Transcription de la vidéo
Valeurs des fonctions trigonométriques avec les angles de référence
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’angle de référence et l’angle principal d’un angle en position standard et voir comment en déduire les valeurs des fonctions trigonométriques.
Pour ce faire, rappelons d’abord comment calculer les fonctions trigonométriques. Il s’agit du sinus et du cosinus d’un angle. On peut trouver les valeurs des fonctions trigonométriques à l’aide de triangles rectangles. Mais, pour prolonger ces fonctions, on a besoin du cercle unitaire. Il s’agit du cercle de rayon un dont le centre est à l’origine. Il peut servir à évaluer les fonctions trigonométriques. Par exemple, traçons un angle de 150 degrés en position standard. Rappelez-vous que pour tracer un angle en position standard, on le trace en partant de l’axe des 𝑥 positifs, en tournant dans le sens antihoraire si l’angle est positif, et dans le sens horaire si l’angle est négatif.
On sait alors que le point d’intersection entre le côté terminal de l’angle et le cercle unitaire indique la valeur du sinus et du cosinus de cet angle. L’abscisse 𝑥 indique le cosinus de cet angle et l’ordonnée 𝑦 indique le sinus de cet angle. Donc, le point d’intersection a pour coordonnées cosinus 150 degrés, sinus 150 degrés. On cherche à déterminer ces valeurs, il faut donc trouver les valeurs de ces coordonnées. Pour cela, rappelons d’abord que si on divise une droite en deux angles, ils mesurent au total 180 degrés. Ça veut dire qu’on peut trouver la valeur de cet angle. Cet angle mesure 30 degrés car, ajouté à 150 degrés, on obtient 180 degrés.
En faisant passer une droite verticale depuis le point d’intersection jusqu’à l’axe 𝑥, on obtient un triangle rectangle. Et pour faciliter les calculs, il serait utile de tracer ce triangle rectangle. Déjà, on voit que l’hypoténuse de ce triangle rectangle est un rayon du cercle. Et pour rappel, puisque c’est le cercle unitaire, son rayon est égal à un. L’hypoténuse de ce triangle mesure donc un. Ensuite, on voit que la base et la hauteur de ce triangle rectangle correspondent aux coordonnées 𝑥 et 𝑦 du point d’intersection.
Mais rappelez-vous, des longueurs ne peuvent pas être négatives. Puisqu’on est dans le deuxième quadrant, l’abscisse 𝑥 est négative, alors que l’ordonnée 𝑦 est positive. Donc, pour être sûr, prenons la valeur absolue de ces deux coordonnées. Rappelez-vous, ça veut simplement dire qu’on prend leur valeur positive. On peut alors déterminer les valeurs de ces expressions en utilisant la trigonométrie dans ce triangle rectangle. En nommant les côtés par rapport à l’angle de 30 degrés, on voit que la valeur absolue de sinus 150 degrés est la longueur du côté opposé à l’angle et que la valeur absolue de cosinus 150 degrés est la longueur du côté adjacent à l’angle.
On est maintenant prêts à déterminer ces valeurs. Rappelons d’abord que le sinus d’un angle aigu est égal au rapport entre la longueur du côté opposé et de l’hypoténuse dans un triangle rectangle. Dans notre triangle rectangle, le côté opposé a pour longueur la valeur absolue du sinus de 150 degrés et l’hypoténuse a pour longueur un. Donc, le quotient de ces deux valeurs est égal au sinus de 30 degrés. On sait qu’une division par un ne modifie pas la valeur, et que 30 degrés est un angle particulier. On connaît la valeur de sinus 30 degrés. C’est égal à un demi. Il est possible de le prouver à l’aide de triangles équilatéraux.
Mais ce n’est pas encore terminé. Rappelez-vous, nous avons seulement montré que c’était égal à la valeur absolue du sinus de 150 degrés. Ce qu’on a trouvé est ce côté du triangle rectangle. On a donc trouvé que ce côté du triangle rectangle mesure un demi. Le sinus de 150 degrés est l’ordonnée 𝑦 du point d’intersection. Comme c’est dans le deuxième quadrant, on en déduit que c’est positif. On prend donc la valeur positive. On a montré que sinus 150 degrés égale un demi.
