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Vidéo de question : Déterminer la limite d’une fonction constante Mathématiques

Calculez lim_(𝑥 → −1) (30).

02:38

Transcription de vidéo

Calculez la limite quand 𝑥 tend vers moins un de 30.

Il s’agit de la fonction constante égale à 30, la fonction qui à tout réel 𝑥 associe la valeur 30. Nous devons déterminer la limite de cette fonction quand 𝑥 tend vers moins un. Il existe une formule pour déterminer ce type de limite. La limite quand 𝑥 tend vers 𝑐 de la fonction constante 𝐾 est 𝐾. Nous pouvons appliquer cela à notre limite en posant que 𝑐 est égal à moins un et 𝐾 à 30. Nous obtenons que notre limite est égale à 30, notre réponse est donc 30.

Pour mieux comprendre pourquoi nous obtenons ce résultat, nous pouvons examiner le graphe de la fonction. Le graphe de notre fonction est une droite parallèle à l’axe des 𝑥, la droite d’équation 𝑦 égale 30. Nous voulions déterminer la limite de cette fonction quand 𝑥 tend vers moins un. Ainsi, nous traçons la droite d’équation 𝑥 égale moins un. Quand la valeur de 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins un, la valeur de la fonction reste la même, toujours égale à 30. Après tout, il s’agit d’une fonction constante.

Cela se vérifie également quand 𝑥 tend vers moins un par la droite, donc pour des valeurs de 𝑥 strictement supérieures à moins un. Il est courant de dire que 𝑓 de 𝑥 «se rapproche de plus en plus de telle valeur» ou «tend vers telle valeur» quand 𝑥 tend vers une certaine valeur, moins un dans notre cas. Cependant, si 𝑓 de 𝑥 est toujours égale à 30, nous ne pouvons pas vraiment dire qu’elle se rapproche de plus en plus de 30 ou qu’elle tende vers 30. Elle se contente de rester à 30.

Ces expressions couramment employées sont censées nous aider à comprendre intuitivement les limites. Cependant, dans ce cas précis, le langage semble plutôt nous éloigner de la vérité sans équivoque et objective que nous visons en mathématiques. Si nous prenions ces expressions au pied de la lettre, nous pourrions nous dire que la valeur de notre limite ne peut pas être égale à 30, car il serait faux de dire que notre fonction se rapproche de plus en plus de 30. Elle se contente de rester à 30. C’est pourquoi nous avons besoin de règles objectives et sans équivoque telles que «la valeur de la limite quand 𝑥 tend vers 𝑐 de la fonction constante égale à 𝐾 est 𝐾».

Cependant, il ne faut pas pour autant rejeter totalement notre compréhension intuitive des limites. Nous devrions plutôt l’utiliser pour écrire et comprendre les lois que doivent suivre les limites. Nous pourrions comparer cela aux législateurs utilisant leur compréhension intuitive de la moralité et de la justice pour décider des lois d’un pays. Notre propre intuition de la moralité et de la justice nous permet de comprendre pourquoi ces lois existent, plutôt que de les voir comme des règles arbitraires qu’il faut suivre.

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