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Vidéo de question : Évaluation des logarithmes Mathématiques

Quelle est la valeur de log_(√2) (32√2)?

03:48

Transcription de vidéo

Quelle est la valeur de log de base racine de deux de 32 racine de deux?

La première chose que nous allons faire est simplifier un peu cette expression. Pour ce faire, nous allons tout convertir sous forme de puissances. Bien, la première chose que nous pouvons faire est d’utiliser une de nos propriétés sur les exposants. Cette propriété énonce que la racine carrée de 𝑎 équivaut à 𝑎 élevé à la puissance un demi. Nous avons donc maintenant log de base deux élevé à la puissance un demi.

Ensuite, nous pouvons regarder 32. Bien, comme les autres éléments vont s’exprimer comme deux à la puissance de quelque chose, nous devons donc transformer 32 en deux à la puissance de quelque chose. Nous pouvons remarquer que 32 est égal à deux multiplié par deux multiplié par deux multiplié par deux multiplié par deux. Nous pouvons donc l’écrire comme égal à deux élevé à la puissance cinq. Puis, ceci va être multiplié par deux à la puissance un demi. Ceci découle de la même propriété que celle que nous avons utilisée précédemment pour la racine de deux. Nous pouvons voir que cela donne deux à la puissance un demi. Très bien. Quelle est alors maintenant la prochaine étape?

Maintenant, nous pouvons simplifier deux à la puissance cinq multiplié par deux à la puissance un demi. Ceci va être égal à deux à la puissance 11 sur deux. Ceci découle de l’utilisation de l’une des propriétés des exposants. Elle nous dit que 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑏 est équivalent à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Ainsi, si nous ajoutons cinq à un demi, nous obtenons cinq plus un demi, ce qui équivaut à 11 sur deux ou onze demis.

Maintenant, afin de résoudre et de déterminer quelle est la valeur de notre expression, nous allons utiliser l’une des règles de base des logarithmes. Notez que si nous avons log de base 𝑎 de 𝑏 est égal à 𝑥 et que nous passons sous forme de puissances, nous pouvons dire que 𝑎 à la puissance 𝑥 est égal à 𝑏. Par conséquent, nous pouvons dire que si nous posons que notre expression est égale à 𝑥, nous aurons que log de base deux à la puissance un demi de deux à la puissance 11 sur deux est égal à 𝑥. Ainsi, sous forme de puissances, nous obtenons que deux à la puissance un demi le tout à la puissance 𝑥 est égal à deux à la puissance 11 sur deux.

Nous allons utiliser maintenant une autre propriété des puissances. Celle-ci nous dit que si nous avons 𝑥 à la puissance 𝑎 à la puissance 𝑏, ceci est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑏. Nous obtenons donc que deux à la puissance 𝑥 sur deux est égal à deux à la puissance 11 sur deux. Maintenant, comme nous avons la même base, nous pouvons assimiler les exposants. Ainsi, lorsque nous faisons cela, nous obtenons que 𝑥 sur deux est égal à 11 sur deux. Alors, si nous multiplions les deux membres par deux, nous allons obtenir que 𝑥 est égal à 11. Nous avons donc résolu le problème. Nous pouvons dire que la valeur de log de base racine de deux de 32 racine de deux est 11.

Bien, nous avons trouvé la réponse en utilisant une méthode. Je vais juste vous montrer une autre méthode que nous aurions pu utiliser car nous aurions pu approcher le problème d’une manière légèrement différente. Ainsi, avec cette autre méthode, ce que nous faisons est que nous avons notre expression. Puis, nous la posons comme égale à 𝑥. Ensuite, nous appliquons notre règle générale pour les logarithmes. Nous obtenons que racine de deux à la puissance 𝑥 est égal à 32 racine de deux. Ensuite, nous appliquons la même propriété que celle par laquelle nous avons commencé l’autre méthode, ce qui signifie que nous aurions eu que deux à la puissance un demi à la puissance 𝑥 est égal à deux à la puissance 11 sur deux. Puis, à partir de là, nous suivrions les dernières étapes de la méthode précédente. Nous aurions donc que deux à la puissance 𝑥 sur deux est égal à deux à la puissance 11 sur deux. Cela devrait nous donner que 𝑥 sur deux est égal à 11 sur deux. Ensuite, nous obtenons finalement que 𝑥 est égal à 11, ce qui est le même résultat que celui obtenu avec la première méthode.

Nous savons donc que la valeur de notre expression est 11.

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