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Dans cette leçon, nous allons apprendre à tracer et à analyser une fonction définie par morceaux et à étudier ses différentes caractéristiques.
On rencontre parfois une fonction qui s’obtient par l’assemblage de plusieurs fonctions. On appelle cela une fonction définie par morceaux. Il s’agit d’une fonction qui utilise plusieurs fonctions pour définir ses valeurs sur différentes parties de son domaine. Chacune des sous-fonctions est définie sur son propre domaine de définition.
Par exemple, prenons 𝑓 de 𝑥, qui est une fonction définie par morceaux. Elle est égale à deux 𝑥 plus un pour 𝑥 strictement inférieur à moins un et trois 𝑥 pour 𝑥 supérieur ou égal à moins un. On voit que pour les valeurs de 𝑥 strictement inférieures à moins un, on utilise la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus un. Par exemple, 𝑓 de moins deux égale deux fois moins deux plus un, soit moins trois. Mais, pour des valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins un, on utilise la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥. Ainsi, par exemple, 𝑓 de zéro égale trois fois zéro égale zéro.
Il s’agit donc d’apprendre à identifier les graphiques de ces fonctions, à les tracer, et à identifier une fonction à partir de son graphique. Voyons donc ce qu’il en est en prenant un exemple.
Quel type de fonction est représentée par le graphique ? Est-ce (A) une fonction paire, (B) une fonction logarithme, (C) une fonction définie par morceaux ou (D) une fonction polynomiale ?
Commençons par fournir une définition de chacun de ces termes. Si une fonction 𝑓 de 𝑥 vérifie 𝑓 de moins 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥 pour tout 𝑥 du domaine de définition de la fonction, alors on dit qu’elle est paire. On sait également que ces fonctions sont symétriques par rapport à l’axe des 𝑦 ou de la droite 𝑥 égale zéro. Passons aux fonctions logarithmes. Elles sont de la forme log base 𝑎 de 𝑥. Ce sont les fonctions réciproques des fonctions exponentielles. Notons également que le domaine de définition d’une fonction logarithme est l’ensemble des réels positifs et que son image est l’ensemble des nombres réels.
Ensuite, nous avons les fonctions définies par morceaux. Ce sont des fonctions définies à l’aide de plusieurs sous-fonctions sur différentes parties de son domaine de définition. Chaque sous-fonction est définie sur son propre domaine de définition. Enfin, nous avons les fonctions polynomiales. Celles-ci se composent de la somme ou de la différence de termes constants, de variables et de puissances entières positives, comme deux 𝑥 au cube plus cinq 𝑥. Le domaine de définition des fonctions polynomiales est l’ensemble des nombres réels. On sait aussi que leurs représentations graphiques sont continues et lisses. Autrement dit, ces courbes n’ont pas de trous, qu’on pourrait appeler discontinuités et pas d’angles non plus. Examinons notre graphique au regard de ces définitions.
Remarquons d’abord qu’il n’y a pas de symétrie par rapport à la droite 𝑥 égale zéro. Nous pouvons en déduire que la fonction n’est pas paire. Nous voyons également que le graphique est défini au moins pour les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins 10 et inférieures ou égales à huit. Il pourrait également défini en dehors de cet intervalle, mais nous n’en sommes pas sûrs à ce stade. Cela nous indique que son domaine de définition n’est pas celui d’une fonction logarithme, à savoir l’ensemble des nombres réels positifs. Notre graphique ne peut donc pas être celui d’une fonction logarithme.
Il ne nous reste plus que les fonctions définies par morceaux et les fonctions polynomiales. Mais nous avons dit que la courbe d’une fonction polynomiale était lisse ; il n’y a pas d’angles. Cela signifie qu’elle est dérivable en tout point. Or, on voit très clairement que le graphique a deux angles. Il n’est donc pas lisse. Il ne peut donc pas être une fonction polynomiale. La réponse est donc (C), une fonction définie par morceaux. En fait, en regardant bien, on voit que cette fonction définie par morceaux se compose de trois parties. La première partie concerne les valeurs de 𝑥 inférieures à moins trois. Nous avons ensuite les valeurs de 𝑥 comprises entre moins trois et zéro. Enfin, une troisième sous-fonction pour les valeurs de 𝑥 allant de zéro, semble-t-il jusqu’à huit.
