Video Transcript
Déterminez les cosinus directeurs de la normale au plan d'équation quatre 𝑥 plus huit 𝑦 moins trois 𝑧 égale 28.
Commençons par reformuler l’équation de ce plan pour qu’elle soit sous forme générale. Cela implique de déplacer des termes de sorte que zéro apparaisse sur un membre de l’équation. Pour l’équation qui nous est donnée, on peut obtenir la forme générale en soustrayant 28 aux deux membres. Sous cette forme, on reconnaît que les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 représentent les composantes d’un vecteur qui est normal à ce plan. Autrement dit, un vecteur normal au plan 𝐧 a les composantes quatre, huit, moins trois.
Cela est utile car les cosinus directeurs de la normale au plan peuvent être considérés comme les composantes d’un vecteur unitaire dans la même direction que 𝐧. C’est-à-dire que si la norme de 𝐧 était égale à un, alors ses composantes seraient les cosinus directeurs de la normale au plan.
Pour trouver les cosinus directeurs, nous devons donc diviser chacune de ces composantes par la norme de 𝐧. On rappelle pour cela que pour un vecteur en trois dimensions, par exemple 𝐯, la norme de ce vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes en 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Par conséquent, la norme de 𝐧 est égale à racine carrée de quatre au carré plus huit au carré plus moins trois au carré. Cela est égal à racine carrée de 16 plus 64 plus neuf, soit racine carrée de 89.
Et nous sommes maintenant prêts à calculer les cosinus directeurs. Comme mentionné, ils sont égaux aux composantes du vecteur normal divisées par sa norme. Cela nous donne quatre sur racine carrée de 89, huit sur racine carrée de 89 et moins trois sur racine carrée de 89.
Avant de conclure, essayons de simplifier les dénominateurs. Si on multiplie les numérateurs et les dénominateurs par racine carrée de 89, nous obtenons cette forme équivalente. Et ce sont les cosinus directeurs de la normale à notre plan.
