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Vidéo de la leçon : Équations logarithmiques de bases différentes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des équations logarithmiques impliquant des logarithmes de bases différentes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des équations logarithmiques impliquant des logarithmes de bases différentes. Après cette leçon, vous devriez être en mesure de déterminer l’ensemble des solutions d’une équation contenant des logarithmes de bases différentes.

Nous pouvons voir ici ce qu’est la base d’un logarithme. La base et l’argument d’un logarithme sont tous deux indiqués. Avant de commencer à résoudre des équations logarithmiques, nous devons apprendre quelque chose. C’est comment effectuer le changement de base d’un logarithme. Voyons donc ce que nous pouvons faire pour changer la base d’un logarithme.

Supposons que nous ayons le log de base 𝑎 de 𝑏. Il existe en fait une formule nous permettant de le changer en un logarithme de la base que nous voulons. Cela nous dit que log de base 𝑎 de 𝑏 est égal à log de base 𝑥 de 𝑏 sur log de base 𝑥 de 𝑎, avec 𝑥 que nous souhaitons. Et nous allons voir dans un instant avec un exemple pourquoi cela est utile. Penchons-nous par exemple sur cette expression.

On peut donc reformuler log de base neuf de 27 grâce à la formule sur notre gauche. Cela devient log de base quelque chose de 27 sur log de base ce quelque chose de neuf. Et la base est pour le moment quelconque car c’est à nous de décider celle qui va nous être utile. Si on observe 27 et neuf, on peut voir que ce sont deux puissances de trois. C’est-à-dire trois au cube et trois au carré. Nous pouvons donc utiliser une base trois car cela peut devenir très utile pour simplifier cette expression grâce à une des lois des logarithmes que nous allons rappeler dans un instant.

On obtient donc log de base trois de trois au cube sur log de base trois de trois au carré. Et nous avons ainsi changé la base de notre logarithme. Mais je veux maintenant vous montrer comment on peut simplifier cela. Nous allons pour cela utiliser des lois des logarithmes. Et les lois que nous allons utiliser sont log de base 𝑎 de 𝑚 puissance 𝑛 égale 𝑛 log de base 𝑎 de 𝑚. Et log de base 𝑎 de 𝑎 égale un. En utilisant la première loi, on a trois log de base trois de trois sur deux log de base trois de trois.

Puis en utilisant la deuxième loi, on voit que log de base trois de trois est simplement égal à un. On obtient donc trois fois un sur deux fois un, ce qui nous donne trois sur deux. Nous avons ainsi montré comment changer la base d’un logarithme peut aider à simplifier une expression, ainsi, log de base neuf de 27 est simplement égal à trois demi.

Très bien. Nous avons déjà récapitulé tout ce dont nous allons avoir besoin pour résoudre des équations logarithmiques. Étudions au travers de quelques exemples comment résoudre des équations en effectuant un changement de base de logarithme.

Déterminez l’ensemble des solutions dans l’ensemble des réels de log de base trois de 𝑥 égale log de base neuf de quatre.

Pour résoudre ce problème nous allons commencer par changer la base du logarithme. Et nous allons pour cela utiliser cette formule : log de base 𝑎 de 𝑏 égale log de base 𝑥 de 𝑏 sur log de base 𝑥 de 𝑎. Dans ce cas, nous n’allons changer que la base du logarithme du membre de droite de l’équation. Nous allons en effet conserver log de base trois sur le membre de gauche parce que nous allons utiliser la même base trois pour le logarithme à droite.

On obtient alors log de base trois de 𝑥 égale log de base trois de quatre sur log de base trois de trois au carré. Et j’ai au passage reformulé le neuf par trois au carré, ce qui est la raison pour laquelle nous avons choisi la base trois. Cela nous permet en effet d’utiliser deux lois des logarithmes pour nous aider à simplifier cette équation.

La première loi que nous allons utiliser est log de base 𝑎 de 𝑚 puissance 𝑛 égale 𝑛 log de base 𝑎 de 𝑚. Ce qui nous donne log de base trois de 𝑥 égale log de base trois de quatre sur deux log de base trois de trois. Et la deuxième loi que nous pouvons appliquer est log de base 𝑎 de 𝑎 égale un.

On obtient alors log de base trois de 𝑥 égale log de base trois de quatre sur deux. Car log de base trois de trois égale un donc le dénominateur est égal à deux fois un On peut maintenant multiplier chaque membre par deux. Et on obtient deux log de base trois de 𝑥 égale log de base trois de quatre.

