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Calculez la limite quand 𝑥 tend vers moins deux de 𝑥 au cube plus huit, le tout divisé par 𝑥 plus deux.
Dans cette question, on nous demande de déterminer la limite en un point d’un quotient de polynômes. Ou autrement dit, d’une fonction rationnelle. On rappelle qu’on peut essayer de déterminer la limite d’une fonction rationnelle par substitution directe. Mais en remplaçant 𝑥 par moins deux dans notre fonction, on obtient moins deux au cube plus huit, le tout divisé par moins deux plus deux, ce qui après avoir fait les calculs nous donne la forme indéterminée zéro divisé par zéro. Donc on ne peut pas déterminer cette limite par substitution directe uniquement.
On va devoir utiliser une autre méthode. Une approche possible pour déterminer cette limite est de commencer par remarquer que le polynôme du numérateur et le polynôme du dénominateur ont une racine en commun, moins deux. Alors, d’après le théorème de factorisation des polynômes, 𝑥 plus deux est un facteur du polynôme du numérateur et un facteur du polynôme du dénominateur. C’était bien sûr évident au dénominateur. Mais cela va nous être utile pour factoriser le numérateur. Il y a plusieurs façons de s’y prendre. L’une d’elles serait d’utiliser la division euclidienne des polynômes. On diviserait 𝑥 au cube plus huit par 𝑥 plus deux.
Mais comme on sait que diviser un polynôme de degré trois par un polynôme de degré un donne un polynôme de degré deux, on peut l’écrire comme ceci. 𝑥 au cube plus huit égale 𝑥 plus deux multiplié par un certain polynôme du second degré, 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. On peut ensuite développer le membre de droite de notre équation. Cela nous donne 𝑎 𝑥 au cube plus 𝑏 𝑥 au carré plus 𝑐𝑥 plus deux 𝑎 𝑥 au carré plus deux 𝑏𝑥 plus deux 𝑐. Toujours du côté droit, on peut rassembler les termes en 𝑥 carré et en 𝑥 et les factoriser. Notre expression devient 𝑎 𝑥 au cube, plus 𝑏 plus deux 𝑎, multiplié par 𝑥 au carré, plus 𝑐 plus deux 𝑏, multiplié par 𝑥, plus deux 𝑐. Et notre membre de gauche est toujours 𝑥 au cube plus huit. Pour déterminer les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐, on peut comparer les coefficients des différentes puissances de 𝑥 de part et d’autre de l’équation.
On commence par les coefficients de 𝑥 au cube. À gauche, le coefficient de 𝑥 au cube est un. À droite, le coefficient de 𝑥 au cube est 𝑎. On conclut que la valeur de 𝑎 est un. On peut alors remplacer 𝑎 par cette valeur dans l’expression du côté droit de notre équation. On obtient l’équation suivante.
Comparons à présent les termes constants de part et d’autre de notre équation. On voit que huit est égal à deux 𝑐. On en déduit que 𝑐 est égal à quatre. Comme précédemment, on remplace 𝑐 par cette valeur dans notre équation. On obtient alors l’équation suivante. Enfin, pour déterminer la valeur de 𝑏, on peut comparer les coefficients de 𝑥 au carré ou ceux de 𝑥. Mais le membre de gauche ne comporte aucun terme en 𝑥 au carré ou en 𝑥. Donc les coefficients de ces termes sont nuls. Par conséquent, ces deux coefficients du membre de droite doivent eux aussi être nuls. Donc 𝑏 plus deux est égal à zéro et quatre plus deux 𝑏 est égal à zéro, ce qui implique que 𝑏 est égal à moins deux.
On peut maintenant remplacer 𝑎 par un, 𝑏 par moins deux et 𝑐 par quatre dans notre expression factorisée. On obtient que 𝑥 au cube plus huit est égal à 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus quatre. On aurait obtenu exactement le même résultat si on avait fait une division euclidienne.
On peut maintenant utiliser notre résultat pour nous aider à déterminer notre limite. On remplace le numérateur de notre fonction par l’expression trouvée. Cela nous donne la limite quand 𝑥 tend vers moins deux de 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus quatre, le tout divisé par 𝑥 plus deux. On peut maintenant simplifier cette limite. Pour cela, on peut rappeler qu’on considère la limite quand 𝑥 tend vers moins deux. Cela signifie qu’on s’intéresse à ce qui se passe pour notre fonction quand la valeur de 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins deux. Mais la valeur de notre limite n’est pas affectée par la valeur de la fonction en 𝑥 égale moins deux précisément.
Par conséquent, on peut simplifier le facteur commun 𝑥 plus deux au numérateur et au dénominateur. Car lorsque 𝑥 est différent de moins deux, 𝑥 plus deux divisé par 𝑥 plus deux est simplement égal à un. Donc on réécrit notre limite comme la limite quand 𝑥 tend vers moins deux de 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus quatre.
Donc il s’agit de la limite d’un polynôme. Et on sait qu’on peut déterminer la limite d’un polynôme par substitution directe. Donc on remplace 𝑥 par moins deux dans notre polynôme, ce qui nous donne moins deux au carré, moins deux fois moins deux, plus quatre, ce qui est égal à 12. Par conséquent, on a montré que la limite quand 𝑥 tend vers moins deux de 𝑥 au cube plus huit, le tout divisé par 𝑥 plus deux, est égale à 12.
