Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment représenter graphiquement et analyser une fonction définie par morceaux et étudier ses différentes caractéristiques.
Une fonction définie par morceaux est constituée de plusieurs sous-fonctions définies sur des sous-domaines de définition individuels. L’union des sous-domaines de définition constitue le domaine de définition global de la fonction définie par morceaux. L’union des ensembles image de toutes les sous-fonctions constitue l’ensemble image de la fonction par morceaux globale.
Les données suivantes sur les prix des billets d’un parc d’attractions peuvent être modélisées par une fonction définie par morceaux.
| Prix des billets du parc d’attractions | |
|---|---|
| Âge | Prix |
| 5–12 | 8,50 $ |
| 13–18 | 12 au total $ |
| 15 $ | |
Le tableau présente trois prix de billets différents qui dépendent de l’âge du visiteur du parc. Pour modéliser cela, il faut trois sous-fonctions différentes. On doit également réfléchir à la manière d’interpréter les catégories d’âge lors de la sélection de l’ensemble de définition de chaque sous-fonction. L’âge de 5 à 12 ans couvre les personnes à partir du moment où l’horloge sonne minuit annonçant leur 5e anniversaire jusqu’à l’instant qui précède le moment où l’horloge sonne minuit annonçant leur 13e anniversaire. L’âge de 13 à 18 ans couvre les personnes à partir du moment où l’horloge sonne minuit annonçant leur 13e anniversaire jusqu’à l’instant qui précède le moment où l’horloge sonne minuit annonçant leur 19e anniversaire. L’âge couvre les personnes à partir du moment où l’horloge sonne à minuit annonçant leur 19e anniversaire.
On note l’âge (en ans) du visiteur du parc et on définit par le prix du billet correspondant à son âge (en dollars ). La function est donc définie comme suit :
Maintenant, regardons comment représenter graphiquement cette fonction. On doit examiner chaque sous-domaine de définition séparément.
Les visiteurs du parc âgés de 5 à 12 ans payent tous 8,50 $, donc la valeur de est égale à 8,5 pour . Cela est représenté par un segment de droite horizontal avec une ordonnée égale à 8,5 pour des valeurs de entre 5 (5 inclus, représenté par un point plein) et 13 (13 exclu, représenté par un point creux). On a représenté cela avec le segment de droite rose sur le graphique ci-dessous.
Les visiteurs du parc âgés de 13 à 18 ans payent tous 12 $ , donc la valeur de est égale à 12 lorsque . Cela est représenté par un segment de droite horizontal sur le graphique avec une ordonnée égale à 12 pour des valeurs de entre 13 (13 inclus, représenté par un point plein) et 19 (19 exclu, représenté par un point creux). On a représenté cela avec un segment de droite bleu sur le graphique ci-dessous.
Les visiteurs du parc âgés de payent tous 15 $, donc la valeur de est égale à 15 lorsque . Cela est représenté par une demi-droite horizontale sur le graphique avec une ordonnée valant 15 et ce pour les valeurs de supérieures à 19 (19 inclus, représenté par un point plein) ; et allant vers des valeurs plus grandes (représentées par une flèche pointant vers la droite). Bien que les gens ne vivent pas éternellement, le modèle de tarification est défini de sorte que peu importe l’âge du visiteur, s’il a, 19 ans ou plus, il devra payer 15 $ pour entrer dans le parc. On a représenté cela avec la droite verte sur la représentation graphique ci-dessous.
Bien que, dans de nombreuses fonctions définies par morceaux, les définitions des sous-fonctions peuvent être beaucoup plus compliquées que les fonctions constantes de notre exemple de parc d’attractions, le principe reste le même pour les représenter graphiquement. En effet, on doit considérer la représentation graphique pour chaque sous-domaine de définition individuellement, étudier ce qui se passe à chaque extrémité de chaque sous-fonction, et les représenter côte à côte sur le même repère.