Si on applique à présent notre première loi, mais en sens inverse, on peut reformuler le membre de gauche et obtenir log de base trois de 𝑥 au carré égale log de base trois de quatre. Cela nous permet maintenant de poser l’égalité de nos arguments puisque les deux membres de l’équation sont des logarithmes de même base. On en déduit donc que 𝑥 au carré est égal à quatre. Et en prenant la racine carrée de cela, on obtient 𝑥 égale deux.

Mais vous pourriez alors penser « Attendez ! Pourquoi ne prend-on pas également la valeur négative et n’a-t-on pas moins deux ou deux ? » En réalité, la valeur négative ne nous intéresse pas. Car l’argument d’un logarithme doit être positif et différent de un. Et comme nous recherchons la valeur de 𝑥, qui est l’argument du logarithme sur le membre de gauche, nous ne pouvons pas avoir de valeur négative. Nous pouvons donc conclure que l’ensemble des solutions de cette équation est deux.

Génial ! Voilà donc notre première équation résolue. Mais nous avons ici mentionné quelque chose d’important. Nous avons précisé que l’argument d’un logarithme doit être positif et différent de un. Et pourquoi donc ? Eh bien, jetons un coup d’œil à cela. Comme nous l’avons dit, pour log de base 𝑎 de 𝑏, 𝑏 doit être positif et différent de un. Nous allons expliquer pourquoi. Vous pourriez peut être penser que si log de base 𝑎 de 𝑏 est égal à 𝑥, alors 𝑎 puissance 𝑥 doit être égal à .

Et 𝑏 peut tout à fait être négatif. Par exemple. Si on a moins trois au cube, cela nous donne un résultat de moins 27. Alors pourquoi b ne peut-il pas avoir une valeur négative? Eh bien, en fait, ce n’est pas l’argument que nous devons examiner. Mais la base, car c’est elle qui impose la contrainte et détermine l’ensemble des valeurs possibles de l’argument. Une base ne peut pas être négative. Et nous allons utiliser cet exemple pour montrer pourquoi.

Si on a log de base moins deux de 𝑥 égale un sur deux, eh bien, en passant sous forme exponentielle, on obtient moins deux puissance un sur deux égale 𝑥. Pour déterminer la valeur de 𝑥, on devrait donc prendre la racine carrée de moins deux. Car la puissance un demi est la racine carrée. On aurait donc racine carrée de moins deux égale 𝑥, ce qui n’est évidemment impossible dans l’ensemble des réels.

Cela montre pourquoi la base ne peut pas être négative. Et si la base ne peut pas être négative, alors l’argument ne peut pas non plus être négatif. Cela explique pourquoi la solution ne pouvait pas être négative. Nous allons également montrer pourquoi l’argument ne peut pas être égal à un, et c’est aussi parce que la base ne peut pas être égale à un. Si on avait par exemple log de base un de deux égale 𝑎, ce serait équivalent à un puissance 𝑎 égale deux. Et cela n’est bien sûr pas possible car un élevé à toute puissance est toujours égal à un. Et la deuxième ligne est un autre exemple de cela.

Très bien. Nous savons donc maintenant pourquoi l’argument d’un logarithme doit être positif et différent de un. Continuons donc et étudions d’autres problèmes.

Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation log de base trois de 𝑥 plus log de base 243 de 𝑥 puissance cinq plus trois égale zéro dans l’ensemble des nombres réels.

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser notre formule de changement de base, qui est log de base 𝑎 de 𝑏 égale log de base 𝑥 de 𝑏 sur log de base 𝑥 de 𝑎. Après observation de cette équation, nous allons utiliser cette formule pour changer la base de log de base 243 de 𝑥 puissance cinq. Notre objectif est alors de changer la base de ce logarithme en base trois afin que tous les logarithmes de l’expression aient la même base.

On obtient ainsi log de base trois de 𝑥 plus log de base trois de 𝑥 puissance cinq sur log de base trois de 243 plus trois égale zéro. On peut en effet choisir n’importe quelle base pour le changement de base. La raison pour laquelle on choisit ici trois est que 243 est en fait égal à trois puissance cinq. Et nous allons à présent utiliser quelques-unes de nos lois des logarithmes pour nous aider à simplifier cette équation.

Les lois que nous allons appliquer sont log de base 𝑎 de 𝑚 puissance 𝑛 égale 𝑛 log de base 𝑎 de 𝑚 et log de base 𝑎 de 𝑎 égale un. On obtient alors log de base trois de 𝑥 puissance 5 est égal à cinq log de base trois de 𝑥, on a utilisé ici la première loi et on a de même le tout divisé par cinq log de base trois de trois. Car comme nous l’avons dit, 243 égale trois puissance cinq. Ce qui nous permet de sortir l’exposant cinq devant le logarithme de base trois.

