Transcription de la vidéo
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme où 𝐴𝐵 est égal à 10 centimètres, 𝐵𝐶 est égal à 10 centimètres et la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est de 150 degrés. Des forces d’intensités trois, six, trois et six newtons agissent respectivement selon 𝐴𝐵, 𝐶𝐵, 𝐶𝐷 et 𝐴𝐷. Déterminez le moment du couple résultant.
Sur notre figure, nous voyons ce parallélogramme avec une force agissant de chaque côté. Sur les côtés supérieur et inférieur, nous pourrions les appeler, les forces opposées de six newtons. Des deux autres côtés se trouvent les forces de trois newtons, qui agissent également dans des sens opposés. Notre question nous demande de trouver le moment du couple résultant. Maintenant, nous pourrions considérer ces quatre forces comme un couple combiné, c’est-à-dire deux forces égales et opposées qui ne reposent pas sur la même ligne d’action. Ou nous pouvons penser de manière équivalente à ces quatre forces comme deux couples. Chaque approche nous donnera le même résultat pour le moment total créé.
Rappelons que si nous avons deux forces égales et opposées, nous les appelons ici 𝐹 et moins 𝐹, dont les lignes d’action sont séparées par une distance perpendiculaire 𝑑 d’un axe de rotation ici, alors nous disons que ces forces forment un couple. Et ce couple crée un moment, nous l’avons appelé 𝑀 indice 𝑐, autour de cet axe. L’intensité de 𝑀 indice 𝑐 est deux fois 𝐹 fois 𝑑. Parfois, dans cette équation, nous verrons ce symbole inclus, ce qui nous dit que la force est perpendiculaire à la distance 𝑑. Notez alors que, dans un couple, chaque force contribue de manière égale au moment de ce couple. Effectivement, nous prenons le moment dû à l’une de ces deux forces et le multiplions par deux pour trouver le moment créé par le couple.
En ce qui concerne les deux couples de forces qui agissent sur les côtés de notre parallélogramme, si nous pouvons trouver les distances perpendiculaires entre les lignes d’action de ces couples, nous avons appelé ici ces distances 𝑑 six et 𝑑 trois, respectivement, alors nous pouvons utiliser cette information pour trouver le moment global de ces deux couples. Pour commencer, libérons de l’espace à l’écran. Et nous pouvons commencer par écrire une équation pour le moment global 𝑀 que nous voulons calculer. Ce moment est égal à la somme des moments créés par notre couple de forces de six newton et notre couple de forces de trois newton.
Si nous pensons d’abord au moment créé par notre couple de forces de six newtons, lorsque nous rappelons l’expression pour le moment due à un couple, nous pouvons reconnaître que ce moment sera égal à deux fois l’intensité de six fois newtons multipliée par la moitié de la distance perpendiculaire entre les lignes d’action des deux forces dans le couple. Nous pouvons noter que deux multiplié par un-demi est un. Ainsi, l’intensité de ce moment se simplifie en six fois 𝑑 indice six. Quelle est alors cette distance 𝑑 indice six ? Pour résoudre ce problème, considérons ce triangle rectangle, avec 𝑑 indice six la longueur du côté. Ce triangle, en fait, est similaire au triangle avec 𝑑 indice six que nous voyons sur notre figure, ce qui signifie que cet angle ici est identique à cet angle dans notre parallélogramme.
Nous pouvons maintenant noter que l’angle au sommet 𝐵 de notre parallélogramme est de 150 degrés. Et parce que c’est un parallélogramme, cela signifie que l’angle au sommet 𝐷, ici, a la même mesure. Maintenant, pour une forme à quatre côtés, comme nous l’avons ici, la somme des angles intérieurs des quatre sommets est de 360 degrés. En cherchant à trouver cet angle, que nous ne connaissons pas encore, nous pouvons d’abord reconnaître qu’il est identique à la mesure du sommet 𝐴. Et donc, si nous appelons cet angle 𝛼, nous pouvons écrire que 360 degrés est égal à deux fois 150 degrés, ce sont les mesures des sommets 𝐵 et 𝐷, plus deux fois notre angle inconnu 𝛼. Deux fois 150 degrés, c’est 300 degrés. Et si nous soustrayons 300 degrés des deux membres de cette équation, nous constatons que 60 degrés est égal à deux fois 𝛼. Par conséquent, 𝛼 est égal à 30 degrés.