La fonction définie par morceaux que l’on a définie pour les prix des billets du parc d’attractions, et que l’on a représentée graphiquement, est définie uniquement pour toutes les valeurs de supérieures ou égales à 5. Par conséquent, l’ensemble de définition de la fonction globale peut être défini comme une inégalité, , ou en utilisant la notation d’intervalles comme , ou bien en notation d’ensemble comme .
Les valeurs que la fonction peut prendre sont seulement , et . Par conséquent, l’image de la fonction globale peut être écrite en notation d’ensemble comme .
Étudions maintenant quelques exemples où nous devons travailler sur des représentations graphiques de fonctions définies par morceaux.
Exemple 1: Identifier le type de fonction représentée sur un graphique
Quel type de fonction est représenté sur le graphique ?
- une fonction paire
- une fonction logarithmique
- une fonction définie par morceaux
- une fonction polynomiale
Réponse
On étudie chacune des options.
- Une fonction paire est une fonction pour laquelle pour toutes les valeurs de dans l’ensemble de définition de . Cela signifie que les fonctions paires sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées , ce qui n’est pas le cas de la représentation graphique donnée. Par exemple, mais , donc ; par conséquent, la fonction n’est pas paire.
- Le logarithme d’une valeur donnée, par exemple , est l’exposant auquel une autre base doit être élevée pour produire . Les représentations graphiques des fonctions logarithmiques ont des courbes régulières qui sont asymptotiques à l’axe des ordonnées , comme on peut le voir dans les exemples ci-dessous. La courbe ci-dessous a des angles aigus en et , donc elle n’est pas régulière sur tout son ensemble de définition, et elle n’a pas non plus d’asymptotes verticales. En outre, les fonctions logarithmiques ne sont pas définies pour les valeurs négatives de ; en d’autres termes, leur ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels positifs. Le graphique donné représente une fonction qui a un ensemble de définition incluant , qui comprend des valeurs négatives de , donc la représentation graphique donnée ne ressemble pas à une fonction logarithmique.
- La représentation graphique de cette fonction est constituée de trois sous-fonctions distinctes.
- Pour des valeurs de entre et , la représentation graphique est une droite avec une pente qui vaut 1. On peut écrire l’équation de cette droite sous la forme , où est la pente qui vaut 1 et est l’ordonnée à l’origine, donc . On voit aussi que la droite passe par le point , donc quand , ce qui permet de calculer la valeur de et qui vaut 5. Par conséquent, on peut écrire l’équation comme .
- Pour des valeurs de allant de à 0, la courbe est un segment de droite horizontal telle que l’ordonnée est toujours égale à 2, on peut donc écrire l’équation de cette droite sous la forme .
- Pour des valeurs de allant de 0 à , la courbe est à nouveau un segment de droite avec une pente qui vaut 1. Cette fois, on peut voir que l’ordonnée à l’origine est égale à 2, on peut donc écrire l’équation sous la forme .
Cependant, à partir de la représentation graphique, on peut voir que les valeurs des sous-fonctions sont les mêmes que celles de leurs voisines en leurs extrémités communes ; en d’autres termes, les sous-fonctions se joignent pour former une fonction continue. Il serait également valable de définir les sous-fonctions comme ayant des sous-domaines légèrement différents en réarrangeant la sous-fonction à laquelle appartiennent les points de connexion. Dans cette situation, où l’affectation est arbitraire, il est convenu d’inclure l’extrémité gauche et d’exclure l’extrémité droite des sous-fonctions.
Le fait que notre fonction doit être définie en tant qu’une série de sous-fonctions sur des sous-domaines spécifiques fait d’elle une fonction définie par morceaux. - Les fonctions polynomiales impliquent l’addition, la soustraction et la multiplication de coefficients et de variables avec des puissances entières non négatives. Les représentations graphiques de fonctions polynomiales produisent des courbes régulières et peuvent être définies par une seule équation polynomiale. La courbe donnée possède deux points d’irrégularité en et , il ne s’agit donc pas de la représentation graphique d’une fonction polynomiale.
La fonction représentée sur le graphique est une fonction définie par morceaux (option).
Dans notre prochain exemple, nous allons examiner les extrémités de chaque sous-fonction sur la représentation graphique d’une fonction définie par morceaux pour trouver son ensemble de définition.
