandissement du vecteur par un facteur 𝑘. Nous allons maintenant utiliser ces définitions pour répondre à une question sur une propriété de l’addition de vecteurs.
Complétez ce qui suit: le vecteur un, neuf plus le vecteur cinq, deux est égal au vecteur cinq, deux plus quelque chose.
Commençons par simplifier le membre gauche de l’équation. On rappelle que pour calculer la somme de deux vecteurs, on doit simplement additionner leurs composantes correspondantes. Pour additionner les vecteurs un, neuf et cinq, deux, on additionne donc un et cinq, puis neuf et deux séparément. Cela signifie que le membre gauche de l’équation est égal au vecteur six, 11. Si on suppose que le vecteur inconnu sur le membre droit a les composantes 𝑥 et 𝑦, on peut simplifier le membre droit comme indiqué. cinq, deux plus 𝑥, 𝑦 est égal au vecteur cinq plus 𝑥, deux plus 𝑦.
Nous pouvons maintenant égaliser les deux membres de notre équation. Six, 11 égale cinq plus 𝑥, deux plus 𝑦. Pour que les deux vecteurs soient égaux, nous savons que leurs composantes correspondantes doivent être égales. Cela nous donne deux équations que nous devons résoudre: six égale cinq plus 𝑥 et 11 égale deux plus 𝑦. En soustrayant cinq aux deux membres de la première équation, on trouve que 𝑥 est égal à un. Et en soustrayant deux aux deux membres de la deuxième équation, on trouve 𝑦 égale neuf. Le vecteur inconnu est donc un, neuf. Le vecteur un, neuf plus le vecteur cinq, deux égale le vecteur cinq, deux plus le vecteur un, neuf.
Cette question démontre la commutativité de l’addition de vecteurs, que nous allons maintenant résumer.
Pour deux vecteurs quelconques en deux dimensions 𝐮 et 𝐯, 𝐮 plus 𝐯 égale 𝐯 plus 𝐮. Une interprétation graphique de cette propriété est présentée sur ce schéma. Si les deux vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont non nuls, alors nous pouvons tracer ces vecteurs comme les côtés d’un parallélogramme. Cela signifie que le vecteur de la diagonale du parallélogramme peut représenter à la fois 𝐮 plus 𝐯 et 𝐯 plus 𝐮. Par conséquent, ces expressions doivent être égales. Dans le cas où l’un des vecteurs est le vecteur nul, cela nous amène à la propriété de l’élément neutre pour l’addition. C’est l’une des nombreuses propriétés de l’addition et de la multiplication par un scalaire de vecteurs en deux dimensions. Bien que nous ne démontrions pas ces propriétés dans cette vidéo, elles sont les suivantes.
Pour tous vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰 et tous scalaires 𝑚 et 𝑛, les propriétés suivantes sont vraies; commençons par cinq propriétés de l’addition de vecteurs. Nous avons déjà vu que 𝐮 plus 𝐯 égale 𝐯 plus 𝐮. C’est la propriété de commutativité. Nous avons également 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰 égale 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰. Cette propriété s’appelle l’associativité et signifie que lorsque l’on additionne trois vecteurs, l’ordre dans lequel on les additionne n’a pas d’importance. Nous avons ensuite 𝐮 plus le vecteur nul égale 𝐮. Il s’agit de l’élément neutre pour l’addition et cela signifie que si on additionne le vecteur nul à n’importe quel vecteur, le vecteur reste inchangé.
Vient ensuite la propriété de l’opposé pour l’addition, qui stipule que 𝐮 plus moins 𝐮 est égal au vecteur nul. Additionner un vecteur et son opposé donne toujours le vecteur nul. Enfin, nous avons la propriété d’élimination. Elle indique que si 𝐮 plus 𝐯 égale 𝐮 plus 𝐰, alors 𝐯 égale 𝐰. Ce sont les cinq propriétés de l’addition de vecteurs.
Il existe également cinq propriétés de la multiplication de vecteurs par un scalaire. La propriété de distributivité se présente sous deux formes. Et nous avons à nouveau l’élément neutre pour la multiplication, l’associativité et la propriété d’élimination. Multiplier le scalaire 𝑛 par la somme vectorielle 𝐮 plus 𝐯 donne 𝑛𝐮 plus 𝑛𝐯. Et multiplier la somme de deux scalaires 𝑛 et 𝑚 par le vecteur 𝐮 donne 𝑛𝐮 plus 𝑚𝐮. Multiplier tout vecteur 𝐮 par le scalaire un donne le vecteur 𝐮. On appelle cette propriété l’élément neutre pour la multiplication. La propriété d’associativité stipule que 𝑛𝑚 fois 𝐮 égale 𝑛 fois 𝑚𝐮. Enfin, la propriété d’élimination indique que si 𝑛𝐮 est égal à 𝑛𝐯, alors 𝐮 doit être égal à 𝐯.
