Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Moment d’un couple Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le moment d’un couple de deux forces et le moment résultant de deux couples ou plus.

Définissons d’abord un couple en mécanique.

Définition : Couple

Un couple est une paire de forces, agissant sur le même corps, qui ont des lignes d’action parallèles mais non confondues, qui agissent dans des directions opposées et ont des intensités égales.

Bien que la somme des forces soit nulle, il y a un moment net qui est non nul (c’est-à-dire la somme des moments des deux forces) car les forces n’ont pas la même ligne d’action. Développons la notion de moment net.

Considérons le couple de forces 𝐹 et 𝐹 agissant sur une barre, perpendiculairement à la longueur de la barre. Si 𝐹 est l’intensité des deux forces. On a 𝐹=𝐹, et 𝐹=𝐹=𝐹.

Déterminons le moment des forces 𝐹 et 𝐹 par rapport au point 𝐴, le milieu entre les points d’application de 𝐹 et de 𝐹. On rappelle que le moment d’une force par rapport à un point est défini par 𝑀=±𝐹𝑑,𝐹 est l’intensité de la force et 𝑑 est la distance perpendiculaire entre la force et le point par rapport auquel le moment est calculé. Si la force produit une rotation dans le sens horaire, le moment est négatif. Le moment est positif lorsque la force produit une rotation dans le sens antihoraire.

Les deux forces produisent une rotation dans le sens horaire (rotation négative) et leurs points d’application sont situés à une distance perpendiculaire 𝑑2 de 𝐴. Le moment dans le sens horaire par rapport à 𝐴 de 𝐹 est donc de 𝑀=𝐹𝑑2, et le moment par rapport à 𝐴 de 𝐹 est de 𝑀=𝐹𝑑2.

Le moment net du couple est défini par 𝑀=𝑀+𝑀𝑀=2𝐹𝑑2=𝐹𝑑.tottot

Déterminons à présent le moment net de 𝐹 et 𝐹 par rapport à 𝐵. On pose 𝑙 la longueur de la barre. Le moment par rapport à 𝐵 de 𝐹 est négatif car 𝐹 produit une rotation dans le sens horaire (rotation négative) autour de 𝐵. Ainsi, le moment est de 𝑀=𝑙𝐹.

En revanche, le moment de 𝐹 par rapport à 𝐵 est positif car 𝐹 produit une rotation dans le sens antihoraire (rotation positive) autour de 𝐵. On obtient que 𝑀=(𝑙𝑑)𝐹.

Le moment net par rapport à 𝐵 du couple est de 𝑀=𝑀+𝑀𝑀=𝑙𝐹+(𝑙𝑑)𝐹𝑀=𝐹(𝑙+𝑙𝑑)𝑀=𝐹𝑑.tottottottot

On observe que le moment du couple a la même valeur dans les deux cas. En général, le moment d’un couple est le même par rapport à n’importe quel point du corps sur lequel le couple agit. Il convient de noter la différence entre les points A et B. Le point A est situé entre les deux points d’application des forces et les forces produisent une rotation dans le même sens dans ce cas. Le point B est à l’extérieur de la région entre les deux points d’application des deux forces du couple et les moments des deux forces du couple ont des signes opposés car ils produisent une rotation dans des sens opposés.

Propriété : Moment d’un couple

Le moment d’un couple est indépendant du point par rapport auquel les moments du couple sont calculés.

Les forces dans un couple n’agissent pas nécessairement perpendiculairement à la droite reliant les points à partir desquels elles agissent. La figure suivante montre trois exemples de couples où les forces d’un couple n’agissent pas perpendiculairement à la droite reliant les points à partir desquels ils agissent.