Exemple 2: Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux à partir de sa représentation graphique
Déterminez l’ensemble de définition de la fonction représentée par le graphique suivant.
Réponse
L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs où la fonction est définie. Sur le graphique d’une fonction, l’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs de où la courbe est tracée. Pour une fonction définie par morceaux, l’ensemble de définition est l’union des sous-ensembles de définition de chaque sous-fonction. Cette fonction définie par morceaux a deux sous-fonctions.
La première sous-fonction est une demi-droite avec un point creux en . Le point creux indique que cette sous-fonction est non définie en et, par conséquent, a un intervalle ouvert à droite. La flèche indique que la sous-fonction s’étend indéfiniment dans le sens de cette flèche, ici vers l’infini négatif. Par conséquent, la première sous-fonction a un sous-ensemble de définition de
La deuxième sous-fonction est une demi-droite avec un point creux en . Le point creux indique que cette sous-fonction n’est pas définie en et, par conséquent, a un intervalle ouvert à gauche. La flèche indique que cette sous-fonction s’étend indéfiniment dans le sens de la flèche, qui est ici vers l’infini positif. Par conséquent, l’ensemble de définition de la deuxième sous-fonction est
L’union de ces sous-ensembles de définition est
L’union de ces deux sous-ensembles de définition inclut tous les nombres réels à l’exception de ,
Graphiquement, on peut trouver l’ensemble de définition en observant les droites verticales sur le graphique et en voyant où elles coupent la courbe. Dans ce cas, la droite verticale en ne coupe que les points creux de chaque sous-fonction.
Aucune des deux sous-fonction n’est définie pour , ce qui signifie que cette fonction définie par morceaux n’est pas définie en . Par conséquent, le domaine de définition de cette fonction définie par morceaux est l’ensemble des nombres réels à l’exception de ,
Dans l’exemple précédent, nous avons vu que le domaine de définition d’une fonction définie par morceaux est l’union des sous-domaines de définition de chacune des sous-fonctions. Dans notre prochain exemple, nous allons montrer que l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux est égal à l’union des ensembles images de chaque sous-fonction sur leurs sous-domaines de définition respectifs.
Exemple 3: Déterminer l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux à partir de sa représentation graphique
Déterminez l’ensemble image de la fonction.
Réponse
Sur la représentation graphique donnée, on peut identifier deux sous-fonctions formant une fonction définie par morceaux. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs de sortie possibles d’une fonction, à partir de son domaine de définition. L’ensemble image d’une fonction définie par morceaux est l’union des ensembles images de chaque sous-fonction sur leurs sous-domaines de définition respectifs.
On peut identifier les valeurs de l’ensemble image en utilisant des droites horizontales. Si une droite horizontale coupe la courbe de la fonction, alors la valeur de la droite horizontale appartient à l’image. Pour cette fonction définie par morceaux, la droite horizontale coupe la courbe de l’une des sous-fonctions, ce qui signifie que 3 appartient à l’ensemble image de cette sous-fonction.
Sur la représentation graphique, on étudie le comportement de la sous-fonction qui commence en et s’étend indéfiniment vers l’infini positif. Toute droite horizontale au-dessus de coupe cette sous-fonction et doit être incluse dans l’image
Toute droite horizontale entre et coupe cette sous-fonction, son image est donc
Il convient de noter ici que l’autre sous-fonction est la demi-droite horizontale sur son sous-ensemble de définition .
Par conséquent, est la seule valeur dans l’ensemble image. L’ensemble image de cette sous-fonction sur son sous-domaine de définition est
L’union des ensembles images de ces deux sous-fonctions sur leurs sous-domaines de définition respectifs est
Par conséquent, l’ensemble image de cette fonction définie par morceaux est
Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser la représentation graphique d’une fonction définie par morceaux pour déterminer une définition formelle de la fonction.
Exemple 4: Définir une fonctions définie par morceaux à partir de sa représentation graphique
Donnez la définition de la fonction définie par morceaux dont la courbe est tracée ci-dessous..
