Video Transcript
Déterminez l’ensemble solution de l’équation log base quatre de 𝑥 plus 25 log base 𝑥 de quatre égale 10 dans l’ensemble des nombres réels.
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser l’une des lois de changement de base des logarithmes. Cela indique que log en base 𝑎 de 𝑏 multipliée par log en base 𝑏 de 𝑐 est égal à log en base 𝑎 de 𝑐. Cette règle est valable lorsque 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres positifs avec 𝑎 et 𝑏 différents de un. En considérant les deux termes logarithmiques de notre équation, nous voyons que log en base quatre de 𝑥 multiplié par log en base 𝑥 de quatre est égal à log en base quatre de quatre. Puisque log en base 𝑎 de 𝑎 est égal à un, cela donne aussi un.
Si nous posons 𝑦 égal log en base quatre de 𝑥, alors log en base 𝑥 de quatre est égal à un sur 𝑦. Nous pouvons alors réécrire l’équation complète comme 𝑦 plus 25 multiplié par un sur 𝑦 est égal à 10. La multiplication de chaque terme par 𝑦 nous donne 𝑦 au carré plus 25 est égal à 10𝑦. Nous pouvons alors soustraire 10𝑦 des deux côtés de cette équation, ce qui nous donne une équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro.
Nous pouvons résoudre l’équation 𝑦 au carré moins 10𝑦 plus 25 égale zéro en factorisant. Cela équivaut à 𝑦 moins cinq fois 𝑦 moins cinq, car moins cinq plus moins cinq est égal à moins 10 et moins cinq fois moins cinq est égal à 25. L’équation du second degré a une solution : 𝑦 est égal à cinq.
Rappelons que 𝑦 était égal à log en base quatre de 𝑥, alors log en base quatre de 𝑥 doit être égal à cinq. Nous savons que puisqu’une fonction logarithmique est l’inverse d’une fonction exponentielle donc, si log en base 𝑎 de 𝑥 est égal à 𝑏, alors 𝑥 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑏. 𝑥 est donc égal à quatre à la puissance cinq. Cela donne 1024.
L’ensemble solution de l’équation log en base quatre de 𝑥 plus 25 log en base 𝑥 de quatre est égal à 10 donne 1024. Il n’y a qu’une seule solution réelle à cette équation.