On peut faire la même chose pour trouver le cosinus de 150 degrés. Cette fois, il faut prendre le rapport du côté adjacent et de l’hypoténuse. Par trigonométrie, on a cosinus de 30 degrés égale la valeur absolue du cosinus de 150 degrés divisé par un. Encore une fois, on sait qu’une division par un ne modifie pas une valeur. On en déduit le cosinus de 30 degrés. Il est égal à la racine carrée de trois divisée par deux. Mais attention, il faut être prudent. Ce qu’on a trouvé est la longueur de la base du triangle rectangle, alors que cosinus de 150 degrés est l’abscisse 𝑥 du point d’intersection. On voit que c’est négatif. Donc, il va falloir prendre la valeur négative. On a donc montré que le cosinus de 150 degrés est égal à moins la racine carrée de trois divisée par deux.
De la même manière, on peut calculer de nombreuses valeurs des fonctions trigonométriques. Par exemple, si on doit calculer sinus de moins 405 degrés, on peut commencer par tracer l’angle moins 405 degrés en position standard, et penser à mesurer l’angle dans le sens horaire puisqu’il est négatif. On sait qu’un tour complet dans le sens horaire mesure moins 360 degrés. Il faut ensuite continuer de 45 degrés dans le sens horaire. Ce qui donne l’angle suivant. Rappelons que le côté terminal d’un angle en position standard n’est pas unique. Par exemple, on pourrait mesurer un angle dans le sens horaire ayant le même côté terminal que l’angle moins 405 degrés.
Un moyen de trouver cette valeur consiste à ajouter des multiples de 360. On voit que moins 405 plus deux fois 360 est égal à 315 degrés. Ces deux angles ont le même côté terminal lorsqu’ils sont tracés en position standard. On peut en déduire le sinus de moins 405 degrés. Rappelons qu’on le trouve avec les coordonnées du point d’intersection entre le côté terminal et le cercle unitaire. L’abscisse 𝑥 est cosinus de moins 405 degrés, et l’ordonnée 𝑦 est sinus de moins 405 degrés. On veut déterminer la valeur de cette ordonnée 𝑦 de la même manière, par la trigonométrie.
Traçons une perpendiculaire à l’axe des 𝑥 en partant du point d’intersection, on obtient un triangle rectangle. Pour nous aider dans les calculs, on va tracer le triangle en dehors du cercle. Encore une fois, on remarque que l’hypoténuse de ce triangle rectangle est un rayon du cercle. Et comme il s’agit du cercle unitaire, son rayon vaut un. Donc l’hypoténuse de notre triangle rectangle vaut un. La hauteur de ce triangle rectangle est la valeur absolue de l’ordonnée 𝑦 du point d’intersection. C’est la valeur absolue du sinus de moins 405 degrés. Notez qu’on pourrait ajouter la base sur notre schéma ; mais ce n’est pas nécessaire pour répondre à cette question.
On veut appliquer la trigonométrie pour déterminer cette valeur. Mais pour ce faire, il faut connaître l’un des angles. Il existe plusieurs façons de le faire. Considérons uniquement la valeur 315 degrés. Puisque le côté terminal de ces deux angles est le même, on peut utiliser l’une ou l’autre de ces deux valeurs. Or, il est souvent plus facile d’utiliser des valeurs positives comprises entre zéro et 360 degrés. On voit alors qu’en ajoutant un des angles manquants du triangle à l’angle de 315 degrés, on obtient un tour complet. Notons cet angle 𝜃, on a donc 𝜃 plus 315 degrés égalent un tour complet. C’est-à-dire que c’est égal à 360 degrés.
