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Vidéo de la leçon : Moment des couples Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le moment de deux forces et la résultante de deux couples ou plus.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le moment de deux forces et la résultante de deux couples ou plus. Nous définissons un couple comme un système de deux forces de même intensité et de sens opposés qui agissent dans différentes lignes d’action. Et un couple produit une rotation due aux moments des forces dans ce couple.

Considérons une paire de forces de même intensité agissant sur une barre perpendiculairement à cette barre. Puisque l’intensité de ces forces est égale et qu’elles agissent dans des sens opposés et dans différentes lignes d’action, il s’agit d’un couple. Explorons le moment produit par le couple au milieu entre ces deux lignes d’action, que nous avons appelé point 𝐴.

Les forces 𝐹 un et 𝐹 deux produisent une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre. Il est courant de définir le sens positif comme le sens inverse des aiguilles d’une montre, elles produisent donc une rotation dans le sens négatif. Le moment est le produit de la force et de la distance perpendiculaire du pivot à la ligne d’action de la force. La force 𝐹 un agit à une distance 𝑑 sur deux unités de 𝐴. Elle agit perpendiculairement à la droite qui relie le point 𝐴 à la ligne d’action. Et donc le moment de la force 𝐹 un par rapport au point 𝐴 est moins 𝐹 un fois 𝑑 sur deux, 𝐹 un étant ici simplement l’intensité de la force. Nous pouvons simplifier cela un peu et l’écrire comme moins 𝐹 un 𝑑 sur deux. Et bien sûr, il est négatif car il agit dans le sens des aiguilles d’une montre.

De la même manière, nous définissons l’intensité de la force 𝐹 deux simplement comme 𝐹 deux. Et le moment de cette force par rapport au point 𝐴 est moins 𝐹 deux 𝑑 sur deux. Maintenant, rappelez-vous, nous avons dit que les intensités de ces deux forces sont égales. Donc, cela équivaut à dire que le moment de la deuxième force est moins 𝐹 un 𝑑 sur deux par rapport à 𝐴. La somme des moments par rapport à 𝐴 est moins 𝐹 un 𝑑 sur deux moins 𝐹 deux 𝑑 sur deux. Mais puisque moins 𝐹 deux 𝑑 sur deux est égal à moins 𝐹 un 𝑑 sur deux, nous pouvons l’écrire de manière équivalente comme moins deux 𝐹 un 𝑑 sur deux ou moins deux 𝐹 deux 𝑑 sur deux. Nous pouvons alors simplifier en divisant par deux et cela nous donne soit moins 𝐹 un 𝑑, soit moins 𝐹 deux 𝑑.

Alors, que se passe-t-il si nous considérons le moment par rapport au point 𝐵, l’extrémité de notre barre ? Eh bien, si nous définissons la longueur de la barre comme étant 𝑙 unités, le moment par rapport au point 𝐵 de la force 𝐹 un est moins 𝑙𝐹 un. De même, le moment de la force deux est 𝑙 moins 𝑑 fois 𝐹 deux. Maintenant, c’est positif car cela fait pivoter l’objet dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Maintenant, bien sûr, nous avons dit que l’intensité des forces 𝐹 un et 𝐹 deux sont égales. Donc, nous pouvons écrire ceci comme 𝑙 moins 𝑑 fois 𝐹 un. Ensuite, la somme des moments par rapport à 𝐵 est moins 𝑙𝐹 un plus 𝑙 moins 𝑑 𝐹 deux, qui peut s’écrire comme 𝑙 moins 𝑑 𝐹 un.

En développant les parenthèses, nous voyons que cela se simplifie en moins 𝐹 un 𝑑 ou moins 𝐹 deux 𝑑. Et c’est là que cela devient intéressant. Nous remarquons que c’est le même moment que le moment du couple par rapport au point 𝐴. En fait, ce sera la même chose pour tout point de la barre car le moment dû à un couple est en fait indépendant du point pour lequel les moments dus au couple sont pris.