En revenant à notre triangle rectangle avec 𝑑 six comme côté vertical, nous pouvons dire que le sommet le plus haut de ce triangle est le point 𝐷 dans notre parallélogramme, et le sommet gauche est le point 𝐶. En repensant à l’énoncé de notre problème, on nous a dit que la longueur du segment de 𝐴 à 𝐵 est de 10 centimètres, tout comme la longueur du segment de 𝐵 à 𝐶. Et si 𝐴 à 𝐵 est égal à 10 centimètres, car nous avons un parallélogramme, de même pour 𝐶 à 𝐷. Nous pouvons donc dire que l’hypoténuse de notre triangle rectangle est de 10 centimètres.
À ce stade, rappelons la loi des sinus. Cette loi nous dit que, pour un triangle rectangle, le rapport de toute longueur de côté donnée avec le sinus de l’angle opposé à ce côté est égal au même rapport pour tout autre longueur de côté du triangle, ce qui signifie que pour ce triangle rectangle, que 𝑑 six sur sinus de 30 degrés est égal à 10 sur sinus de 90 degrés. Puisque le sinus de 90 degrés est un et le sinus de 30 degrés est un demi, nous pouvons multiplier les deux membres de cette équation par un demi, et nous trouvons que 𝑑 six est égal à cinq. Ce nombre a des unités de centimètres que nous allons laisser pour l’instant.
Nous avons donc une valeur pour 𝑑 six à utiliser dans notre équation pour 𝑀 indice six 𝑐. Une fois que nous avons fait cela, nous pouvons maintenant déterminer si ce moment sera positif ou négatif selon notre convention de signes. Parce que ces forces de six newton ont tendance à créer une rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de notre axe, le moment créé par ce couple sera positif. Sachant tout cela, nous pouvons maintenant passer au calcul de 𝑀 indice trois 𝑐. C’est le moment créé par notre couple de forces de trois newton. Selon notre équation, nous dirions que l’intensité de ce moment est égale à deux fois trois newtons multipliés par la distance 𝑑 trois sur deux. Encore une fois, deux multiplié par un-demi est égal à un. Ainsi, l’intensité de ce moment est égale à l’intensité de la force multipliée par 𝑑 trois.
Encore une fois, nous pouvons créer un triangle rectangle semblable à celui de notre schéma original. Le sommet le plus à droite de notre nouveau triangle est le point 𝐴, et le sommet le plus à gauche est le point 𝐷. Notez que pour cet angle intérieur, c’est le même que l’angle ici dans notre parallélogramme. En d’autres termes, il est égal à 𝛼. 𝛼, rappelons-nous, est de 30 degrés. Dans l’énoncé de notre problème, on nous dit que la longueur du côté 𝐵𝐶 dans notre parallélogramme est de 10 centimètres de longueur. Cela signifie que ce côté 𝐴𝐷 partage la même longueur, et donc l’hypoténuse de notre triangle rectangle mesure ici 10 centimètres de longueur.
Encore une fois, nous pouvons utiliser la loi des sinus, maintenant pour trouver 𝑑 indice trois. 𝑑 trois sur le sinus de 30 degrés est égal à 10 sur le sinus de 90 degrés. Encore une fois, le sinus de 30 degrés est un-demi, et le sinus de 90 degrés est un. Donc, si nous multiplions les deux membres de cette équation par un demi, nous constatons que 𝑑 trois, comme 𝑑 six, est égal à cinq centimètres. Et maintenant, nous prenons cette valeur et nous la substituons ici pour 𝑑 trois.
Voyons maintenant si ce moment est positif ou négatif. Nous voyons que ces forces de trois newton ont tendance à créer une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre autour de notre axe. Selon notre convention de signes, ce moment est négatif. Ici, c’est ce que nous pouvons dire sur le moment global créé par ces deux couples. C’est égal à cinq fois six moins trois ou 15. Et nous rappelons que les unités de nos forces sont des newtons et les unités de nos distances sont des centimètres. Notre réponse finale est alors que le moment créé par ces quatre forces, que nous considérions comme deux couples séparés ou un couple combiné, est de 15 newton centimètres.