On a donc cinq log de base trois de trois, et enfin plus trois égale zéro. Or on sait que log de base trois de trois égale un. Donc, le dénominateur devient simplement cinq fois un. Cela nous permet d’annuler le facteur commun cinq, ce qui nous donne deux log de base trois de 𝑥 plus trois égale zéro. Car on avait log de base trois de 𝑥 plus log de base trois de 𝑥. Ce qui en fait deux. On soustrait maintenant trois à chaque membre de l’équation et on obtient deux log de base trois de 𝑥 égale moins trois.

Et il existe maintenant une petite astuce pour nous aider. On peut transformer le membre droit en log de base trois de quelque chose. On utilise pour cela moins trois égale moins trois fois log de base trois de trois. On a donc deux log de base trois de 𝑥 égale moins trois log de base trois de trois. Et on peut appliquer la première loi en sens inverse. On obtient log de base trois de 𝑥 au carré égale log de base trois de trois puissance moins trois.

Et comme la base est la même, cela nous permet de poser l’égalité des arguments. On obtient ainsi 𝑥 au carré égale trois puissance moins trois. C’est-à-dire 𝑥 au carré égale un sur 27. En prenant enfin la racine carrée chaque côté, on obtient 𝑥 égale un sur racine carrée de 27. La valeur négative ne nous intéresse pas car nous recherchons les solutions dans l’ensemble des réels. Et comme 𝑥 est l’argument d’un logarithme, il doit être positif et différent de un.

On peut ensuite simplifier cette racine carrée de 27 en utilisant une des lois des racines. Qui est racine carrée de 27 égale racine carrée de neuf fois racine carrée de trois, ce qui nous donne trois racine carrée de trois. Nous pouvons donc conclure que l’ensemble des solutions de cette équation est un sur trois racine carrée de trois.

Super, nous avons maintenant résolu cette équation. Étudions à présent un exemple qui nous amène à résoudre une équation du second degré.

Déterminez l’ensemble des solutions de log de base deux de 𝑥 égale log de base quatre de trois x plus 28 dans l’ensemble des réels.

Pour ce problème, nous pouvons utiliser la formule du changement de base. C’est-à-dire, log de base 𝑎 de 𝑏 égale log de base 𝑥 de 𝑏 sur log de base 𝑥 de 𝑎. Et nous allons l’utiliser car nous souhaitons que le membre de droite ait la même base que le membre de gauche. En mettant le membre de droite en base deux, on obtient log de base deux de 𝑥 égale log de base deux de trois 𝑥 plus 28 sur log de base deux de quatre.

Chaque fois que nous résolvons un problème comme celui-ci, nous essayons de trouver des termes dont l’argument et la base sont identiques, par exemple, log de base deux de deux. C’est-à-dire de la forme log de base 𝑎 de 𝑎. Et on peut en trouver un ici parce que quatre est égal à deux au carré. On peut donc réécrire le dénominateur log de base deux de deux au carré.

Pour simplifier davantage, nous allons maintenant utiliser quelques-unes des lois des logarithmes. Tout d’abord, log de base 𝑎 de 𝑚 puissance 𝑛 égale 𝑛 log de base 𝑎 de 𝑚. Ensuite, log de base 𝑎 de 𝑎 égale un. En appliquant la première loi, on a log de base deux de 𝑥 égale log de base deux de trois 𝑥 plus 28 sur deux log de base deux de deux. Puis en appliquant la deuxième loi, le dénominateur devient simplement deux puisque deux fois log de base deux de deux égale deux fois un.

En multipliant ensuite les deux membres par deux, on obtient deux log de base deux de 𝑥 égale log de base deux de trois 𝑥 plus 28. Et ce que nous allons maintenant faire est d’appliquer la première loi en sens inverse au membre de gauche. Ce qui nous donne log de base deux de 𝑥 au carré égale log de base deux de trois 𝑥 plus 28. Cela nous permet de poser l’égalité des arguments puisque les logarithmes des deux membres de l’équation sont de même base.