Ces 10 propriétés sont également vraies pour des vecteurs de dimensions supérieures à deux et, comme mentionné précédemment, démontrables algébriquement. Dans la suite de cette vidéo, nous allons étudier des exemples d’utilisation de ces propriétés pour évaluer des expressions impliquant des vecteurs.
Sachant que le vecteur 𝐚 est égal à un, cinq et le vecteur 𝐛 est égal à six, deux, calculez 𝐚 plus 𝐛 plus moins 𝐚.
Nous pouvons répondre à cette question en utilisant directement les propriétés de l’addition de vecteurs. Tout d’abord, en utilisant la commutativité qui stipule que 𝐮 plus 𝐯 égale 𝐯 plus 𝐮, on peut réécrire l’expression 𝐚 plus 𝐛 plus moins 𝐚 par 𝐚 plus moins 𝐚 plus 𝐛. On utilise ensuite la propriété de l’opposé pour l'addition qui stipule que 𝐮 plus moins 𝐮 est égal au vecteur nul. En appliquant cela à notre expression, 𝐚 plus moins 𝐚 est donc égal au vecteur nul. Il reste donc le vecteur nul plus 𝐛.
Enfin, on utilise l’élément neutre pour l’addition qui vérifie 𝐮 plus le vecteur nul égale 𝐮. En revenant à notre question, vecteur nul plus 𝐛 est donc simplement égal à 𝐛. La question indique que le vecteur 𝐛 est égal à six, deux. Cela signifie que 𝐚 plus 𝐛 plus moins 𝐚 est aussi égal à six, deux. Une deuxième méthode possible est de travailler avec les composantes des vecteurs 𝐚 et 𝐛. On doit additionner les vecteurs un, cinq et six, deux, puis ajouter l’opposé du vecteur un, cinq. Nous pouvons distribuer le signe négatif devant le vecteur en multipliant toutes ses composantes par moins un. Le troisième vecteur devient donc moins un, moins cinq.
On peut maintenant simplement additionner les trois vecteurs en calculant la somme de leurs composantes correspondantes. On commence par additionner un, six et moins un. Cela fait six. On additionne ensuite les composantes en 𝑦 cinq, deux et moins cinq, ce qui nous donne deux. Cela confirme la réponse obtenue en utilisant les propriétés de l’addition vectorielle. 𝐚 plus 𝐛 plus moins 𝐚 égale six, deux.
Nous allons maintenant étudier un dernier exemple.
Complétez ce qui suit: deux fois le vecteur deux, cinq plus le vecteur cinq, un égale quelque chose plus le vecteur 10, deux.
Nous commençons par simplifier le membre gauche de l’équation. On utilise d’abord la distributivité de la multiplication par un scalaire sur l’addition de vecteurs. Cela signifie que le membre gauche devient deux fois deux, cinq plus deux fois cinq, un. On peut alors évaluer la multiplication par un scalaire. Deux fois le vecteur deux, cinq est égal au vecteur deux fois deux, deux fois cinq. Soit quatre, 10. De même, en multipliant le vecteur cinq, un par le scalaire deux, on obtient le vecteur 10, deux. On peut alors poser cela égal au membre droit de l’équation et nommer les composantes du vecteur inconnu 𝑥 et 𝑦.
On peut ensuite utiliser la propriété d’élimination de l’addition de vecteurs qui stipule que si 𝐮 plus 𝐯 égale 𝐮 plus 𝐰, alors 𝐯 égale 𝐰. Le vecteur 10, deux apparaît aux deux membres de l’équation. Cela signifie que les autres vecteurs de chaque membre doivent être égaux. Le vecteur quatre, 10 est égal au vecteur 𝑥, 𝑦. Nous pouvons donc conclure que le vecteur inconnu est quatre, 10.
Nous allons maintenant terminer par résumer les points clés. Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons utiliser les propriétés de l’addition et de la multiplication par un scalaire de vecteurs pour simplifier des expressions vectorielles. Les cinq propriétés de l’addition de vecteurs sont les suivantes. On les appelle respectivement commutativité, associativité, élément neutre pour l’addition, opposé pour l’addition et propriété d’élimination. Les cinq propriétés de la multiplication de vecteurs par un scalaire sont les suivantes. Les deux premières sont des versions de la distributivité. La troisième est l’élément neutre pour la multiplication, suivie de l’associativité, et à nouveau de la propriété d’élimination.
Nous pouvons démontrer toutes ces propriétés en étudiant les composantes des vecteurs. Bien que nous ayons considéré les propriétés de vecteurs uniquement en deux dimensions dans cette vidéo, toutes ces propriétés s’étendent aux vecteurs de dimensions supérieures.
