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Une lame de forme carrée a pour côté 20 centimètres et un poids de 15 newtons, qui agit au point d’intersection de ses diagonales. La lame est suspendue à une broche horizontale près de son sommet 𝐴 tel que son plan est vertical. Et un couple agit sur la lame pour la mettre en équilibre dans une position où 𝐴𝐶 est incliné par rapport à la verticale d’un angle de 30 degrés. Déterminez l’intensité du moment du couple.
Commençons en faisant un schéma du scénario. Nous avons la lame carrée de 20 centimètres de côté et un poids de 15 newtons avec un centre de masse à l’intersection des diagonales, c’est-à-dire le centre géométrique du carré. La lame est suspendue à l’un de ses sommets, 𝐴, de sorte que l’angle entre le segment de droite 𝐴𝐶, la droite qui passe par le point de suspension 𝐴 et le centre de masse, est incliné de 30 degrés par rapport à la verticale.
Puisque le centre de masse de la lamelle n’est pas directement en dessous du point de pivotement 𝐴, le poids exerce un moment sur la lame autour du point 𝐴. La lame est maintenue en équilibre par un couple, qui doit donc exercer un moment égal et opposé au moment du poids. Nous ne pouvons pas connaître l’orientation et la position des forces qui produisent ce couple. Nous ne pouvons donc pas les placer sur le schéma. Mais nous n’en avons pas besoin.
Pour calculer la norme du moment du couple, il suffit de calculer la norme du moment du poids de la lame sur le point 𝐴, puisque le couple est égal et opposé. Rappelons que le moment 𝑀 d’une force agissant à partir d’un point 𝑝 autour d’un point de pivot 𝐴 est donné par l’intensité de la force 𝐹 multipliée par la distance perpendiculaire 𝑑 entre le point de pivot et la ligne d’action de la force.
Dans ce cas, la distance perpendiculaire 𝑑 entre la ligne d’action du poids de la lame et le point de pivot sera donnée par la longueur du côté opposé de ce triangle rectangle, entourée par la ligne verticale, le point 𝐴 et le centre de la lame, puisque le poids de la lame agit parallèlement à la verticale. L’hypoténuse de ce triangle est la moitié de la diagonale, qui est égale à la longueur du côté, 20 centimètres, multipliée par la racine carrée de deux. Ainsi, l’hypoténuse a une longueur de 20 racine deux sur deux, ce qui se simplifie en 10 racine de deux centimètres.
La distance 𝑑 est donc donnée par 10 racine de deux fois le sinus de 30 degrés. Et sinus de 30 degrés est égal à un demi, donc 𝑑 est égal à cinq racine deux. La norme du moment du poids est donc égale à la norme du poids, 15 newtons, multipliée par la distance perpendiculaire entre la ligne d’action du poids et le point de pivotement cinq racine de deux. Cela revient à 75 racine deux newtons-centimètres, ce qui est égal et opposé au couple agissant sur la lame. Par conséquent, la norme du moment du couple est également égale à 75 racine de deux newtons-centimètres.