Réponse
Une fonction définie par morceaux se compose de deux ou plusieurs sous-fonctions. Pour définir une fonction définie par morceaux, on doit déterminer l’expression de chacune des sous-fonctions et le sous-domaine de définition de chacune d’elles. On va d’abord déterminer combien de sous-fonctions composent cette fonction définie par morceaux en observant la représentation graphique. Dans ce cas, il y a deux sous-fonctions.
On a une demi-droite avec une pente négative qui se termine en et une autre demi-droite qui commence en et qui a une pente positive. Chacune de ces demi-droites forme une sous-fonction de cette fonction définie par morceaux sur son sous-domaine de définition respectif. On définit donc une équation en fonction de pour chaque sous-fonction et on identifie leurs sous-domaines de définition respectifs.
La forme réduite d’une droite indique qu’une droite ayant une pente et un ordonnée à l’origine a une équation de la forme . La pente est égale à .
La droite avec la pente négative a une ordonnée à l’origine qui vaut 3. La pente est déterminée à partir de la représentation graphique sans effectuer de calculs formels. Comme la valeur de augmente d’une unité, la valeur de diminue d’une unité.
Par conséquent, . D’où,
Par conséquent, la première sous-fonction est définie comme
On doit cependant encore identifier le sous-domaine de définition de cette sous-fonction ; on peut tracer une droite verticale en , et on peut confirmer que 2 est inclus dans l’ensemble de définition de cette fonction définie par morceaux puisqu’elle coupe la courbe en .
Sur la représentation graphique, 2 semble faire partie des ensembles de définition des deux sous-fonctions. Cependant, lorsque on définit une fonction définie par morceaux, on n’inclut 2 que dans le domaine de l’une des sous fonctions, afin que leurs domaines de définition ne se chevauchent pas. Cela est généralement déterminé par le contexte de la question. Comme on dispose seulement de la représentation graphique sans aucune autre donnée, on définit simplement le sous-domaine de définition de la première sous-fonction comme
Par conséquent, la deuxième sous-fonction est définie pour le sous-domaine de définition .
Il serait également valable de définir les sous-fonctions comme ayant des sous-domaines de définition légèrement différents en réarrangeant à quelle sous-fonction les points de connexion appartiennent. Dans cette situation où l’affectation est arbitraire, il est conventionnel d’inclure l’extrémité gauche, et d’exclure l’extrémité droite des sous-fonctions.
Maintenant que l’on a défini chaque sous-domaine de définition, on utilise la représentation graphique pour déterminer une formule de la deuxième sous-fonction sur son sous-domaine de définition.
La demi-droite de la deuxième sous-fonction montre que la valeur de augmentant de 1 unité lorsque la valeur de augmente de 2 unités. Par conséquent, . On peut alors identifier l’ordonnée à l’origine graphiquement en prolongeant la droite pour voir où cette sous-fonction intersecterait l’axe des ordonnées s’il faisait partie de l’ensemble de définition.
L’ordonnée à l’origine de la deuxième sous-fonction est 0. Par conséquent, la formule de la deuxième sous-fonction est
La combinaison de ces deux formules de sous-fonction sur leurs sous-domaines de définition respectifs définit cette fonction définie par morceaux comme
Dans l’exemple 5, nous allons utiliser une représentation graphique pour déterminer une définition formelle d’une fonction définie par morceaux avec plus de deux sous-fonctions.
Exemple 5: Définir une fonction définie par morceaux à partir de sa représentation graphique incluant une discontinuité
Donnez la définition de la fonction définie par morceaux dont la courbe est représentée ci-dessous.
Réponse
Une fonction définie par morceaux se compose de deux ou plusieurs sous-fonctions. Pour définir une fonction définie par morceaux, on doit déterminer la formule de chacune des sous-fonctions et leurs sous-domaines de définition respectifs. Trois comportements distincts sont illustrés sur cette représentation graphique.
Par conséquent, on doit déterminer trois expressions et trois sous-domaines de définition, un pour chaque sous-fonction.
