Video Transcript
Lequel des choix suivants est la fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥 représentée par le graphique ci-dessous ? Est-ce l’option (A), 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 est supérieur à moins huit et 𝑥 est inférieur ou égal à moins trois ? Et 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré moins neuf lorsque 𝑥 est supérieur à moins trois et 𝑥 est inférieur à deux. Et 𝑓 de 𝑥 est égale à moins cinq lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à deux et 𝑥 est inférieur à six. Est-ce l’option (B), 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 est supérieur à moins huit et 𝑥 est inférieur ou égal à moins trois ? Et 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré moins trois lorsque 𝑥 est supérieur à moins trois et 𝑥 est inférieur à deux. Et 𝑓 de 𝑥 est égale à moins cinq lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à deux et 𝑥 est inférieur à six. Ou est-ce l’option (C), 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 est supérieur à moins huit et 𝑥 est inférieur ou égal à moins trois ? Et 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré moins neuf lorsque 𝑥 est supérieur à moins trois et inférieur à deux. Et 𝑓 de 𝑥 est égale à moins cinq 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à deux et inférieur à six. L’option (D), 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus deux lorsque 𝑥 est supérieur à moins huit et inférieur ou égal à moins trois. Et 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré moins neuf lorsque 𝑥 est supérieur à moins trois et inférieur à deux. Et 𝑓 de 𝑥 est égale à moins cinq lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à deux et inférieur à six. Ou enfin, est-ce l’option (E), 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 est supérieur à moins huit et inférieur ou égal à moins trois ? 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré moins trois lorsque 𝑥 est supérieur à moins trois et inférieur à deux. Et 𝑓 de 𝑥 est égale à moins cinq 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur à deux et inférieur à six.
Dans cette question, on nous donne le graphe d’une fonction et nous devons déterminer laquelle des cinq propositions données correspond à la bonne définition par morceaux de la fonction. Et il y a plusieurs façons de répondre à cette question. Par exemple, nous pourrions dessiner les cinq options données et voir laquelle a le même graphe que la fonction donnée. Alternativement, nous pourrions éliminer les options en considérant les graphes de ces fonctions et en comparant avec le graphe donné. Et ces deux méthodes fonctionneraient et nous donneraient la bonne réponse. Cependant, ces deux méthodes nécessitent que nous connaissions les options.
Alors, essayons de répondre à cette question sans utiliser ces options. Nous pouvons le faire en utilisant le graphe de la fonction pour déterminer une définition par morceaux. Tout d’abord, nous devons regarder le graphe et nous voyons qu’il se divise en trois sous-fonctions : la première sous-fonction en vert, est une droite ; la deuxième sous-fonction en bleu, ressemble à une parabole ; et la troisième sous-fonction en rouge, est une droite horizontale. Trouvons chacune de ces sous-fonctions et les sous-domaines associés. Commençons par la première sous-fonction.
Pour déterminer le sous-domaine de cette sous-fonction, nous devons trouver les valeurs d’entrée de 𝑥 sur le graphe. Et nous pouvons voir sur le graphe que ces valeurs d’entrée vont de moins huit à moins trois. Cependant, nous devons être prudents car lorsque 𝑥 est égal à moins trois, la courbe a un point creux. Cela signifie que moins huit n’est pas inclus dans le sous-domaine. Cependant, nous avons le choix d’inclure ou non moins trois dans ce sous-domaine ou dans le deuxième sous-domaine. Les deux façons de faire fonctionnent. Cependant, dans les cinq options données, moins trois est toujours inclus dans le premier sous-domaine. Nous allons donc inclure moins trois dans le premier sous-domaine, ce qui nous donne 𝑥 doit être supérieur à moins huit et inférieur ou égal à moins trois.
Nous devons maintenant trouver l’équation de cette droite pour trouver la première sous-fonction, et il y a plusieurs façons de le faire. Nous allons utiliser la forme affine d’une droite. Tout d’abord, trouvons la pente à partir du diagramme. Nous pouvons voir que lorsque nous nous déplaçons une unité vers la droite, la droite se déplace d’une unité vers le haut, donc la pente de cette fonction vaut un. Ensuite, nous pouvons étendre la droite pour trouver l’ordonnée à l’origine. L’ordonnée à l’origine est trois, donc la valeur de 𝑏 dans la forme affine sera de trois. Et il convient également de souligner que nous aurions pu trouver cela en remarquant que puisque nous nous déplaçons trois unités vers la droite, et comme la pente est de un, nous devons nous déplacer trois unités vers le haut. Par conséquent, il s’agit d’une droite avec une pente un et d’ordonnée à l’origine trois. Sous la forme affine, cette fonction sera 𝑥 plus trois.
