Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations logarithmiques impliquant différentes bases.
Commençons par rappeler la relation entre les formes logarithmique et exponentielle.
Définition : Relation entre les formes logarithmique et exponentielle
Pour et une base telle que , la forme logarithmique est équivalente à la forme exponentielle , ce qui nous permet, une fois que l’on a identifié , et , de passer d’une forme à l’autre.
La fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithmique . Cela signifie que si l’on élève à la puissance log de en base , ou que l’on élève à la puissance puis que l’on prenne le log en base de l’ensemble, on obtient :
De la formule qui lie les formes logarithmique et exponentielle, on peut déduire les propriétés vérifiées par les formes logarithmiques, qui découlent des propriétés des puissances. On rappelle ces propriétés ci-dessous.
Définition : Propriétés des logarithmes
Soient , , et , des nombres strictement positifs tels que . Les propriétés des logarithmes sont :
- produit : ;
- quotient : ;
- puissance : ;
- changement de base : .
Ces propriétés nous seront utiles pour résoudre les équations logarithmiques impliquant différentes bases, en particulier, la dernière de ces propriétés nous sera d’une grande aide car elle permet de passer d’un logarithme d’une base à un logarithme d’une autre base. Pour démontrer cette formule, on commence par noter que deux égalités qui découlent directement du fait que les fonctions exponentielles et logarithmes sont réciproques. Si l’on remplace par la seconde expression dans la première, on obtient
En utilisant la propriété des puissances , on peut réécrire l’expression précédente sous la forme
En prenant le logarithme de base de chaque côté, on trouve qui est bien le résultat attendu. Cette formule, ainsi que les autres propriétés des logarithmes et des formes exponentielles équivalentes, nous permettent de résoudre les équations impliquant des logarithmes de bases différentes. Pour résoudre ce type d’équations, on utilisera aussi le fait que qui découle directement de la relation entre les formes logarithmique et exponentielle et, en particulier, du fait que les fonctions logarithmiques et exponentielles sont des fonctions strictement monotones. On peut démontrer cette équivalence en utilisant les propriétés des logarithmes :
En passant la dernière expression à la forme exponentielle, on trouve et, par conséquent, , ce qui est bien le résultat attendu.
Prenons un exemple, imaginons que l’on souhaite trouver les solutions de l’équation logarithmique
On commence par convertir le logarithme du membre de gauche en un logarithme de base 2 en utilisant la formule de changement de base : la dernière ligne étant obtenue en utilisant le fait que . Par conséquent, en utilisant ce résultat et les propriétés des logarithmes, notre équation devient
En passant à la forme exponentielle ou en utilisant l’équivalence précédemment établie, à savoir que si , alors , on obtient
Par conséquent, la seule solution de l’équation logarithmique est .
Passons maintenant à quelques exemples pour mettre en pratique et approfondir nos connaissances sur la résolution d’équations logarithmiques. Dans le premier exemple, nous avons deux logarithmes de bases différentes et une inconnue dans l’un d’entre eux.
Exemple 1: Trouver l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique sur l’ensemble des réels
Trouvez l’ensemble des solutions de dans .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique impliquant différentes bases et une inconnue apparaissant dans l’un des logarithmes.
Pour résoudre cette équation, nous aurons besoin de la formule de changement de base, et de la propriété des puissances,
Après avoir appliqué la formule du changement de base, on peut réécrire le logarithme du membre de droite de notre équation logarithmique, , en un logarithme de base 3 en utilisant le fait que et que :
En remplaçant par ce résultat dans l’équation donnée, on obtient
Et puisque , on a . Par conséquent, l’ensemble des solutions est .
Passons à présent à un exemple dans lequel nous devrons résoudre une équation logarithmique contenant deux logarithmes de bases différentes et une inconnue dans chacun de ces deux logarithmes.
Exemple 2: Trouver l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique sur l’ensemble des réels
Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation dans .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique impliquant différentes bases et une inconnue apparaissant dans deux logarithmes de bases différentes.
Pour résoudre cette équation, nous aurons besoin de la formule de changement de base, et de la propriété des puissances,
Après avoir appliqué la formule du changement de base, on peut réécrire le deuxième terme du membre de gauche de notre équation logarithmique, , en un logarithme de base 3 en utilisant le fait que et que :
En remplaçant par ce résultat dans l’équation logarithmique donnée, on obtient
Pour et une base telle que , la forme logarithmique est équivalente à la forme exponentielle .
