Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les angles de référence, et à les utiliser pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques.
Nous rappelons que nous pouvons déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques en traçant l’argument en position standard, puis en déterminant les coordonnées du point d’intersection entre le côté final de l’argument et le cercle trigonométrique ayant pour centre l'origine. Pour tracer un angle en position standard, on le mesure dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens direct) à partir de l’axe des positifs si l’angle est de mesure positive, alors qu’on le mesure dans le sens des aiguilles d’une montre (sens indirect) si l’angle est de mesure négative.
Par exemple, on peut déterminer la valeur de à partir de la figure suivante.
Les coordonnées du point d’intersection entre le cercle trigonométrique ayant pour centre l'origine et le côté final de l’angle de en position standard sont . Nous pouvons déterminer la valeur de l’expression trigonométrique pour chaque coordonnée en utilisant la figure et la trigonométrie. Premièrement, nous notons que la somme des angles appartenant à une droite est de , donc nous pouvons ajouter l’angle de à la figure comme suit.
Deuxièmement, comme le cercle trigonométrique ayant pour centre l'origine est le lieu de tous les points situés à une distance de 1 de l’origine, on sait que le segment entre le point et l’origine est de longueur 1. Si on trace une perpendiculaire issue du point à l’axe des , on obtient le triangle rectangle suivant.
On utilise la valeur absolue des coordonnées du point car on veut déterminer les longueurs des côtés du triangle plutôt que les coordonnées. Enfin, nous pouvons déterminer ces valeurs à l'aide de la trigonométrie : le sinus d’un angle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l’hypoténuse. Donc,
De même, le cosinus d’un angle est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l’hypoténuse. Donc,
Nous savons que
Donc, en considérant le fait que le point appartient au deuxième quadrant, nous avons
De la même manière, nous pouvons déterminer les valeurs trigonométriques des angles dont la mesure est supérieure à . Par exemple, nous pouvons déterminer la valeur de en traçant l’angle en position standard, et en notant qu’elle est la même que celle de l’angle de en position standard.
Comme le côté final d’un angle en position standard est invariant par un tour complet dans le sens indirect ou direct, cela signifie que le sinus et le cosinus de l’angle sont périodiques de . On peut alors déterminer la valeur de en calculant la mesure de l’angle que forme le côté final avec l’axe des positifs ; dans ce cas, on note qu’un tour complet est de , donc sa mesure est de . En ajoutant cela à la figure et au cercle trigonométrique ayant pour centre l'origine, on obtient ce qui suit.
On peut alors déterminer la valeur de en traçant une perpendiculaire à l’axe des et en utilisant la trigonométrie.
Comme le point appartient au quatrième quadrant, on constate que est de mesure négative. Ainsi, en appliquant la trigonométrie dans le triangle rectangle, nous avons
Dans les exemples ci-dessus, nous avons pu déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques de tout angle en déterminant d’abord un angle équivalent de mesure positive en position standard, puis en déterminant la mesure de l’angle aigu que forme le côté final avec l’axe des . La mesure positive de l’angle équivalente est appelée la mesure principale, et la mesure de l’angle aigu que forme le côté final avec l’axe des est appelée l’angle de référence ; nous les définissons formellement comme suit.
Définition : Mesure principale
Si est un angle en position standard, alors la mesure de l’angle dans le sens direct entre le côté initial et le côté final de (inférieure à un tour complet) est appelée la mesure principale de .
Définition : Angle de référence
Si est un angle en position standard, et non un angle quadrant (multiple entier d’un angle droit), alors la mesure de l’angle aigu que forme le côté final avec l’axe des est appelée l’angle de référence de .
Il y a quatre différentes possibilités pour la mesure principale et l’angle de référence en fonction du quadrant dans lequel se situe le côté final, comme illustré ci-dessous.
Voyons quelques exemples sur la façon de déterminer la mesure principale de divers angles donnés en radians.
Exemple 1: Identifier la mesure principale d’un angle de mesure négative
Soit l’angle , déterminez sa mesure principale.
Réponse
On rappelle que pour déterminer la mesure principale de , on trace l’angle en position standard, puis on détermine la mesure de l’angle dans le sens direct entre le côté initial et le côté final, qui est inférieure à un tour complet, . Pour tracer en position standard, on note que sa valeur est négative, alors on mesure l’angle dans le sens indirect à partir de l’axe des positifs pour obtenir ce qui suit, où la mesure principale est notée .