Passons maintenant à la deuxième sous-fonction. Nous devons déterminer l’équation de cette parabole. Nous le ferons en utilisant le fait que nous avons les coordonnées du sommet de cette parabole. Et nous pouvons voir sur la figure qu’il s’agit du point zéro, moins neuf. Nous pouvons ensuite utiliser les coordonnées du sommet et la forme du sommet d’une parabole pour trouver une équation de cette parabole. Puisque l’abscisse 𝑥 du sommet est zéro et que l’ordonnée 𝑦 est moins neuf, nous obtenons 𝑦 est égal à 𝑘 multiplié par 𝑥 moins zéro au carré moins neuf. Et il convient également de souligner que puisque nous pouvons voir sur la figure que la parabole s’ouvre vers le haut, nous pouvons conclure que 𝑘 doit être positif. Nous pouvons alors simplifier le membre de droite de cette équation. Nous obtenons 𝑦 est égal à 𝑘𝑥 au carré moins neuf.
Pour déterminer la deuxième sous-fonction, nous allons devoir trouver la valeur de 𝑘. Nous pouvons le faire en remplaçant par les coordonnées de n’importe quel autre point situé sur la parabole. Nous choisirons le point donné où la courbe coupe l’axe des abscisses, le point moins trois, zéro. En remplaçant par ces coordonnées, nous obtenons que zéro est égal à 𝑘 fois moins trois au carré moins neuf. Et nous pouvons alors trouver 𝑘. En simplifiant, nous obtenons zéro est égal à neuf 𝑘 moins neuf. Nous pouvons alors ajouter neuf des deux côtés de l’équation et diviser par neuf pour voir que 𝑘 vaut un. Donc, nous pouvons remplacer 𝑘 par un, et cela signifie que notre deuxième sous-fonction doit être 𝑥 au carré moins neuf.
On peut alors trouver le deuxième sous-domaine de la même manière. Nous devons utiliser le diagramme pour déterminer les valeurs d’entrée de 𝑥 pour cette section du graphe. Et rappelez-vous, nous avons déjà choisi moins trois comme étant inclus dans le premier sous-domaine, il ne sera donc pas inclus dans le deuxième sous-domaine. Nous pouvons alors voir sur la figure que les valeurs des abscisses 𝑥 pour la parabole vont de moins trois à deux. Nous avons déjà noté que nous n’incluions pas moins trois dans ce sous-domaine. Cependant, nous pouvons voir que dans les cinq options données, deux n’appartiennent à aucun des seconds sous-domaines. Nous allons donc également choisir de ne pas en inclure deux dans ce sous-domaine. Nous obtenons 𝑥 doit être supérieur à moins trois et 𝑥 est inférieur à deux. Bien sûr, cela signifie que nous devrons inclure deux dans le troisième sous-domaine.
Commençons donc par trouver le troisième sous-domaine de la troisième sous-fonction. Encore une fois, nous devons trouver les valeurs des abscisses 𝑥 pour cette section du graphe en utilisant un diagramme. Nous avons décidé d’inclure la valeur de deux. Cependant, nous pouvons voir sur la figure qu’il y a un cercle creux dans la figure lorsque 𝑥 est égal à six, nous n’incluons donc pas la valeur de six. Cependant, nous incluons toutes les valeurs supérieures ou égales à deux et inférieures à six. Par conséquent, notre troisième sous-domaine contient les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à deux et inférieures à six.
Il ne reste plus qu’à trouver la troisième sous-fonction, et nous pouvons le faire directement à partir du diagramme. Il s’agit d’une droite horizontale en moins cinq. Donc, les sorties sont une valeur constante de moins cinq, la troisième sous-fonction est donc moins cinq. Par conséquent, nous avons pu montrer que la définition par morceaux de la fonction représentée par le graphe est 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 est supérieur à moins huit et inférieur ou égal à moins trois. Et 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré moins neuf lorsque 𝑥 est supérieur à moins trois et inférieur à deux. Et 𝑓 de 𝑥 est égale à moins cinq lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à deux et inférieur à six. Et cela correspond à l’option (A).
