Transcription de la vidéo
Une récolte de pommes donne un poids moyen de 105 grammes et un écart-type de trois grammes. On suppose qu'une distribution normale est un modèle approprié pour ces données. Quelle est la probabilité approximative qu'une pomme sélectionnée de manière aléatoire dans la récolte ait un poids entre 102 grammes et 108 grammes ?
Rappelons que la courbe représentant une distribution normale de moyenne 𝜇 est en forme de cloche et symétrique par rapport à cette moyenne et que l’aire totale sous la courbe est égale à 100 pour cent, ou un. Le poids moyen des pommes récoltées est de 105 grammes, et l’écart-type - c’est-à-dire la mesure de l’écart ici - est de trois grammes.
Dans la question, on nous demande de calculer la probabilité qu’une pomme sélectionnée au hasard ait un poids compris entre 102 et 108 grammes. Cela est représenté par la zone colorée. Une fois que nous avons établi cela, la prochaine étape consiste à calculer la valeur de la variable 𝑍. C’est une façon de mettre à l’échelle les données ou de les standardiser, pour obtenir une distribution normale standard. Une fois cette étape terminée, nous pouvons travailler seulement avec une table de valeurs normale standard.
Nous allons commencer par considérer la valeur de 108 grammes. Nous avons une moyenne, 𝜇, de 105 et un écart-type, 𝜎, de trois. Donc, pour déterminer la valeur de 𝑍 ici, il faut faire 108 moins 105, divisé par trois. Cela nous donne une valeur 𝑍 de un. Nous pouvons alors chercher une valeur 𝑍 de un dans la table normale standard. Cela nous donne la probabilité que 𝑍 soit inférieur à un, ce qui correspond à la probabilité que 𝑋 soit inférieur à 108 : une pomme sélectionnée au hasard a un poids inférieur à 108 grammes.
En regardant cette valeur dans la table, nous pouvons voir que la probabilité que 𝑍 soit inférieur à un est de 0,8413 et donc la probabilité qu’une pomme sélectionnée au hasard ait un poids inférieur à 108 grammes est de 0,8413. Si nous revenons à la courbe, cela correspond à tout ce qui est à gauche de 108.
Pour déterminer la probabilité que la pomme ait un poids compris entre 102 et 108 grammes, il faut prendre la probabilité qu’elle soit inférieure à 108 grammes moins la probabilité qu’elle soit inférieure à 102 grammes. Nous supprimons donc une partie pour obtenir la zone colorée.
Regardons alors la valeur de 𝑋 égal à 102. 𝑍 est égal à 102 moins 105 sur trois, ce qui donne moins un. Mais, nous ne pouvons pas utiliser une valeur de 𝑍 négative, nous allons donc utiliser donc la symétrie de la courbe pour s’en sortir. Comme la courbe est symétrique par rapport à la moyenne, et lorsque nous avons standardiser et obtenu la variable 𝑍 - nous avons une moyenne de zéro - nous savons que la probabilité que 𝑍 soit inférieure à moins un doit être la même que la probabilité que 𝑍 soit supérieure à un.
Plus tôt, nous avons dit que l’aire sous la courbe est égale à un, nous pouvons donc prendre un moins la probabilité que 𝑍 soit inférieur à un. Et cela nous donnera la probabilité que 𝑍 soit supérieur à un. Un moins 0,8413 est égal à 0,1587. Et donc, la probabilité que 𝑍 soit inférieur à moins un est 0,1587. Et par conséquent, la probabilité que 𝑋 soit inférieur à 102 est de 0,1587. La soustraction de la probabilité que 𝑋 soit inférieure à 102 moins la probabilité que la pomme sélectionnée au hasard ait un poids inférieur à 108 nous donne 0,6826.
Pour obtenir le résultat en pourcentage, il faut le multiplier par 100. En arrondissant au nombre entier le plus proche en pourcentage, la probabilité qu’une pomme sélectionnée au hasard pèse entre 102 grammes et 108 grammes est de 68 pour cent.