Bien que l’angle orienté soit de mesure négative, si on prend la mesure de cet angle, alors avec on a un angle complet de en obtenant
Ainsi, la mesure principale de est .
Exemple 2: Identifier la mesure principale d’un angle de mesure supérieure à 2𝜋
Soit l’angle , déterminez sa mesure principale.
Réponse
On rappelle que pour déterminer la mesure principale de , on trace l’angle en position standard, puis on détermine la mesure de l’angle dans le sens direct entre le côté initial et le côté final, qui est inférieure à un tour complet.
Pour tracer en position standard, on note que , donc cette valeur est supérieure à un tour complet. Cela signifie que nous devons supprimer les multiples entiers de pour déterminer un angle équivalent en position standard. Comme , on soustrait comme suit :
Nous pouvons voir que et ont le même angle final lorsqu’ils sont tracés en position standard sur les figures suivantes.
Comme cette valeur est comprise entre 0 et , on peut conclure que la mesure principale de est .
Voyons maintenant un exemple qui porte sur l’utilisation de la mesure principale pour déterminer la valeur d’une expression trigonométrique sans calculatrice.
Exemple 3: Déterminer la valeur du cosinus d’un angle de mesure négative en calculant la mesure principale
Déterminez sans utiliser la calculatrice.
Réponse
Nous rappelons que nous pouvons déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques en traçant des angles en position standard, puis en déterminant les coordonnées du point d’intersection entre le côté final de l’angle et le cercle trigonométrique ayant pour centre l'origine. Nous pourrions le faire en traçant l’angle de en position standard. Cependant, nous pouvons également déterminer la mesure principale car cela nous donnera le même côté final.
La mesure principale de sera comprise entre et , et le côté final de l’angle en position standard sera le même. On peut déterminer la mesure principale en ajoutant des multiples entiers de à l’angle de . En faisant cela, nous obtenons
On peut alors déterminer la valeur de en traçant en position standard sur le cercle trigonométrique ayant pour centre l'origine. La coordonnée du point d’intersection entre le cercle et le côté final sera .
Pour déterminer la coordonnée de ce point, on note que la somme des angles appartenant à une droite est de , de sorte que l’angle que forme le côté final avec l’axe des négatifs mesure
Tracer une perpendiculaire issue du point d’intersection à l’axe des nous donne alors ce qui suit.
En appliquant la trigonométrie dans le triangle rectangle, le côté adjacent à l’angle de aura une longueur de .
Étant donné que le point d’intersection a une coordonnée de valeur négative, on constate que
Dans l’exemple ci-dessus, nous avons déterminé la valeur d’une expression trigonométrique en calculant la mesure principale de son argument. En effet, nous avons également utilisé l’angle de référence de cette mesure principale.
Voyons un autre exemple sur ce calcul.
Exemple 4: Déterminer la valeur du sinus d’un angle en calculant l’angle de référence
Déterminez la valeur de .
Réponse
Nous rappelons que nous pouvons déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques en traçant l’argument en position standard, puis en déterminant les coordonnées du point d’intersection entre le côté final de l’angle et le cercle trigonométrique. On commence par tracer en position standard, en notant qu’il est de mesure positive, de sorte que l’angle est mesuré dans le sens direct à partir de l’axe des positifs. Comme , le côté final sera situé dans le quatrième quadrant, comme indiqué sur la figure suivante.
Pour déterminer la valeur de , nous devons trouver la coordonnée du point d’intersection. Nous le faisons en calculant l’angle de référence de ; c’est-à-dire la mesure de l’angle aigu que forme le côté final avec l’axe des lorsque est tracé en position standard. On peut voir sur la figure que l’angle entre le côté final et l’axe des et a pour mesure . En désignant l’angle de référence par , nous avons
Nous l’ajoutons ensuite à notre figure et traçons une perpendiculaire issue du point d’intersection à l’axe des , comme le montre la figure suivante.
Nous pouvons ajouter un sens à l’angle de référence pour voir si c’est l’angle en position standard. Les coordonnées du point d’intersection peuvent aussi s’écrire comme suit : . En égalisant les deux expressions pour la coordonnée du point d’intersection et en déterminant leur valeur, nous obtenons
Donc, .