Nous avons donc vu à quoi ressemblait le graphique d’une fonction définie par morceaux. Nous allons maintenant voir comment déterminer le domaine de définition d’une fonction définie par morceaux à partir de son graphique.
Déterminez le domaine de définition de la fonction représentée par ce graphique.
Rappelons d’abord ce que signifie le mot « domaine ». Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des entrées possibles qui donneront des sorties réelles. Autrement dit, c’est l’ensemble des valeurs de 𝑥 qui peuvent être utilisées dans la fonction. En regardant le graphique d’une fonction, on peut trouver son domaine de définition en cherchant l’étendue des valeurs selon l’axe des 𝑥. Il faut être un peu prudent, car on remarque des cercles vides sur le graphique de cette fonction. Ces cercles ouverts indiquent qu’en ce point, la fonction n’est pas définie par cette partie de la droite. Puisqu’il s’agit d’une fonction définie par morceaux, c’est-à-dire définie par plusieurs sous-fonctions, cherchons d’abord le domaine de définition de chaque sous-fonction.
On voit qu’il y a une sous-fonction pour les valeurs inférieures à moins quatre. Ensuite, une autre sous-fonction pour les valeurs supérieures à moins quatre. Comme le point initial ou le point de départ de chaque droite de la sous-fonction est marqué d’un cercle ouvert, 𝑥 égale moins quatre n’appartient pas au domaine de définition de la fonction. Le domaine de définition est donc l’ensemble des réels à l’exclusion de ce nombre. Pour noter cela, on pourrait utiliser des inéquations et écrire 𝑥 est strictement inférieur à moins quatre ou 𝑥 est strictement supérieur à moins quatre.
À la place, utilisons plutôt les notations ensemblistes, où l’ensemble noté ℝ représente l’ensemble des nombres réels, et ces accolades indiquent que l’ensemble contient un seul élément, privé de quatre. Ainsi, le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des nombres réels sauf le nombre moins quatre.
Maintenant que nous avons vu que l’ensemble des valeurs de 𝑥 correspondait au domaine de définition de la fonction, voyons comment trouver l’ensemble image d’une fonction par morceaux.
Trouvez l’ensemble image de la fonction.
Rappelons d’abord ce qu’est l’ensemble image d’une fonction. Tout comme le domaine de définition est l’ensemble des entrées possibles d’une fonction, l’ensemble image est l’ensemble des sorties possibles. Autrement dit, c’est l’ensemble des valeurs de 𝑦 obtenues en prenant l’image par la fonction de toutes les valeurs 𝑥 du domaine de définition. Cela signifie que, graphiquement, l’image de la fonction se trouve en regardant l’étendue des valeurs de 𝑦.
Sur le graphique, on voit que les valeurs de 𝑦 commencent à moins un. Ceci pour les valeurs de 𝑥 inférieures ou égales à quatre. Ensuite, à partir de 𝑥 égale quatre, les valeurs de 𝑦 augmentent régulièrement, et cette flèche indique qu’elles vont jusqu’à ∞. On peut donc dire que l’image, l’ensemble des sorties possibles, est l’ensemble des valeurs de 𝑦 supérieures ou égales à moins un. Utilisons la notation ensembliste de ce même intervalle, il s’agir de l’intervalle fermé à gauche en moins un et ouvert à droite en ∞. Notez que la parenthèse ronde indique que ∞ n’est pas un nombre défini. Ainsi, l’image de cette fonction, qui est l’ensemble des valeurs possibles de 𝑦, est l’intervalle fermé à gauche en moins un et ouvert à droite en l’∞.
Jusqu’ici, nous avons vu ce qu’était une fonction définie par morceaux et comment déterminer son domaine de définition et son ensemble image à partir de son graphique. Voyons maintenant comment définir entièrement une fonction par morceaux à partir de son graphique.
Donnez la définition par morceaux de la fonction ℎ dont le graphique est le suivant.