On peut alors en déduire 𝜃 en retranchant 315 degrés de chaque côté. On obtient 𝜃 égale 45 degrés. On peut alors l’indiquer dans le triangle rectangle. On peut ensuite utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour trouver sinus de moins 405 degrés. Commençons par nommer les côtés par rapport à l’angle de 45 degrés. Et on voit qu’on a la longueur du côté opposé et la longueur de l’hypoténuse. Il faut donc utiliser le ratio du sinus. En appliquant l’identité trigonométrique, on obtient que sinus de 45 degrés est égal à la valeur absolue de sinus de moins 405 degrés divisé par un.
Ça se simplifie. Premièrement, sinus de 45 degrés égale racine carrée de deux divisée par deux. Ensuite, on sait qu’une division par un ne modifie pas la valeur. Enfin, rappelez-vous que ça donne la hauteur du triangle rectangle ; mais on recherche la valeur de l’ordonnée 𝑦 du point d’intersection. On a montré par la trigonométrie que la hauteur de ce triangle rectangle mesurait racine de deux sur deux. Mais on voit qu’on est dans le quatrième quadrant, donc l’ordonnée 𝑦 est négative. Il faut donc prendre l’opposé de cette valeur. On a sinus de moins 405 degrés égale moins racine carrée de deux divisée par deux.
Dans cet exemple, pour déterminer le sinus de moins 405 degrés, on a commencé par trouver un angle positif équivalent compris entre zéro et 360 degrés. Puis on a trouvé la valeur de 𝜃, qui est l’angle aigu que forme le côté terminal par rapport à l’axe 𝑥. On peut calculer le sinus ou le cosinus de n’importe quel angle de la même manière. On trouve d’abord un angle équivalent en position standard entre zéro et 360 degrés, puis on détermine l’angle aigu formé par le côté terminal avec l’axe des 𝑥. Et ces deux types d’angles ont un nom. Tout d’abord, si 𝜃 est un angle en position standard, l’angle dans le sens antihoraire entre le côté initial et le côté terminal de l’angle 𝜃, qui est inférieur à un tour complet, s’appelle l’angle principal de 𝜃.
Par exemple, on a montré qu’un angle de 315 degrés avait le même côté terminal que moins 405 degrés en position standard. Ça veut dire que 315 degrés est l’angle principal de moins 405 degrés. Et on utilise cet angle pour calculer plus facilement les fonctions trigonométriques en moins 405 degrés. De même, si 𝜃 est un angle en position standard, alors on appelle angle de référence de 𝜃 l’angle aigu entre le côté terminal de l’angle 𝜃 et l’axe des 𝑥. Par exemple, on a montré que si moins 405 degrés est tracé en position standard, son côté terminal forme un angle de 45 degrés avec l’axe des 𝑥. On peut donc dire que l’angle de référence de moins 405 degrés est 45 degrés. On a utilisé ceci pour faciliter le calcul des fonctions trigonométriques pour cette valeur.
Il existe quatre possibilités différentes pour l’angle principal et l’angle de référence. Ça dépend dans quel quadrant se trouve le côté terminal de l’angle. Premièrement, si le côté terminal se trouve dans le premier quadrant, alors l’angle principal est un angle aigu et l’angle de référence a la même mesure. Si le côté terminal est dans le deuxième quadrant, alors l’angle principal est obtus et l’angle de référence vaut 180 degrés moins l’angle principal. Si le côté terminal est dans le troisième quadrant, alors on voit que l’angle principal est compris entre 180 et 270 degrés. Mais l’angle de référence est alors cet angle aigu ici. C’est l’angle principal moins 180 degrés. Et enfin, si le côté terminal est dans le quatrième quadrant, l’angle principal est compris entre 270 et 360 degrés et l’angle de référence est l’angle permettant de faire un tour complet. C’est 360 degrés moins l’angle principal.
Voyons maintenant un exemple de détermination d’un angle principal.
Soit l’angle moins deux 𝜋 sur trois, trouvez l’angle principal.
