Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à la valeur absolue de trois 𝑥 moins un plus trois 𝑥 plus cinq.
Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 et on nous demande de déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de cette fonction. Donc, pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que nous entendons par ensemble de définition et ensemble image d’une fonction. Premièrement, l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée pour cette fonction. Deuxièmement, l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de la fonction, étant donné son ensemble de définition. Et il existe de nombreuses façons différentes de déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction. Une façon de le faire est de tracer sa représentation graphique. Pour nous aider à tracer la représentation graphique de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, appelons la fonction valeur absolue de trois 𝑥 moins un 𝑔 de 𝑥. Ensuite, comme elle contient une valeur absolue, nous pouvons la réécrire comme une fonction définie par morceaux.
Pour ce faire, nous rappelons que la valeur absolue d’une fonction change de définition selon la valeur absolue qu’elle prend, un nombre positif ou négatif. Par conséquent, si trois 𝑥 moins un est supérieur ou égal à zéro, la valeur absolue de trois 𝑥 moins un est juste trois 𝑥 moins un. Cependant, si trois 𝑥 moins un est inférieur à zéro, lorsque nous prenons sa valeur absolue, nous devons multiplier cette valeur par moins un. Et moins un fois trois 𝑥 moins un est un moins trois 𝑥. Cela nous donne alors une définition par morceaux de la fonction 𝑔 de 𝑥. Et il convient de noter que nous pouvons simplifier cette définition en simplifiant ses sous-ensembles de définition. Nous pouvons ajouter un aux deux inéquations, puis diviser les deux inéquations par trois. Nous obtenons 𝑥 est supérieur ou égal à un tiers et 𝑥 est inférieur à un tiers, ce qui nous donne l’expression suivante pour 𝑔 de 𝑥.
Maintenant, nous pouvons utiliser cela pour trouver une définition par morceaux de la fonction 𝑓 de 𝑥. Premièrement, nous voyons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑔 de 𝑥 plus trois 𝑥 plus cinq. Cela signifie que la valeur de sortie de notre fonction 𝑓 de 𝑥 va dépendre de la valeur de sortie de notre fonction 𝑔 de 𝑥. Si 𝑥 est supérieur ou égal à un tiers, 𝑔 de 𝑥 va avoir la valeur de sortie trois 𝑥 moins un. Nous pouvons alors substituer cela dans notre fonction 𝑓 de 𝑥. Si 𝑥 est supérieur ou égal à un tiers, 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 moins un plus trois 𝑥 plus cinq, ce que nous pouvons simplifier en six 𝑥 plus quatre. Cependant, si notre valeur d’entrée de 𝑥 est inférieure à un tiers, alors 𝑔 de 𝑥 est un moins trois 𝑥.
Nous pouvons alors substituer cela dans notre fonction 𝑓 de 𝑥. Si 𝑥 est inférieur à un tiers, 𝑓 de 𝑥 est égal à un moins trois 𝑥 plus trois 𝑥 plus cinq, ce que nous pouvons simplifier. Moins trois 𝑥 plus trois 𝑥 est zéro, donc 𝑓 de 𝑥 est juste égal à six lorsque 𝑥 est inférieur à un tiers. Et si 𝑓 de 𝑥 est égale à la valeur constante de six lorsque 𝑥 est inférieure à un tiers et 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 est supérieure ou égal à un tiers, alors 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux. Maintenant, nous pouvons tracer la représentation graphique de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 pour déterminer son ensemble de définition et son ensemble image.
Cependant, avant de faire cela, rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux est l’union de ses sous-ensembles de définition. Donc, en fait, nous pouvons déterminer l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥 à partir de sa définition par morceaux. Ce sont toutes les valeurs de 𝑥 inférieures à un tiers ou les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à un tiers. En d’autres termes, il s’agit de toutes les valeurs réelles de 𝑥.
Maintenant, nous devons déterminer l’ensemble image de cette fonction. Nous ferons cela en traçant son graphique. Premièrement, la fonction est une valeur constante de six lorsque 𝑥 est inférieur à un tiers. Et puisque les valeurs de sortie sont une valeur constante de six, il s’agit de la droite horizontale d’équation 𝑦 égale six, où nos valeurs d’entrée de 𝑥 doivent être inférieures à un tiers. Et nous représentons cela par un cercle creux lorsque 𝑥 est un tiers. Ensuite, lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à un tiers, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction linéaire : six 𝑥 plus quatre. Et pour tracer cette fonction linéaire, commençons par trouver son extrémité, la valeur lorsque 𝑥 est un tiers. Nous substituons 𝑥 est égal à un tiers dans la fonction linéaire pour obtenir six fois un tiers plus quatre. Et si nous déterminons cela, nous voyons que c’est égal à six.
Par conséquent, l’extrémité de cette fonction linéaire est le point de coordonnées un tiers, six. Et c’est le point creux que nous avions déjà sur notre graphique, ce qui signifie que nous pouvons maintenant le remplir parce que c’est maintenant un point sur le graphique de notre fonction. C’est l’extrémité de la partie linéaire. Nous pouvons maintenant tracer le reste de ce graphique avec précision. Cependant, nous verrons qu’il n’est pas nécessaire pour déterminer son ensemble image. Tout ce que nous devons savoir, c’est que cette droite a une pente positive. Sa pente vaut six. Donc, lorsque 𝑥 s’approche de l’∞, la droite va s’approcher de l’∞.
Nous sommes maintenant prêts à déterminer l’ensemble image de cette fonction à partir de sa représentation graphique. Rappelez-vous que l’ensemble image de la fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles de la fonction. Et lorsque nous traçons le graphique d’une fonction, la coordonnée 𝑥 du point sur la courbe nous indique la valeur d’entrée et la coordonnée 𝑦 nous indique la valeur de sortie correspondante. Par conséquent, les coordonnées 𝑦 sont des points sur la courbe qui nous indiquent l’ensemble image de notre fonction. Par exemple, à partir du graphique, nous pouvons voir que six est une valeur de sortie de notre fonction. En fait, c’est la valeur de sortie la plus basse. C’est la coordonnée 𝑦 la plus basse d’un point du graphique. Et nous savons aussi que notre droite s’étend jusqu’à l’∞. Par conséquent, toute valeur supérieure à six est une valeur de sortie possible de la fonction. Ainsi, l’ensemble image de cette fonction contient toutes les valeurs supérieures et égales à six.
Rappelez-vous, nous devons écrire ceci comme un ensemble. Il s’agit de l’intervalle gauche-fermé, droit-ouvert de six à l’∞. Par conséquent, nous avons pu montrer l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥, qui nous est donnée dans la question, c’est l’ensemble des nombres réels, et son ensemble image est l’intervalle gauche-fermé, droit-ouvert de six à l’∞.