On sait que ce graphique est celui d’une fonction définie par morceaux. On sait aussi qu’une fonction définie par morceaux est composée de plusieurs sous-fonctions. Ici, en regardant le graphique de cette fonction, on peut remarquer qu’il y a deux sous-fonctions. Ces sous-fonctions sont affines puisque leurs graphiques sont des droites. Cela signifie donc que, pour chaque droite, si on trouve sa pente 𝑚 et un point appartenant à la droite, alors son équation est 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un.
Commençons par la première partie de cette sous-fonction. Remarquons que cette sous-fonction est définie pour les valeurs de 𝑥 allant jusqu’à deux inclus. C’est un indice sur son domaine de définition. Ensuite, on peut utiliser la formule de la pente 𝑚 égale 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un pour trouver la pente de cette droite. Sinon, on peut utiliser la méthode du triangle. Choisissons un point sur la droite, par exemple prenons l’ordonnée à l’origine, puis déplaçons-nous exactement d’une unité vers la droite ; on voit qu’il faut descendre d’une unité pour revenir à un point sur la droite. Cela signifie que la pente de cette droite est moins un. De plus, elle passe par le point zéro, trois. Rappelez-vous, il s’agit de l’ordonnée à l’origine de la droite.
Ainsi, en insérant dans l’équation d’une droite tout ce que nous savons de cette première fonction, nous obtenons 𝑦 moins trois égale moins une fois 𝑥 moins zéro. En simplifiant les parenthèses du côté droit, on obtient moins 𝑥. Puis on isole 𝑦 en ajoutant trois de chaque côté. Rappelez-vous, 𝑦 est la sortie. Ce qui correspond à ℎ de 𝑥. Ainsi, la première droite est définie par l’équation 𝑦 égale trois moins 𝑥.
Recommençons ce procédé pour la deuxième droite. Il faut toujours être un peu prudent quand on utilise la méthode du triangle et que la pente est une fraction. Ici, après avoir choisi un point sur la droite, s’être déplacé d’une unité vers la droite, il faut ensuite monter d’une demi-unité vers le haut pour revenir à un point de la droite, ce qui signifie que la pente de la deuxième droite est un demi. Pour s’en convaincre, on peut choisir deux points de cette droite dont les coordonnées respectives sont quatre, deux et six, trois. Alors 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un, c’est-à-dire la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥, est égal à trois moins deux sur six moins quatre, ce qui vaut un demi comme nous l’avons vu.
Ensuite, choisissons ce point. Nous savons que la droite passe par le point de coordonnées deux, un. Ainsi, l’équation de notre droite est 𝑦 moins un est égal à un demi fois 𝑥 moins deux. Ensuite, en développant les parenthèses à droite, on obtient que un demi de 𝑥 moins deux est égal à un demi 𝑥, ou 𝑥 sur deux, moins un. Enfin, on peut ajouter un de chaque côté, ce qui élimine ce moins un. Ainsi, la deuxième droite a pour équation 𝑦 égale 𝑥 sur deux. Maintenant que nous avons les équations de nos sous-fonctions, nous allons les réunir en utilisant la définition par morceaux.
ℎ est égal à trois moins 𝑥 pour les valeurs de 𝑥 strictement inférieures à deux. Elle vaut 𝑥 sur deux si 𝑥 est supérieur ou égal à deux, ce qui bien sûr revient à écrire que deux est inférieur ou égal à 𝑥. Notez que la fonction aurait bien sûr pu être définie au point 𝑥 égale deux par l’une ou l’autre des sous-fonctions. La convention est en général de choisir la deuxième fonction pour définir ce point, bien qu’il eût été tout aussi correct d’écrire trois moins 𝑥 pour 𝑥 inférieur ou égal à deux et 𝑥 sur deux pour 𝑥 strictement supérieur à deux. La définition par morceaux de ℎ est trois moins 𝑥 pour 𝑥 strictement inférieur à deux et 𝑥 sur deux si deux est inférieur ou égal à 𝑥.
Dans le dernier exemple, nous verrons comment définir une fonction par morceaux à partir d’un graphique qui présente une discontinuité.