Enfin, en passant à la forme exponentielle pour , on a
Par conséquent, l’ensemble des solutions est .
Dans le prochain exemple, nous trouverons la solution d’une équation logarithmique impliquant une somme de trois logarithmes de bases différentes, ainsi qu’une inconnue apparaissant dans chacun de ces logarithmes.
Exemple 3: Trouver l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique sur l’ensemble des réels
Trouvez l’ensemble des solutions de dans .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique impliquant différentes bases et une inconnue apparaissant dans chacun des logarithmes.
Pour résoudre cette équation, nous aurons besoin de la formule de changement de base, et de la propriété des puissances,
Après avoir appliqué la formule du changement de base, on peut réécrire le deuxième terme du membre de gauche de notre équation logarithmique, , en un logarithme de base 2 en utilisant le fait que et que , et de manière similaire réécrire le troisième terme, , en utilisant le fait que ,
En remplaçant par ces expressions dans l'équation logarithmique donnée, on obtient
Pour et une base telle que , la forme logarithmique est équivalente à la forme exponentielle .
Donc, en passant à la forme exponentielle pour , on obtient
Par conséquent, l’ensemble des solutions est .
Passons à présent à un exemple dans lequel nous devrons trouver la solution d’une équation logarithmique impliquant une somme d’inverses de trois logarithmes, tous de bases différentes, et une inconnue apparaissant dans chacun des logarithmes.
Exemple 4: Trouver l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique sur l’ensemble des réels
Trouvez l’ensemble des solutions de dans .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique impliquant différentes bases et une inconnue apparaissant dans trois logarithmes de bases différentes.
Pour résoudre cette équation, nous aurons besoin de la formule de changement de base, et de la propriété des puissances,
Après avoir appliqué la formule du changement de base, on peut réécrire le deuxième terme du membre de gauche de notre équation logarithmique, , en un logarithme de base 2 en utilisant le fait que et que , et de manière similaire réécrire le troisième terme, , en utilisant le fait que ,
En remplaçant par ces expressions dans l'équation logarithmique donnée, on obtient
Pour et une base telle que , la forme logarithmique est équivalente à la forme exponentielle .
Donc, en passant à la forme exponentielle pour , on trouve
Par conséquent, l’ensemble des solutions est .
Dans le prochain exemple, nous résoudrons une équation logarithmique impliquant deux logarithmes de bases différentes, l’une des bases étant une fraction, ainsi qu’une inconnue apparaissant sous la forme d’un terme linéaire dans l’un des logarithmes et sous la forme d’un terme du second degré dans l’autre logarithme.
Exemple 5: Résoudre des équations logarithmiques en utilisant les propriétés des logarithmes
Trouvez l’ensemble des solutions de dans .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique impliquant différentes bases et une inconnue apparaissant dans deux logarithmes de bases différentes.
Pour résoudre cette équation, nous aurons besoin de la formule de changement de base, et de la propriété des puissances,
Après avoir appliqué la formule du changement de base, on peut réécrire le second terme du membre de gauche de notre équation logarithmique, , en un logarithme de base 3 en utilisant le fait que et que :
Enfin, en remplaçant cette expression dans l’équation logarithmique donnée, on a
Pour et une base telle que , la forme logarithmique est équivalente à la forme exponentielle .
Enfin, en passant à la forme exponentielle pour , on a
Par conséquent, l’ensemble des solutions est .
Comme on a pu le voir dans les exemples précédents, la règle de changement de base pour les logarithmes nous permet d’évaluer des expressions de la forme , en réécrivant ce logarithme de base en un logarithme de base (i. e., ), en utilisant la propriété des puissances et le fait que :
Passons à présent à un exemple dans lequel nous résoudrons une équation logarithmique impliquant un logarithme de logarithme, tous deux de bases différentes, ainsi qu’une inconnue apparaissant sous la forme d’une expression du second degré dans le second logarithme.
Exemple 6: Résoudre des équations logarithmiques impliquant des expressions du second degré en utilisant les propriétés des logarithmes
Résolvez , où .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer l’ensemble des solutions d’une équation logarithmique impliquant différentes bases, ainsi qu’une inconnue apparaissant sous la forme d’une expression du second degré dans le logarithme d’un logarithme.
Pour et une base telle que , la forme exponentielle est équivalente à la forme logarithmique , ce qui nous permet de passer d’une forme à l’autre une fois , et identifiés.
