Transcription de la vidéo
Une droite passant par le point de coordonnées huit, deux forme un angle 𝜃 avec la droite d’équation six 𝑥 plus quatre 𝑦 plus neuf égale zéro, et tangente de 𝜃 égale 15 sur 13. Quelle est l’équation de cette droite?
Résumons ce que nous savons. Nous savons que la droite un passe par le point huit, deux. Nous savons que l’équation de notre deuxième droite est six 𝑥 plus quatre 𝑦 plus neuf égale zéro. Nous savons que ces deux droites forment un angle 𝜃. Nous devrions nous rappeler quelque chose au sujet de la tangente de cet angle. Elle est égale à la valeur absolue de la pente de la droite un moins la pente de la droite deux sur un plus la pente de la droite un fois la pente de la droite deux. Combien de ces valeurs connaissons-nous déjà ? Nous savons que la tangente de 𝜃 est égal à 15 sur 13. Nous ne connaissons pas la pente de la deuxième droite, mais nous pouvons la trouver en utilisant les informations qui nous ont été données.
Cela signifie que nous pourrons résoudre l’équation de la tangente pour trouver 𝑚 un, la pente de la première droite. Si nous trouvons la pente 𝑚 un, vu qu’on nous a déjà donné un point, nous pourrons trouver l’équation de la droite un. Alors commençons. La tangente de 𝜃 est égal à la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux sur un plus 𝑚 un fois 𝑚 deux. Le tangente de 𝜃 est égal à 15 sur 13. Avant de pouvoir ajouter toute autre information, nous devons déterminer la pente de la droite deux.
Pour isoler facilement la pente de cette équation, nous devrions la réécrire sous une forme plus classique, qui est 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏. Sous cette forme, 𝑚 est la pente. Pour trouver cette forme, nous devons isoler 𝑦. Cela signifie que nous devons soustraire six 𝑥 et neuf des deux côtés de l’équation. Lorsque nous faisons cela, il nous restera quatre 𝑦 est égal à moins six 𝑥 moins neuf. Cependant, nous avons besoin d’isoler complètement 𝑦. Son coefficient doit être de un. Nous divisions donc tout par quatre. Quatre 𝑦 sur quatre égale 𝑦. Moins six sur quatre 𝑥 peut être simplifié en moins trois demis de 𝑥. La pente de la droite deux est alors de moins trois demis. Ainsi, nous dirons que 𝑚 deux est égal à moins trois demis.
Nous plaçons donc moins trois demis dans notre équation partout où nous voyons 𝑚 deux. À ce stade, nous pouvons simplifier notre numérateur. Nous prenons 𝑚 un et nous soustrayons moins trois demis. Nous simplifions cela pour écrire 𝑚 un plus trois demis. Puis, notre dénominateur donne un moins trois demis fois 𝑚 un. Vu que nous avons affaire à une valeur absolue, nous aurons deux solutions différentes, une solution positive et une solution négative. La solution positive, 15 sur 13, est égale à 𝑚 un plus trois demis sur un moins trois demis 𝑚 un. La solution négative, moins 15 sur 13, est égale à 𝑚 un plus trois demis sur un moins trois demis 𝑚 un.
Concentrons-nous d’abord sur la solution positive. Nous devons d’abord réaliser le produit en croix, ce qui donnera le numérateur 15 multiplié par le dénominateur un moins trois demis 𝑚 un est égal au dénominateur 13 multiplié par le numérateur 𝑚 un plus trois demis. Nous distribuons la multiplication sur les parenthèses. 15 fois un donne 15. 15 fois moins trois demis 𝑚 un donne moins quarante-cinq demis 𝑚 un et ceci est égal à 13 fois 𝑚 un, soit 13 𝑚 un, plus 13 fois trois demis, soit 39 sur deux. Pour trouver 𝑚 un, nous devons réunir 𝑚 un du même côté de l’équation. Ainsi, nous soustrayons 13 𝑚 un des deux côtés de l’équation. Moins 45 demis 𝑚 un moins 13 𝑚 un est égal à moins soixante-et-onze demis 𝑚 un.
Nous voulons également déplacer ce plus 15 de l’autre côté de l’équation. Ainsi, nous soustrayons 15 des deux côtés. Sur la gauche, 15 moins 15 est égal à zéro et trente-neuf demis moins 15 est égal à neuf demis. Puisque nous avons un dénominateur de deux des deux côtés de l’équation, nous pouvons multiplier les deux côtés par deux, ce qui nous laissera avec moins 71 𝑚 un est égal à neuf. Pour trouver 𝑚 un, nous divisons les deux côtés de l’équation par moins 71. Nous voyons que 𝑚 un est égal à moins neuf sur 71. Voici une option possible pour la pente de la ligne un. Seulement, vu que nous avions une équation avec une valeur absolue, nous devons également considérer la solution négative.
