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Vrai ou faux – sans utiliser de calculatrice : cosinus de moins 120 degrés est égal à cosinus de 60 degrés.
Nous commençons par rappeler que 60 degrés est l’un de nos angles remarquables. Et le cosinus de 60 degrés est égal à un demi. Cela signifie que pour répondre à cette question, nous devons déterminer si le cosinus de moins 120 degrés est aussi égal à un demi. Nous faisons cela en traçant le cercle trigonométrique et en rappelant que tout point situé sur ce cercle de rayon un a pour coordonnées cosinus 𝜃, sinus 𝜃.
Nous savons que tout angle en position standard est mesuré à partir de l’axe des abscisses positives. Si l’angle est positif, nous mesurons dans le sens inverses des aiguilles d’une montre, alors que si l’angle est négatif, comme dans le cas présent, nous mesurons dans le sens des aiguilles d’une montre. En marquant d’abord moins 90 et moins 180 degrés, nous pouvons tracer l’angle moins 120 degrés en position standard, comme indiqué. Le point auquel le côté final de notre angle coupe le cercle trigonométrique a pour coordonnées cosinus de moins 120 degrés, sinus de moins 120 degrés. Comme ce point se trouve dans le troisième quadrant, il est clair que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 seront toutes deux négatives. Cela signifie que le cos de moins 120 degrés doit être négatif. Puisque le cosinus de 60 degrés est positif, il est clair que le cosinus de moins 120 degrés n’est pas égal au cosinus de 60 degrés. Et nous pouvons donc conclure que l’affirmation dans la question est fausse.
Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, nous pouvons aller un peu plus loin et calculer la valeur exacte du cosinus de moins 120 degrés. Cela peut être fait en utilisant le triangle tracé dans le troisième quadrant, ainsi que notre connaissance de la trigonométrie dans le triangle rectangle. La longueur du côté opposé à l’angle de 60 degrés est la valeur absolue du sinus de moins 120 degrés. Le côté adjacent à l’angle de 60 degrés et à l’angle droit a une longueur égale à la valeur absolue du cosinus de moins 120 degrés. La longueur de l’hypoténuse, qui est le rayon du cercle, est égale à une unité.
Le rapport cosinus nous dit que le cosinus de tout angle 𝜃 dans un triangle rectangle est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse. Cela signifie que, dans notre triangle, le cosinus de 60 degrés est égal à la valeur absolue du cosinus de moins 120 degrés sur un. Puisque le cosinus de 60 degrés est un demi, la valeur absolue du cosinus de moins 120 degrés est aussi égale à un demi. Et puisque le cosinus de moins 120 degrés doit être négatif, cela est égal à moins un demi. Bien que les deux expressions de la question ne soient pas égales, elles sont opposées. Cependant, dans le cadre spécifique de cette question, cela confirme que la bonne réponse est « faux ».
