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Si une barre métallique cylindrique de section transversale de trois centimètres carrés et de résistance 10 ohms est tirée uniformément jusqu’à ce que sa section transversale devienne de 1,5 centimètres carrés, quelle sera la résistance de la barre ?
Dans cette question, on nous propose d’étudier comment la résistance d’une barre métallique change si nous réduisons uniformément sa section transversale en tirant sur la barre. Nous pouvons commencer par dessiner un schéma de la barre telle qu’elle est initialement. Nous savons que la barre a la forme cylindrique. On nous a également dit qu’avant d’étirer la barre, la section transversale était trois centimètres carrés. Nous pouvons étiqueter cela comme l’aire 𝐴 un. La barre aura également une certaine longueur, ce qui n’a pas été mentionnée. Appelons donc cela 𝑙 un. Enfin, on nous a donné la résistance de la barre avant l’étirement, qui est de 10 ohms. Appelons cela 𝑅 un.
Ensuite, on nous dit que la barre est tirée uniformément jusqu’à ce que sa section transversale change. Cela signifie que la barre est soigneusement étirée des deux extrémités sans aucune déformation ou flexion dans la section transversale. En d’autres termes, la section transversale est toujours circulaire et la barre est toujours rectiligne sur sa longueur. Cependant, la nouvelle aire de sa section transversale est plus petite qu’auparavant. Étiquetons cela comme 𝐴 deux. On nous a dit que 𝐴 deux est 1,5 centimètres carrés.
Eh bien, si nous avons étiré la barre, sa section transversale aura diminué, mais la longueur de la barre aura augmenté. La barre est certainement devenue plus longue. Nous pouvons calculer de combien la barre s'est étirée par rapport à la longueur initiale. Nous pouvons le faire parce que même si la barre a été étirée, le volume de la barre n’aura pas changé. La quantité de métal constituant la barre n’a pas changé car nous n’avons rien découpé ni rien ajouté.
On peut donc dire que le volume de la barre avant l’étirement, 𝑉 un, doit être égal au volume de la barre après l’étirement, 𝑉 deux. Le volume, 𝑉, d’une barre cylindrique comme celui-ci est égal à l’aire de la section transversale, 𝐴, multipliée par la longueur, 𝑙. Ainsi, 𝑉 un est 𝐴 un fois 𝑙 un, et 𝑉 deux est 𝐴 deux fois 𝑙 deux. Rappelez-vous, ceux-ci sont égaux. Donc, nous pouvons écrire 𝐴 un 𝑙 un est égal à 𝐴 deux 𝑙 deux.
Nous pouvons ensuite réorganiser cela pour trouver que 𝑙 deux est égal à 𝐴 un sur 𝐴 deux, tous multipliés par 𝑙 un. En substituant les valeurs des sections transversales initiale et finale, nous constatons que 𝑙 deux est égal à trois centimètres carrés divisés par 1,5 centimètres carrés, tout cela multiplié par 𝑙 un. Puisque les unités de centimètres carrés s’annulent, nous constatons que 𝑙 deux est deux fois plus grand que 𝑙 un. Le processus d’étirement a réduit de moitié la surface de la section transversale du fil, mais a doublé la longueur.
Alors, comment pouvons-nous utiliser cette information pour trouver la nouvelle résistance du fil ? Eh bien, nous pouvons nous rappeler que le matériau dont le fil est constitué a une propriété appelée résistivité. La résistivité, 𝜌, d’un matériau est égale à la résistance, 𝑅, d’une pièce de ce matériau multipliée par la section transversale, 𝐴, de cette pièce divisée par sa longueur, 𝑙. Nous pouvons l’appliquer au fil avant et après qu’il soit étiré. Et surtout, comme la résistivité est une propriété du matériau dont le fil est constitué, elle ne doit pas changer après l’étirement du matériau. En effet, le processus d’étirement ne transforme pas le métal dont le fil est fait en autre chose. En d’autres termes, 𝜌 un est égal à 𝜌 deux.
Utilisons cette équation pour trouver une expression pour les résistivités du fil avant et après son étirement. 𝜌 un, la résistivité avant étirement, est égale à la résistance avant étirement 𝑅 un multiplié par la section transversale 𝐴 un divisé par la longueur 𝑙 un. Et de même, 𝜌 deux est égal à 𝑅 deux 𝐴 deux sur 𝑙 deux. Nous savons que ces deux quantités doivent être égales. Donc 𝑅 un 𝐴 un sur 𝑙 un est égal à 𝑅 deux 𝐴 deux sur 𝑙 deux.
Enfin, nous pouvons substituer les valeurs de toutes les quantités connues. Nous savons que la résistance avant l’étirement, 𝑅 un, est de 10 ohms. Nous connaissons également les zones avant et après l’étirement. Et enfin, même si nous ne connaissons pas la longueur du fil avant ou après l’étirement, nous savons que 𝑙 deux est égal à deux 𝑙 un. Nous pouvons substituer cela dans l’équation, puis multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑙 un afin qu’il s’annule des deux côtés. En d’autres termes, peu importe que nous ne connaissions pas la longueur du fil tant que nous pouvions calculer l’évolution de la longueur après l’étirement.
Enfin, nous pouvons réorganiser l’équation pour isoler 𝑅 deux, la résistance du fil après étirement. Si nous évaluons cette expression, nous voyons que les unités de centimètres carrés s’annulent au numérateur et au dénominateur. Cela tombe bien parce qu’il nous reste une unité d’ohms, ce qui est exactement ce que nous voulons puisque nous calculons une résistance. Nous trouvons que la résistance du fil après étirement est de 40 ohms, et c’est la réponse finale à notre question. La résistance du fil après avoir été tiré uniformément est de 40 ohms.