On nous demande de déterminer l’angle principal de moins deux 𝜋 sur trois. Commençons par rappeler que l’angle principal est l’angle en position standard ayant le même côté terminal et compris entre zéro et deux 𝜋. Donc, pour trouver l’angle principal, on va d’abord tracer l’angle moins deux 𝜋 sur trois en position standard. D’abord, comme cet angle est négatif, il va falloir le mesurer dans le sens horaire en partant de l’axe des 𝑥 positifs. Ensuite, il pourrait être utile de noter chacun des angles droits. En allant dans le sens horaire en partant de l’axe des 𝑥 positifs, c’est moins 𝜋 sur deux, moins 𝜋 et moins trois 𝜋 sur deux.
Ensuite, en utilisant les coefficients ou en calculant, on voit que moins deux 𝜋 sur trois se situe entre moins 𝜋 sur deux et moins 𝜋. Autrement dit, son côté terminal se situe dans le troisième quadrant. Nous recherchons l’angle principal. Rappelez-vous qu’il se mesure en position standard et est compris entre zéro et deux 𝜋. Donc, il se mesure dans le sens horaire. Et il doit avoir le même côté terminal. On obtient le schéma suivant. Et en lui ajoutant moins deux 𝜋 sur trois, on voit que ça fait un tour complet. Autrement dit, l’angle principal plus deux 𝜋 sur trois est égal à deux 𝜋.
Et on peut alors trouver l’angle principal en retranchant deux 𝜋 sur trois de chaque côté de l’équation. On obtient que l’angle principal vaut deux 𝜋 moins deux 𝜋 sur trois, ce qu’on peut calculer en écrivant que deux 𝜋 est égal à six 𝜋 sur trois. On retranche deux 𝜋 sur trois, on obtient quatre 𝜋 sur trois, qui est notre réponse finale. Donc, on a montré que l’angle principal de moins deux 𝜋 sur trois est quatre 𝜋 sur trois.
Voyons maintenant un exemple qui utilise les angles principaux et de référence pour évaluer une fonction trigonométrique sans calculatrice.
Trouvez la valeur de sinus de 11𝜋 sur six.
Cette question nous demande d’évaluer le sinus d’un angle en radians. On remarque que 11𝜋 sur six n’est pas un angle aigu, on ne peut donc pas simplement utiliser la trigonométrie d’un triangle rectangle. Donc, à la place, il faut se rappeler qu’on peut évaluer des fonctions trigonométriques en traçant l’angle en position standard, puis en utilisant son intersection avec le cercle unitaire. Pour ce faire, il faut trouver les coordonnées du point d’intersection entre le côté terminal de l’angle en position standard et le cercle unitaire. On va donc commencer par tracer l’angle en position standard.
Rappelez-vous qu’il se mesure dans le sens antihoraire en partant de l’axe des 𝑥 positif. Pour déterminer de quel côté se trouve le côté terminal, il peut être utile d’ajouter les angles droits à notre schéma, et de noter qu’un tour complet mesure deux 𝜋. Calculons 11 sur six, on trouve 1,83 suivi d’une infinité de trois. Ce qui est entre trois sur deux et deux. En multipliant cette inégalité par 𝜋, on voit que notre angle se trouve dans le quatrième quadrant. Ce qui donne le schéma suivant.
Rappelez-vous que les coordonnées du point d’intersection entre le côté terminal et le cercle facilite le calcul de la fonction trigonométrique pour cet angle ; dans ce cas, les coordonnées du point d’intersection sont cosinus de 11𝜋 sur six et sinus de 11𝜋 sur six. Cela signifie qu’il faut déterminer l’ordonnée 𝑦 de ce point d’intersection. Pour ce faire, on va tracer la droite perpendiculaire à l’axe 𝑥 en partant du point d’intersection. Alors la longueur de ce segment permet de trouver la valeur de sinus de 11𝜋 sur six.
Pour calculer plus facilement cette valeur, isolons ce triangle rectangle de notre schéma. On souhaite déterminer la hauteur de ce triangle rectangle. Pour ce faire, remarquons qu’on peut trouver l’hypoténuse du triangle. On voit que c’est un rayon du cercle. Et comme c’est le cercle unitaire, tous les rayons sont de longueur un. Ensuite, on sait que la hauteur du triangle est égale à sinus de 11𝜋 sur six. Mais il faut faire attention car cette ordonnée 𝑦 est négative. Donc, à la place, on va exprimer ça comme la valeur absolue du sinus de 11𝜋 sur six pour en faire une valeur positive.