Donnez la définition par morceaux de la fonction 𝑓 dont le graphique est le suivant.
D’après l’énoncé, il s’agit du graphique d’une fonction définie par morceaux. Cela paraît logique. On voit qu’elle est composée de trois parties différentes. Nous avons ici une fonction affine donnée par une droite et une autre fonction affine donnée par une autre droite. Mais il y a ici quelque chose de bien étrange. Il y a un seul point ici. Nous verrons un peu plus loin ce que cela signifie pour la définition par morceaux.
Pour l’instant, commençons par trouver l’équation de ces deux droites. Utilisons la formule 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un, où 𝑚 est la pente de la courbe et 𝑥 un, 𝑦 un est un point appartenant à la droite. La pente est donnée par la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥, c’est-à-dire 𝑦 deux moins 𝑦 un divisé par 𝑥 deux moins 𝑥 un. Commençons donc par trouver la pente de la première droite, on peut choisir deux points de cette droite. Choisissons les points de coordonnées moins trois, six et un, deux. Alors, la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥 est égale à six moins deux sur moins trois moins un. Bien sûr, on pourrait écrire deux moins six divisé par un moins moins trois, on obtiendrait le même résultat.
Cela donne quatre divisé par moins quatre, ce qui vaut moins un. Puis, en insérant dans l’équation d’une droite tout ce qu’on sait de la première droite, on obtient 𝑦 moins six égale moins un fois 𝑥 moins moins trois. Par distributivité sur la parenthèse du côté droit, cela se simplifie en moins 𝑥 moins trois. Enfin, ajoutons six de chaque côté, on trouve 𝑦 égale moins 𝑥 plus trois ou trois moins 𝑥. Ainsi, pour les valeurs de 𝑥 strictement inférieures à deux, on peut utiliser l’équation 𝑦 égale trois moins 𝑥 pour tracer son graphique.
Maintenant, choisissons deux points sur la deuxième droite. Choisissons les points de coordonnées quatre, quatre et six, cinq. La variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥 vaut cinq moins quatre sur six moins quatre, ce qui est égal à un demi. La pente de la deuxième droite est donc un demi. En utilisant 𝑚 égale un demi et 𝑥 un, 𝑦 un égale quatre, quatre dans l’équation d’une droite, on obtient 𝑦 moins quatre est égal à un demi fois 𝑥 moins quatre. Ce côté droit se simplifie à 𝑥 sur deux moins deux. Ensuite, ajoutons quatre de chaque côté. Ainsi, la deuxième droite a pour équation 𝑦 égale 𝑥 sur deux plus deux. Cette fois, cela est valable pour les valeurs de 𝑥 strictement supérieures à deux. Nous avons donc maintenant les équations de nos deux droites. À savoir, trois moins 𝑥 pour 𝑥 strictement inférieur à deux et 𝑥 sur deux plus deux pour 𝑥 strictement supérieur à deux.
Mais ce n’est pas fini ; intéressons-nous à la troisième sous-fonction. Cette sous-fonction est représentée graphiquement par un seul point. Ce point a pour coordonnées deux, deux. Autrement dit, lorsque 𝑥 est égal à deux, la fonction est égale à deux. Il s’agit donc de notre troisième sous-fonction. En écrivant deux est strictement inférieur à 𝑥 pour définir la troisième droite, nous avons maintenant la définition par morceaux de notre fonction. Cela donne 𝑓 de 𝑥 est égal à trois moins 𝑥 si 𝑥 est strictement inférieur à deux, deux si 𝑥 est égal à deux, et 𝑥 sur deux plus deux si deux est strictement inférieur à 𝑥.
Récapitulons les principaux points clés de notre leçon. Dans cette leçon, nous avons appris qu’une fonction définie par morceaux est une fonction définie par plusieurs sous-fonctions. Nous avons ensuite vu que chacune de ces sous-fonctions est définie sur un intervalle donné du domaine de définition de la fonction principale. Nous pouvons l’appeler sous-domaine. Nous avons enfin vu comment identifier, en examinant attentivement leur définition, le domaine de définition et l’ensemble image à partir d’une fonction ou de son graphique.