On a donc 𝑥 au carré égale trois 𝑥 plus 28. Nous allons maintenant réorganiser cette équation pour obtenir une équation du second degré égale à zéro. On soustrait trois 𝑥 et 28 de chaque coté. Cela nous donne l’équation du second degré 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 28 égale zéro. Et ce qu’il nous reste maintenant à faire c’est de résoudre cette équation. Pour résoudre 𝑥 carré moins trois 𝑥 moins 28 égale zéro, on peut la factoriser. On obtient ainsi 𝑥 moins sept fois 𝑥 plus quatre égale zéro. Et on en déduit que 𝑥 est égal à sept ou à moins quatre.

Donc, l’ensemble solution sera sept ou moins quatre, non ? Eh bien non, parce que 𝑥 ne peut pas prendre une de ces deux valeurs. Et cette valeur est moins quatre. Si on revient en effet à l’équation initiale, 𝑥 est l’argument du membre de gauche. Et on sait que l’argument doit être positif et différent de un. Par conséquent, l’ensemble des solutions de notre équation est simplement sept.

Nous avons ainsi résolu un problème impliquant la résolution d’une équation du second degré. Nous allons maintenant passer à un problème où l’ensemble des solutions contiendra plus d’un élément.

Résolvez, dans l’ensemble des réels, log de base deux de log de base trois de 𝑥 au carré moins huit 𝑥 égale un.

La première chose que nous pouvons faire dans ce problème est de faire en sorte d’avoir un logarithme de même base de chaque côté de l’équation. Et on peut faire cela en appliquant une loi des logarithmes. Qui est log de base 𝑎 de 𝑎 égale un. On peut donc dire que log de base deux de log de base trois de 𝑥 au carré moins huit 𝑥 est égal à log de base deux de deux car, comme nous l’avons dit, un est égal à log de base deux de deux.

Et la raison pour laquelle nous avons fait cela est que nous avons maintenant des logarithmes de même base des deux côtés. On peut donc poser leurs arguments égaux. C’est-à-dire log de base trois de 𝑥 au carré moins huit 𝑥 égale deux. Pour trouver la valeur de 𝑥, on peut à présent transformer cette équation logarithmique en son équation exponentielle équivalente. Si log de base 𝑎 de 𝑏 est égal à 𝑥, alors 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑏.

En identifiant correctement 𝑎, 𝑏 et 𝑥, on peut réécrire notre équation comme trois au carré égale 𝑥 au carré moins huit 𝑥, ce qui donne neuf égale 𝑥 au carré moins huit 𝑥. On soustrait ensuite neuf de chaque côté de l’équation. Et on obtient zéro égale 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins neuf. Ce qu’il nous reste donc à faire est de résoudre cette équation du second degré.

Nous pouvons pour cela la factoriser. On obtient alors zéro égale 𝑥 moins neuf fois 𝑥 plus un. Ce qui nous permet de conclure que 𝑥 est égal à neuf ou moins un. Et ces deux valeurs constituent notre ensemble solution. Vous pourriez alors penser que ce n’est pas possible parce que l’argument doit être positif et différent de un. Ce qui signifierait qu’on ne peut pas conserver la valeur négative. Ce n’est cependant pas le cas dans ce problème, car si vous observez bien l’argument, il n’est pas égal à 𝑥. L’argument du logarithme est 𝑥 au carré moins huit 𝑥.

Pour confirmer cette réponse, nous allons remplacer 𝑥 par moins un dans cet argument. En faisant cela, on obtient moins un au carré moins huit fois moins un, ce qui donne un plus huit puisque moins un au carré égale un. Et soustraire un nombre négatif est équivalent à ajouter un nombre positif. On obtient donc une valeur de neuf, qui est bien positive et différente de un. Donc, cela respecte les conditions que l’argument doit remplir. Nous pouvons donc conclure que l’ensemble des solutions de cette équation est neuf moins un.

Très bien. Nous avons maintenant étudié plusieurs problèmes différents. Terminons cette vidéo par résumer les points clés. Le premier est que pour changer la base d’un logarithme, on peut utiliser la formule log de base 𝑎 de 𝑏 égale log de base 𝑥 de 𝑏 sur log de base 𝑥 de 𝑎. On peut donc changer la base en n’importe quelle valeur. Et on choisit généralement la base qui sera la plus utile pour résoudre une équation ou simplifier une expression.

Nous avons également vu que pour l’expression log de base 𝑎 de 𝑏, 𝑏 est appelé l’argument et 𝑎 la base. Et l’argument doit être positif et différent de un. Et cela parce que la base doit également être une valeur positive et différente de un ou zéro. Cette condition est importante parce qu’il faut la prendre en compte pour établir l’ensemble de définition de 𝑥 dans le cas où 𝑥 fait partie de l’argument d’un des logarithmes de l’équation à résoudre.

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