Pour les droites, on peut écrire l’équation en utilisant la forme réduite , où est l’ordonnée à l’origine et est la pente. la pente. est égal à .
Pour cette droite, la variation de est de 1 unité à droite et la variation de est de 1 unité vers le bas. Par conséquent, , ce qui se simplifie par . L’ordonnée à l’origine vaut 3. Par conséquent, l’expression de cette sous-fonction sur son sous-domaine de définition est
Le sous-domaine de définition de cette sous-fonction est égal à l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée pour cette sous-fonction. Le point creux indique que la limite supérieure de ce sous-domaine de définition doit être ouverte. Par conséquent, le sous-domaine de définition est l’intervalle ouvert .
La sous-fonction suivante a un point plein en .
Le point plein en indique que c’est la fonction constante dont le sous-domaine de définition est .
La troisième sous-fonction a un point creux en et s’étend indéfiniment. Par conséquent, le sous-domaine de définition de cette sous-fonction est l’intervalle .
Pour cette sous-fonction, la valeur de augmente de 2 unités lorsque la valeur de augmente de 1 unité. Par conséquent, . On peut alors identifier l’ordonnée à l’origine graphiquement en étendant la droite pour voir où cette sous-fonction intersecterait l’axe des ordonnées s’il faisait partie de son sous-ensemble de définition.
L’ordonnée à l’origine de cette sous-fonction est 2. Par conséquent, la formule de la troisième sous-fonction sur son sous-domaine de définition est
En combinant ces trois sous-fonctions on obtient la fonction définie par morceaux suivante :
Notre dernier exemple explore la représentation graphique des intervalles ouverts et fermés pour des sous-domaines de définition de fonctions définies par morceaux.
Exemple 6: Identifier la représentation graphique d’une fonction définie par morceaux à partir de sa définition
Indiquez lequel des graphiques suivants représente la fonction
Réponse
On considère la fonction définie par morceaux suivante
Cette fonction définie par morceaux se compose de deux sous-fonctions définies sur des sous-domaines spécifiés. La première sous-fonction est une fonction quadratique définie sur le sous-domaine . Pour représenter graphiquement cette fonction quadratique, on peut utiliser le sous-domaine de définition pour créer un tableau de valeurs d’entrée et de sortie. On sait que le sous-domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des inférieures à 2.
| 4 | |
| 1 | |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
En utilisant le tableau, on peut tracer ces points sur un repère. Remarque que le point sur le graphique est creux car n’est pas inclus dans le sous-domaine de définition de .
Tracer une courbe passant par les points ayant les coordonnées précédents nous donne la courbe de sur le sous-domaine de définition .
La deuxième sous-fonction est une fonction affine. À nouveau, on peut utiliser le sous-domaine de définition donné pour créer un tableau avec quelques valeurs de l’ensemble de départ et leurs images correspondantes pour nous aider à représenter graphiquement cette sous-fonction. Pour cette sous-fonction, le sous-domaine de définition est ; par conséquent, la valeur est incluse dans le domaine de définition.
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 4 | 2 |
| 5 | 0 |
Ensuite, on trace ces points sur le même repère que la première sous-fonction.
On note que, pour la deuxième sous-fonction, en , on inclut un point plein car 2 est inclus dans le sous-domaine de définition de .
Enfin, on trace une droite allant du point à , en se rappelant que cette droite s’étend indéfiniment dans cette direction.
En représentant graphiquement cette fonction définie par morceaux, on a montré que seule l’option D représente correctement cette fonction.
Terminons par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Une fonction définie par morceaux est constituée de plusieurs sous-fonctions définies sur des sous-domaines de définition.
- Un point creux sur la courbe d’une fonction signifie que la fonction n’est pas définie en ce point.
- Un point plein sur la courbe d’une fonction signifie que la fonction est définie en ce point.
- Pour représenter graphiquement une fonction définie par morceaux :
- on considère chaque sous-fonction sur son sous-domaine de définition séparément ;
- on étudie ce qui se passe aux extrémités du domaine de définition de chaque sous-fonction ;
- on représente graphiquement chaque sous-fonction sur le même repère.