Généralisons cela. Le moment d’un couple est la somme des moments des deux forces de ce couple pour un point dans l’espace. L’intensité du moment d’un couple est en fait le produit de l’intensité d’une des forces et de la distance entre elles. Nous définissons cela comme 𝑚 égal à 𝐹 fois 𝑙, où 𝐹 est l’intensité de la force et 𝑙 est appelé le bras du couple.

Maintenant, ici, il convient de nous rappeler ce que nous entendons par le bras du couple. La longueur du bras est donnée par la distance perpendiculaire entre les lignes d’action des deux forces du couple. Enfin, le moment d’un couple est indépendant du point pour lequel nous prenons les moments des deux forces. Donc, avec tout cela en tête, regardons un exemple de calcul de la longueur d’un bras d’un moment.

Si la norme du moment d’un couple est de 750 newton mètres et que l’intensité de l’une de ses deux forces est de 50 newtons, déterminez la longueur du bras du moment.

Il convient de rappeler ce que nous entendons par la norme du moment. La norme du moment est simplement l’intensité de ce moment. Et donc on nous donne des informations sur la norme du moment et l’intensité de l’une de ses deux forces. Et nous pouvons donc les relier en utilisant la formule qui détermine l’intensité du moment d’un couple. C’est le produit de l’intensité de l’une des forces du couple et de 𝑙, la longueur du bras du moment. Dans ce cas, on nous dit que la norme du moment ou son intensité est de 750 newton mètres. Et l’intensité de l’une de ses deux forces est de 50 newtons. Nous pouvons donc utiliser tout ce que nous savons sur le moment de ce couple dans la formule, et nous obtenons 750 est égal à 50 fois 𝑙.

Pour trouver 𝑙, nous divisons les deux côtés de cette équation par 50. Donc 𝑙 est 750 divisé par 50 ou 15. Et puisque nous divisons des newton mètres par des newtons, les unités de notre longueur sont simplement des mètres. Et donc la longueur du bras du moment dans ce cas est de 15 mètres.

Maintenant, les forces n’agissent pas nécessairement perpendiculairement à la droite qui relie les points à partir desquels elles agissent. Dans ces cas cependant, il existe une technique qui nous aidera à déterminer le moment dû au couple. Nous avons vu que 𝑙 est le bras du couple. Et c’est la longueur perpendiculaire entre les lignes d’action des forces du couple. Maintenant, c’est la partie importante. Cette définition nous permet de considérer les composantes de chaque force qui agissent perpendiculairement à la droite qui relie les points à partir desquels elles agissent. Si nous définissons la distance entre les points des lignes d’action de chaque force comme 𝑑, nous pouvons dire que la composante de la force qui agit perpendiculairement à cette longueur est l’intensité de 𝐹 fois sinus 𝜃. Et donc nous pouvons maintenant dire que l’intensité du moment dû au couple est égale à l’intensité de l’une ou l’autre force 𝐹 fois sinus 𝜃 fois 𝑑.

Dans notre exemple suivant, nous allons regarder une application de cela.

Dans le schéma ci-dessous, 𝐹 un est égal à trois newtons et 𝐹 un et 𝐹 deux forment un couple. Trouvez la mesure algébrique du moment de ce couple.

Afin de trouver la mesure algébrique du moment du couple, nous commençons par rappeler que si les forces forment un couple, alors leurs intensités doivent être égales. Si nous définissons 𝐹 un et 𝐹 deux comme leurs intensités respectives, alors nous pouvons dire que 𝐹 un est égal à 𝐹 deux, ce qui équivaut à trois newtons. Ensuite, pour trouver l’intensité du moment du couple, nous trouvons le produit de l’intensité de l’une des forces fois sinus 𝜃 et 𝑑, avec 𝑑 la distance entre les points sur lesquels les deux forces agissent. Et 𝜃 est l’angle que chaque force fait avec la droite reliant les points sur lesquels les forces un et deux agissent.

