Video Transcript
Quelle est la longueur du segment de l'axe des 𝑦 coupé par le plan d’équation cinq 𝑥 moins quatre 𝑦 moins trois 𝑧 plus 32 égale zéro?
Pour commencer, remarquons qu’il est indiqué que ce plan coupe l’axe des 𝑦 en un point. Supposons sur notre schéma que ce point d’intersection est ici. Lorsque la question demande : «Quelle est la longueur du segment de l'axe des 𝑦 coupé par ce plan?», elle fait référence à cette longueur ici entre l’origine et le point d’intersection. Si nous supposons que les coordonnées de ce point d’intersection sont zéro, 𝐵, zéro, alors nous pouvons dire que la valeur absolue de 𝐵 correspond à cette longueur qui nous intéresse. Il s’agit de la longueur du segment de l’axe des 𝑦 coupé par notre plan.
L’énoncé nous donne l’équation du plan, et elle est exprimée sous une forme appelée forme générale. Une autre façon d’écrire l’équation d’un plan est d’utiliser ses points d’intersection avec les axes du repère. Sous cette forme, les dénominateurs 𝐴, 𝐵 et 𝐶 correspondent aux points d’intersection entre le plan et les axes du repère. Plus précisément, 𝐴 est la coordonnée 𝑥 du point d’intersection entre le plan et l’axe des 𝑥. 𝐶 est la coordonnée 𝑧 du point d’intersection entre le plan et l’axe des 𝑧. Et 𝐵 est la coordonnée 𝑦 de ce point d’intersection avec l’axe des 𝑦. C’est cette valeur que nous recherchons. Et nous pouvons la trouver en convertissant la forme de l’équation du plan.
Reformulons donc cette équation générale en fonction des points d’intersection avec les axes du repère. Sous celle nouvelle forme, l’équation devra avoir la constante un sur un des membres. On peut commencer à convertir l’équation du plan sous cette forme en ajoutant moins 32 aux deux membres. Si on divise ensuite les deux membres par moins 32, remarquez que nous obtenons bien une valeur de un sur le membre droit. En distribuant le moins 32 aux dénominateurs de gauche, on obtient cinq sur moins 32 𝑥 moins quatre sur moins 32 𝑦 moins trois sur moins 32 𝑧 égale un. Et cela se réduit à moins cinq sur 32 𝑥 plus 𝑦 sur huit plus trois sur 32 𝑧.
L’équation du plan est maintenant écrite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère. Et nous pouvons voir que la valeur correspondant à 𝐵 dans cette forme est plus huit. Par conséquent, le point d’intersection entre l’axe des 𝑦 et le plan est le point zéro, huit, zéro. Et cela signifie que le segment de l’axe des 𝑦 qui est coupé par ce plan mesure huit unités de longueur.