Enfin, on peut déterminer l’un des angles du triangle rectangle. On voit que, si on le complète par 11𝜋 sur six, cet angle fait un tour complet, ce qui veut dire que cet angle mesure deux 𝜋 moins 11𝜋 sur six. En faisant le calcul, on obtient 𝜋 sur six. Il est bon de noter que cet angle a un nom. Il s’agit de l’angle de référence de 11𝜋 sur six. C’est l’angle aigu que forme le côté terminal avec l’axe des 𝑥. On a maintenant un angle et un côté du triangle rectangle, et on veut déterminer l’autre côté du triangle rectangle. On peut le faire en utilisant la trigonométrie.
Rappelez-vous que le sinus d’un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé et de l’hypoténuse du triangle rectangle. Dans notre cas, ça veut dire que sinus de 𝜋 sur six est égal à la valeur absolue de sinus de 11𝜋 sur six, le tout divisé par un. Et on peut calculer cette expression. Premièrement, diviser par un ne modifie pas la valeur. Ensuite, 𝜋 sur six est un angle particulier. On sait que sinus de 𝜋 sur six est égal à un demi. On peut d’ailleurs le prouver en utilisant des triangles équilatéraux. On a donc montré que la hauteur du triangle rectangle mesure un demi.
Mais ce n’est pas encore terminé. Rappelez-vous, on nous demande d’évaluer sinus de 11𝜋 sur six, qui est l’ordonnée 𝑦 du point d’intersection entre le côté terminal et le cercle unitaire. Il est donc important de ne pas oublier la valeur absolue. On voit sur la figure que ce point d’intersection a une ordonnée 𝑦 négative. Ça veut dire qu’il faut prendre la valeur négative de notre réponse, ce qui donne que le sinus de 11𝜋 sur six est égal à moins un demi, qui est notre réponse finale. Par conséquent, en traçant l’angle 11𝜋 sur six en position standard, puis en trouvant son angle de référence, qui est 𝜋 sur six, puis en appliquant la trigonométrie, on a pu montrer que le sinus de 11𝜋 sur six est égal à moins un demi.
Avant de terminer la vidéo, il reste à souligner quelque chose à propos de cette méthode. On peut aussi utiliser cette méthode pour évaluer les fonctions trigonométriques inverses, par exemple, si on nous demande de calculer csc de 11𝜋 sur six. Rappelons d’abord que la cosécante d’un angle est égale à un divisé par le sinus de cet angle. Et on sait trouver le sinus d’un angle ; on trouve l’angle de référence puis on utilise la trigonométrie. On a déjà trouvé que sinus de 11𝜋 sur six est égal à moins un demi. On peut alors utiliser cette valeur pour calculer csc de 11𝜋 sur six. C’est égal à un divisé par moins un demi, ce qui se simplifie et donne moins deux.
Maintenant, récapitulons quelques points clés de cette vidéo. Premièrement, si 𝜃 est un angle en position standard, l’angle dans le sens antihoraire entre le côté initial et le côté terminal de l’angle 𝜃, et qui est inférieur à un tour complet, s’appelle l’angle principal de 𝜃. C’est utile car l’angle principal a le même côté terminal, donc calculer les fonctions trigonométriques au niveau de l’angle principal ne modifie pas leur valeur. Ensuite, l’angle aigu formé par le côté terminal de 𝜃 avec l’axe des 𝑥 s’appelle son angle de référence. Il faut souligner ici qu’on suppose que l’angle n’est pas un quadrant, car sinon il n’a pas d’angle de référence ; on utilisera plutôt l’angle droit. Enfin, on a vu qu’on pouvait calculer des arguments équivalents pour les fonctions trigonométriques en traçant l’argument en position standard, puis en utilisant son angle principal et son angle de référence.