En passant à la forme exponentielle pour , on obtient
En répétant ce processus une nouvelle fois, on obtient
Donc, on trouve que ou . Par conséquent, l’ensemble des solutions est .
Dans les exemples vus jusqu’ici, la variable inconnue , dont on devait trouver la valeur, se trouvait toujours dans le logarithme lui-même. Mais on peut également trouver les solutions d’équations logarithmiques dans lesquelles l’inconnue apparaît dans la base du logarithme.
Dans le prochain exemple, nous considérerons une équation logarithmique impliquant un triple logarithme dont toutes les bases sont différentes, ainsi qu’une inconnue apparaissant en tant que base dans l’un des logarithmes.
Exemple 7: Résoudre des équations logarithmiques sur l’ensemble des réels
Résolvez , où .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la solution d’une équation logarithmique impliquant trois bases différentes, ainsi qu’une inconnue en tant que base d’un logarithme.
On rappelle que pour et une base telle que , la forme logarithmique est équivalente à la forme exponentielle . Le logarithme pour lequel aucune base n’est précisée est le logarithme décimal, de base 10 : .
En passant à la forme exponentielle pour , on obtient
On répète ce processus avec l’expression résultante et on obtient
On répète le processus une dernière fois pour obtenir
Par conséquent, les solutions sont et , mais on ignore la seconde car le logarithme n’est pas défini pour une base négative (comme par exemple, ).
Par conséquent, la solution de l’équation logarithmique est .
Passons à présent à un exemple dans lequel nous résoudrons une équation logarithmique impliquant des logarithmes de bases différentes, ainsi qu’une inconnue apparaissant à la fois comme argument et comme base dans le même logarithme.
Exemple 8: Trouver l’ensemble des solutions sur l’ensemble des réels d’équations exponentielles impliquant des logarithmes
Trouvez l’ensemble des solutions de dans .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la solution d’une équation logarithmique impliquant deux bases différentes, ainsi qu’une inconnue apparaissant dans l’un des logarithmes à la fois en tant que base et en tant qu’argument.
Pour résoudre cette équation, nous aurons besoin de la propriété des puissances :
En appliquant la formule ci-dessous et utilisant le fait que , on obtient et
En remplaçant ces résultats dans l’équation donnée, on obtient
Les solutions sont et ; cependant, nous ignorons la seconde solution car le logarithme n’est défini ni pour un nombre négatif, ni pour une base négative. L’ensemble des solutions est par conséquent .
En utilisant la formule de changement de base, on peut intervertir l’argument et la base du logarithme. En passant le logarithme en base et en utilisant le fait que , on a
Imaginons que l’on veuille trouver la solution de , c’est-à-dire déterminer les valeurs de qui vérifient cette équation logarithmique. On peut simplifier cette équation en utilisant le fait que et la réécrire sous la forme
Par conséquent, en passant à la forme exponentielle de base , on obtient .
Passons au dernier exemple, dans lequel l’inconnue , dont on doit trouver la valeur, apparaît dans un logarithme mais aussi en tant que base dans un autre logarithme.
Exemple 9: Trouver l’ensemble des solutions d’équations logarithmiques sur l’ensemble des réels
Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation dans .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la solution d’une équation logarithmique impliquant deux bases différentes, ainsi qu’une inconnue apparaissant dans le premier logarithme, mais aussi dans la base du second.
Pour résoudre cette équation, nous aurons besoin de la formule de changement de base :
En utilisant la base dans cette formule, on va pouvoir intervertir l’argument et la base du logarithme : où l’on a utilisé le fait que . En remplaçant par ce résultat dans l’équation donnée, on obtient
Donc, si on pose que , on doit résoudre
On multiplie les deux membres de cette équation par puis on la factorise pour obtenir
Par conséquent,
Pour et une base telle que , la forme logarithmique est équivalente à la forme exponentielle .
Donc, en passant à la forme exponentielle, on a
Par conséquent, l’ensemble des solutions est .
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Pour résoudre des équations logarithmiques, on peut utiliser les propriétés des logarithmes :
- produit : ;
- quotient : ;
- puissance : ;
- changement de base : .
- Si l’on a un logarithme de base , on peut aussi le convertir en un logarithme de base en utilisant
- On peut également intervertir la base et l’argument d’un logarithme en utilisant
- On peut aussi résoudre une équation logarithmique en passant de la forme logarithmique à la forme exponentielle .
