Transcription de la vidéo
Complétez. Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère et que le vecteur 𝐀𝐃 est égal au vecteur 𝐁𝐂 et ils sont colinéaires, le quadrilatère peut toujours être considéré comme un … . Est-ce l’option (A) un trapèze, l’option (B) un parallélogramme, l’option (C) un losange, l’option (D) un trapèze isocèle ou l’option (E) un rectangle ?
Dans cette question, on nous donne un quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 et on nous dit que le vecteur 𝐀𝐃 est égal au vecteur 𝐁𝐂. Cela signifie qu’ils ont la même norme et le même sens, nous pouvons donc conclure qu’ils sont colinéaires. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer le type du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷. Pour déterminer cela, nous devons noter qu’on ne nous donne vraiment qu’une information : le vecteur 𝐀𝐃 est exactement égal au vecteur 𝐁𝐂. Bien que cela nous indique qu’ils ont la même norme et le même sens, il existe différentes façons de dessiner ces vecteurs.
Par exemple, nous pourrions dessiner un vecteur directement au-dessus de l’autre, comme indiqué. Nous pouvons alors noter que cette figure représente un carré. Cependant, cette situation ne se représente pas forcément comme ceci. Par exemple, nous aurions pu éloigner nos vecteurs. Nous aurions donc eu un rectangle. Ce n’est pas le seul changement que nous aurions pu faire. Nous aurions pu aussi dessiner nos vecteurs autrement que les uns au-dessus des autres. Nous aurions pu les dessiner séparément dans le plan. Esquisser les côtés restants du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 nous donne une forme qui ressemble à un parallélogramme.
Cependant, nous ne pouvons pas répondre à cette question simplement avec une approche graphique. Nous devons prouver qu’il s’agit d’un parallélogramme. Pour ce faire, nous devons montrer que les côtés opposés sont parallèles. Nous savons déjà que le côté 𝐀𝐃 est parallèle au côté 𝐁𝐂. Nous devons donc montrer cela pour les deux autres côtés.
Nous pouvons le faire en utilisant des vecteurs. Nous pouvons trouver une expression pour le vecteur 𝐀𝐁 en suivant les sommets de notre parallélogramme. Nous obtenons que le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐀D auquel nous ajoutons le vecteur 𝐃𝐂 auquel nous ajoutons le vecteur 𝐂𝐁. Ceci est juste une application de la relation de Chasles pour l’addition de vecteurs.
Maintenant, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Nous avons 𝐀𝐃 ajouté au vecteur 𝐂𝐁 et on nous dit dans la question que le vecteur 𝐀𝐃 est égal au vecteur 𝐁𝐂. Or, la norme du vecteur 𝐂𝐁 est exactement égale à celle du vecteur 𝐁𝐂. Cependant, nous changeons de sens, donc le vecteur 𝐂𝐁 donne moins le vecteur 𝐁𝐂. Nous pouvons donc réécrire ceci comme le vecteur 𝐀𝐃 ajouté au vecteur 𝐃𝐂 moins le vecteur 𝐁𝐂.
Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que le vecteur 𝐁𝐂 est égal au vecteur 𝐀𝐃. Nous pouvons remplacer cela dans notre expression. Puis, nous voyons le vecteur 𝐀𝐃 et nous soustrayons le vecteur 𝐀𝐃, cela simplifie l’expression pour donner le vecteur nul. Aisni, cela se simplifie pour nous donner que le vecteur A𝐁 est égal au vecteur 𝐃𝐂. Si les deux vecteurs sont égaux, cela signifie qu’ils ont la même norme et le même sens. Nous ne pouvons pas affiner cela davantage. Comme nous l’avons déjà montré, nous aurions pu avoir un rectangle, un carré ou simplement un parallélogramme simple. Par conséquent, nous avons pu montrer si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère et que le vecteur 𝐀𝐃 est égal au vecteur 𝐁𝐂, alors le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme.