Nous voyons sur notre schéma que 𝜃 ici est égal à 45 degrés. Et 𝑑, la distance entre les points 𝐴 et 𝐵 ici, qui sont les points où 𝐹 un et 𝐹 deux agissent, est égale à sept racine de deux centimètres. Et donc l’intensité du moment de ce couple est trois fois sinus de 45 degrés fois sept racine de deux. Maintenant, bien sûr, le sinus de 45 degrés est une valeur exacte que nous devrions connaître par cœur. C’est racine de deux sur deux. Mais bien sûr, la racine carrée de deux divisée par deux fois la racine carrée de deux est deux sur deux ou simplement un. Et donc l’intensité du moment du couple est trois fois sept, soit 21 ou 21 newton centimètres. Puisque les forces essaient de déplacer l’objet dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous savons que la mesure algébrique du moment va être positive. Donc, la réponse est 21 newton centimètres.

Maintenant, jusqu’à présent, nous avons envisagé quelques formules. Mais une autre façon de calculer le moment d’un couple est d’utiliser le produit vectoriel. Le moment d’une force 𝐹 pour un point peut être déterminé en utilisant le produit vectoriel. Si nous prenons le vecteur 𝐫 comme le vecteur position du point pour lequel le moment est pris à un point quelconque de la ligne d’action de la force, le moment de la force est le produit vectoriel de 𝐫 et 𝐅. Si nous considérons un couple formé de deux forces 𝐹 un et 𝐹 deux qui agissent respectivement en 𝐴 et 𝐵, le moment du couple est alors donné par le produit vectoriel du vecteur 𝐁𝐀 et du vecteur 𝐅 un, qui est équivaut à trouver le produit vectoriel du vecteur 𝐀𝐁 et du vecteur 𝐅 deux.

Essentiellement, dans l’équation du moment du couple, le vecteur position 𝐫 est remplacé par le vecteur entre les points d’application des forces. Nous pouvons penser à cela en prenant des moments pour 𝐵 dans le premier cas et des moments pour 𝐴 dans le second. Donc, dans cet esprit, regardons comment trouver la distance perpendiculaire entre deux vecteurs de force qui forment un couple.

Étant donné que deux forces 𝐅 un égale moins 𝐢 plus deux 𝐣 et 𝐅 deux agissent en deux points, respectivement deux, deux et moins deux, moins deux, pour former un couple, déterminez la distance perpendiculaire entre les deux forces.

Nous avons une expression vectorielle pour l’une des forces de notre couple. Maintenant, bien sûr, pour que les forces forment un couple, leurs intensités doivent être égales. Elles agiront également dans des sens opposés. Nous pourrions donc, si nécessaire, trouver le vecteur 𝐅 deux. Leur somme sera égale à zéro, donc 𝐅 deux sera l’opposé du vecteur 𝐅 un. C’est l’opposé de moins 𝐢 plus deux 𝐣, qui est 𝐢 moins deux 𝐣.

Maintenant, en fait, il convient de noter que nous n’avons pas besoin de résoudre ce problème pour pouvoir répondre à la question. Mais cela nous permettrait de vérifier notre réponse à la fin. Ensuite, nous savons que pour un couple formé de deux forces 𝐅 un et 𝐅 deux qui agissent en 𝐴 et 𝐵, respectivement, le moment du couple est soit donné par le produit vectoriel du vecteur 𝐁𝐀 et du vecteur 𝐅 un ou de manière équivalente le produit vectoriel du vecteur 𝐀𝐁 et du vecteur 𝐅 deux.