Pour traiter moins quinze treizièmes, ou moins 15 sur 13, nous suivrons la même procedure, à savoir le produit en croix. Nous multiplions le numérateur, moins 15, par le dénominateur, un moins trois demis 𝑚 un. Puis, nous multiplions le dénominateur, 13, par le numérateur, 𝑚 un plus trois demis. Tout d’abord, nous distribuons le moins 15 sur les parenthèses, ce qui nous donne moins 15. Puis, moins 15 fois moins trois demis 𝑚 un donne plus quarante-cinq demis 𝑚 un. Nous allons distribuer le 13 sur le 𝑚 un et les trois demis, ce qui est similaire à la première fois, nous obtenons 13𝑚 un plus trente-neuf demis.
Encore une fois, pour trouver 𝑚 un, nous devrons les mettre du même côté de l’équation. Ainsi, nous soustrayons 13𝑚 un des deux côtés. Faites attention ici ; cette fois, nous soustrayons 13𝑚 un de plus 45 sur deux 𝑚 un, au lieu de moins 45 sur deux 𝑚 un. Quarante-cinq demis moins 13 est égale à dix-neuf demis. Nous avons dix-neuf demis de 𝑚 un. Cette fois, nous avons un moins 15 à gauche. Ainsi, nous ajoutons 15 des deux côtés. Moins 15 plus 15 est égal à zéro. Trente-neuf demis plus 15 égale soixante-neuf demis.
Encore une fois, nous allons multiplier l’équation entière par deux, ce qui nous laisse avec 19𝑚 un est égal à 69. Nous divisons les deux côtés de l’équation par 19 pour voir que 𝑚 un est égal à 69 sur 19. Jusqu’à présent, nous pouvons dire que la droite un a une pente de moins neuf sur 71 ou de 69 sur 19. Rappelez-vous, nous cherchons une équation pour cette droite. Puisque nous avons la pente de la droite un et un point appartenant à la droite un, nous pouvons utiliser la formule du point et de la pente pour trouver les équations de cette droite. Selon cette formule, 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un où 𝑥 un, 𝑦 un est votre point appartenant à la droite. Bien sûr, 𝑚 correspond à la pente. Dans notre cas, la droite passe par le point huit, deux. Nous avons deux pentes différentes, ce qui signifie que nous devrons utiliser cette formule deux fois, la première fois pour 𝑚 égal à moins neuf sur 71 et la deuxième fois pour 𝑚 égal à 69 sur 19.
Avec notre point et notre pente, nous pouvons dire que 𝑦 moins deux égale moins neuf sur 71 fois 𝑥 moins huit. Nous distribuons notre moins neuf sur 71. Nous obtenons 𝑦 moins deux est égal à moins neuf sur 71 𝑥 plus 72 sur 71. De là, nous ajoutons deux des deux côtés. Nous aurons 𝑦 est égal à moins neuf sur 71𝑥 plus 214 sur 71. Il s’agit d’une équation pour la droite écrite sous sa forme réduite. Parfois, il est utile de ne pas avoir de fraction dans notre équation. Nous pourrions donc réorganiser cette équation. En multipliant tout par 71, nous aurions alors 71𝑦 égal à neuf 𝑥 plus 214. L’équation de la droite deux nous a été donnée comme une équations égale à zéro. Ainsi, nous pourrions aussi soustraire 71𝑦 des deux côtés. Nous obtenons ainsi l’équation zéro égale moins neuf 𝑥 moins 71𝑦 plus 214.
Dans ce cas, nous avons des valeurs négatives comme coefficients pour 𝑥 et 𝑦. Si nous ne voulions pas cela, nous pourrions réorganiser l’équation en la multipliant par moins un pour nous donner plus neuf 𝑥 plus 71𝑦 moins 214. Ces quatre formats sont tous des moyens valables d’exprimer l’équation de cette droite. Vous n’avez pas besoin des quatre, mais il est utile de savoir les réorganiser pour trouver des expressions équivalentes pour la même droite. Nous faisons maintenant ce processus une fois de plus en utilisant la pente de 69 sur 19. La formule du point et de la pente nous donne 𝑦 moins deux égale 69 plus 19 fois 𝑥 moins huit. Nous distribuons le 69 sur 19, ce qui nous donne 𝑦 moins deux égale 69 sur 19𝑥 moins 552 sur 19. Puis, nous ajoutons deux des deux côtés. Nous obtenons donc 𝑦 est égal à 69 sur 19𝑥 moins 514 sur 19.
Il s’agit de la forme réduite de l’équation de la droite un. Si nous multiplions cette équation entière par 19, nous aurions l’équation équivalente : 19𝑦 est égal à 69𝑥 moins 514. Si nous soustrayions 19𝑦 des deux côtés, nous aurions l’équation équivalente zéro égale 69𝑥 moins 19𝑦 moins 514. Si nous multiplions cette équation par moins un, nous obtiendrons zéro égal à moins 69𝑥 plus 19𝑦 plus 514. Finalement, nous voyons qu’il y a deux droites qui passent par le point huit, deux et qui forme un angle 𝜃 tel que tan 𝜃 égal à 15 sur 13 avec la droite six 𝑥 plus quatre 𝑦 plus neuf égale zéro. Il vous suffit donc de sélectionner une équation dans chaque colonne et vous aurez une équation pour les deux droites qui correspondent à ce critère.
