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Sachant que la courbe suivante représente la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins trois, déterminez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un.
Nous avons un graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑥 moins trois, que nous pouvons utiliser pour trouver cette limite graphiquement. La valeur de 𝑥 qui nous intéresse est négative, nous la mettons en évidence sur l’axe des 𝑥. Et nous voulons savoir quelle valeur 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 tend vers moins un.
Il y a deux directions depuis lesquelles 𝑥 peut se rapprocher de moins un. 𝑥 peut s’approcher de moins un depuis la gauche, c’est-à-dire avec 𝑥 toujours inférieur à moins un mais se rapprochant de plus en plus de moins un. Ou 𝑥 peut s’approcher de moins un depuis la droite, c’est-à-dire que 𝑥 est toujours supérieur à moins un mais se rapproche de plus en plus de moins un.
Nous allons regarder ces deux cas séparément, donc d’abord la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un depuis la gauche. Nous choisissons une valeur de 𝑥 inférieure à moins un, disons moins trois, et nous voyons que le point moins trois, moins six se trouve sur le graphique. Et donc 𝑓 de moins trois est moins six.
Bien sûr, nous aurions également pu le voir à partir de la définition de la fonction. Mais il est plus facile de le voir sur le graphique que lorsque nous choisissons d’autres valeurs de 𝑥 de plus en plus proche de moins un, mais en restant toujours à gauche de moins un, 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins quatre. Par conséquent, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un depuis la gauche est moins quatre.
Que diriez-vous de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un depuis la droite ? C’est la même chose. Cette fois, nous choisissons une valeur de 𝑥 supérieure à moins un et nous regardons ce qui se passe lorsque 𝑥 s’approche de moins un depuis l’autre direction, c’est-à-dire quand 𝑥 est toujours supérieur à moins un. Nous voyons que pour cette direction, aussi, la limite est moins quatre.
Pour une valeur de 𝑥 qui est supérieure à moins un mais très proche de moins un, la valeur de 𝑓 de 𝑥 est très proche de moins quatre. Si les limites à droite et à gauche ont la même valeur, et c’est le cas, on n’a plus besoin de mentionner la limite à droite et à gauche séparément.
Nous pouvons simplement dire que la limite, c’est cette valeur. Et donc la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un de 𝑓 de 𝑥 est égale à moins quatre. Notez que dans ce cas, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un est égale à 𝑓 de moins un. Ce n’est pas vrai pour toutes les fonctions, mais c’est vrai pour un grand nombre de fonctions, y compris toutes les fonctions linéaires dont les graphiques sont des droites.