Maintenant, on nous dit que la force 𝐅 un agit au point deux, deux et le vecteur 𝐅 deux agit au point moins deux, moins deux. Nous définissons donc 𝐴 et 𝐵 comme indiqué. Ensuite, nous rappelons que le vecteur 𝐁𝐀 peut être trouvé en soustrayant le vecteur 𝐎𝐁 du vecteur 𝐎𝐀. Puisque le vecteur 𝐎𝐀 est le vecteur position de 𝐴, c’est simplement deux 𝐢 plus deux 𝐣. Et de même, le vecteur 𝐎𝐁, qui est le vecteur position de 𝐵, est moins deux 𝐢 moins deux 𝐣. En développant les parenthèses, nous constatons que la composante de 𝐢 est deux moins moins deux, soit quatre. Et de même, la composante 𝐣 est également quatre. Ainsi, le vecteur 𝐁𝐀 est quatre 𝐢 plus quatre 𝐣.

Et donc nous pouvons dire que le produit vectoriel du vecteur 𝐁𝐀 et du vecteur 𝐅 un est le produit vectoriel du vecteur quatre 𝐢 plus quatre 𝐣 plus zéro 𝐤 et du vecteur moins 𝐢 plus deux 𝐣 plus zéro 𝐤. Et bien sûr, nous pensons parfois à cela en termes de déterminant d’une matrice deux par deux. Nous obtenons quatre fois deux moins quatre fois moins un 𝐤. C’est huit plus quatre 𝐤, soit 12𝐤.

Maintenant, nous voulons trouver la distance perpendiculaire entre les deux forces, en d’autres termes la longueur du bras du moment. Et donc nous utilisons la formule selon laquelle l’intensité du moment d’un couple est égale à l’intensité de l’une des forces multiplié par la longueur du bras du moment. Maintenant, en fait, puisque le moment agit dans une seule direction, son intensité est égale à 12. Nous prenons l’intensité de l’une ou l’autre force. Et pour ce faire, nous trouvons la racine carrée de la somme des carrés de chaque composante. Plus précisément, l’intensité de la force 𝐅 un est la racine carrée de moins un carré plus deux carrés, ce qui est égal à la racine de cinq. Et donc en utilisant ce que nous savons du moment de notre couple dans la formule, nous obtenons que 12 est égal à la racine carrée de cinq fois 𝑙, et nous pouvons trouver 𝑙 en divisant par racine de cinq.

Enfin, nous allons regarder le dénominateur pour simplifier cela. Nous multiplions donc le numérateur et le dénominateur de la fraction par la racine carrée de cinq, ce qui nous donne 12 racine cinq sur cinq. On peut donc dire que la distance perpendiculaire entre les deux forces est de 12 racine de cinq sur cinq unités de longueur.

Nous allons maintenant récapituler certains des concepts clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris qu’un couple est un système de deux forces de même intensité et de sens opposés qui agissent dans différentes lignes d’action. Le moment d’un couple est la somme des moments des deux forces de ce couple pour un point dans l’espace. Et l’intensité du moment est égale à l’intensité de l’une des deux forces et à la distance entre elles, ou le bras du couple.

Nous avons appris que le moment d’un couple est une constante indépendante du point pour lequel nous prenons les moments des deux forces. Et si les forces n’agissent pas dans une direction perpendiculaire à la droite qui relie les points à partir desquels elles agissent, nous pouvons calculer l’intensité du moment du couple en trouvant le produit de l’intensité de l’une des forces fois sinus 𝜃 fois 𝑑, avec 𝑑 la distance entre les points à partir desquels les forces agissent. Et 𝜃 est l’angle entre la ligne d’action de chaque force et cette droite.

Enfin, pour un couple formé de deux forces 𝐹 un agissant au point 𝐴 et 𝐹 deux agissant au point 𝐵, le moment du couple peut être calculé en utilisant le produit vectoriel. Nous disons que le moment est égal au produit vectoriel du vecteur 𝐁𝐀 et du vecteur 𝐅 un, ou de manière équivalente au produit vectoriel du vecteur 𝐀𝐁 et du vecteur 𝐅 deux.

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