Dans notre prochain exemple, nous utiliserons l’angle de référence d’un argument pour déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique inverse.
Exemple 5: Déterminer la valeur de la sécante d’un angle en calculant l’angle de référence
Déterminez sans utiliser de calculatrice.
Réponse
Pour déterminer la sécante d’un angle, il faut d’abord rappeler que la fonction sécante est l’inverse de la fonction cosinus. Cela nous donne
On peut déterminer le cosinus de en traçant l’angle en position standard, puis en déterminant la coordonnée du point d’intersection entre le côté final de l’angle et le cercle trigonométrique. Comme est de mesure positive, l’angle est mesuré dans le sens direct, et on note que , de sorte que le côté final se situe dans le quatrième quadrant. Cela nous donne la figure suivante.
Pour déterminer la coordonnée du point d’intersection, on calcule l’angle de référence de , qui est la mesure de l’angle aigu que forme le côté final avec l’axe des sur la figure ci-dessus. En désignant l’angle de référence par et en notant que ces deux angles font un tour complet, nous avons
En ajoutant cet angle à notre figure et en traçant une perpendiculaire issue du point d’intersection à l’axe des , nous obtenons :
Étant donné que le côté final se situe dans le quatrième quadrant, la coordonnée du point d’intersection est positive, ce qui signifie que est également de positif. Nous pouvons déterminer la valeur exacte en appliquant la trigonométrie dans le triangle rectangle sur la figure ; le côté adjacent à l’angle de a une longueur de , et l’hypoténuse a une longueur de 1.
Le cosinus de est alors le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l’hypoténuse, ce qui nous donne
Enfin, nous prenons l’inverse des deux membres de cette équation pour constater que
Dans notre dernier exemple, nous déterminerons la valeur de la fonction tangente en calculant d’abord l’angle de référence de son argument.
Exemple 6: Déterminer la valeur de la tangente d’un angle en calculant l’angle de référence
Déterminez la valeur exacte de sans utiliser de calculatrice.
Réponse
Pour déterminer la tangente d’un angle sans calculatrice, nous rappelons d’abord que la tangente d'un angle est égale au quotient de son sinus par son cosinus. Appliquer cela à l’angle nous donne
Nous pouvons déterminer le sinus et le cosinus d’un angle en le traçant en position standard, puis en déterminant les coordonnées du point d’intersection entre le côté final de l’angle et le cercle trigonométrique ayant pour centre l'origine. Comme est de mesure positive, l’angle est mesuré dans le sens direct, et nous notons que . Ainsi, le côté final se situera dans le troisième quadrant. Cela nous donne la figure suivante.
Pour déterminer les coordonnées et du point d’intersection, nous devons calculer la mesure de l’angle que forme le côté final avec l’axe des (appelée l’angle de référence). L’angle entre l’axe des positifs et l’axe des négatifs est , de sorte que l’angle de référence est de
Nous pouvons ajouter cela à notre figure et tracer la perpendiculaire issue du point d’intersection à l’axe des pour nous donner ce qui suit.
Étant donné que le point d’intersection appartient au troisième quadrant, les deux coordonnées et du point d’intersection seront négatives. Donc, la base du triangle rectangle aura une longueur de et une hauteur de , et on aura donc le triangle rectangle suivant.
On peut déterminer des expressions pour et en appliquant la trigonométrie dans le triangle rectangle. D’abord, en déterminant le rapport entre la longueur du côté opposé à et la longueur de l’hypoténuse, nous avons
Deuxièmement, en déterminant le rapport entre la longueur du côté adjacent à et la longueur de l’hypoténuse, nous avons
Enfin, nous pouvons prendre le quotient de ces valeurs pour déterminer la tangente de l’argument comme suit :
Donc,
Terminons cette fiche explicative en récapitulant certains points clés.
Points clés
- Si est un angle en position standard, alors la mesure de l’angle dans le sens direct entre le côté initial et le côté final de (inférieure à un tour complet) est appelée la mesure principale.
- Prendre une mesure principale ne change pas la valeur des fonctions sinus ou cosinus.
- Si est un angle en position standard, et non un angle quadrant, alors la mesure de l’angle aigu que forme le côté final avec l’axe des est appelée l’angle de référence.
- En traçant un angle en position standard et en utilisant la mesure principale et l’angle de référence, nous pouvons déterminer des arguments équivalents pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques.