Dans ce cas, la distance perpendiculaire, également appelée le bras de levier, notée 𝐿 sur la figure ci-dessus, n’est pas la distance entre les deux points d’application des forces. On voit que pour les deux figures à droite, le bras de levier est défini par 𝑑𝜃sin. Sur la figure de gauche, où 𝜃 est plus grand que 90, on voit que 𝐿=𝑑𝜃=𝑑(180𝜃)=𝑑𝜃sinsinsin, sachant que sinsin(180𝑥)=𝑥. Par conséquent, on constate que le bras de levier, ou la distance perpendiculaire entre les forces, est toujours 𝐿=𝑑𝜃.sin

Le moment d’un couple est donc 𝑀=±𝐹𝐿=±𝐹𝑑𝜃.sin

On peut aussi représenter 𝐹𝑑𝜃sin comme (𝐹𝜃)𝑑sin, c’est-à-dire le produit de la valeur absolue de la composante de la force perpendiculaire à la barre et de la distance entre les deux points d’application des forces.

Propriété : Moment d’un couple

Le moment d’un couple agissant en 𝐴 et 𝐵 est défini par 𝑀=±𝐹𝑑𝜃𝑀=±𝐹𝐿𝑀=±|𝐹|𝑑,sin𝐹 est l’intensité des deux forces dans le couple, 𝑑 est la distance entre 𝐴 et 𝐵, 𝜃 est l’angle entre la force et le segment 𝐴𝐵, 𝐿 est le bras de levier et 𝐹 est la composante de la force perpendiculaire à 𝐴𝐵.

Considérons un exemple sur le moment d’un couple.

Exemple 1: Déterminer le bras de levier correspondant dans un système de deux forces

Si la norme du moment d’un couple est de 750 N⋅m et que l’intensité de l’une de ses deux forces est 50 N, déterminez la longueur du bras de levier.

Réponse

La norme du moment est l’intensité du moment. L’intensité du moment du couple est le produit de l’intensité de l’une des forces dans le couple et de 𝐿, la longueur du bras de levier. Comme le moment est en newtons-mètres et que la force est en newtons, 750=50𝐿𝐿=75050=15.m

Dans l’exemple précédent, on voit que l’intensité du moment est simplement le produit de l’intensité de l’une des forces et du bras de levier.

Propriété : Intensité du moment d’un couple

L’intensité du moment d’un couple est défini par |𝑀|=𝐹𝐿,𝐹 est l’intensité de l’une des forces du couple et 𝐿 est le bras de levier.

Considérons un exemple du moment d’un couple dans lequel les forces ne sont pas perpendiculaires à la droite reliant leurs points d’application.

Exemple 2: Déterminer l’intensité d’un couple de deux forces inclinées agissant sur les deux extrémités d’une droite

Sur la figure ci-dessous, 𝐹=3N et 𝐹 et 𝐹 forment un couple. Déterminez la valeur algébrique du moment de ce couple.

Réponse

Les forces dans un couple doivent avoir des intensités égales. Si 𝐹 a une intensité de 3 N, alors 𝐹 a également une intensité de 3 N. L’angle entre 𝐹 et 𝐹 et la droite reliant les points à partir desquels 𝐹 et 𝐹 agissent est 45.

La rotation due au couple s’effectue dans le sens antihoraire et, par conséquent, est positive. L’intensité du moment est définie par 𝑀=𝐹𝜃𝑑sin ce qui donne 𝑀=3×45×72𝑀=3×2272𝑀=21.sinNcm

La définition mathématique correcte du moment d’une force est donnée par le produit vectoriel.

Définition : Moment d’un couple par le produit vectoriel

On peut déterminer le moment d’une force 𝐹 par rapport à un point en utilisant le produit vectoriel. Le vecteur 𝑟 représente le vecteur position à partir du point par rapport auquel un moment est calculé vers un point quelconque sur la ligne d’action de la force. 𝑀=𝑟×𝐹

Pour un couple constitué de deux forces;𝐹 agissant en le point 𝐴 et 𝐹 agissant en le point 𝐵, le moment du couple est, 𝑀=𝐵𝐴×𝐹=𝐴𝐵×𝐹

Notons que pour l’équation ci-dessus pour le moment d’un couple, 𝑟 a été remplacé par le vecteur entre les points d’application des forces. On peut trouver cette équation en calculant le moment par rapport au point 𝐵 dans le premier cas et en calculant le moment par rapport au point 𝐴 dans le second cas.

Un moyen utile pour calculer le produit vectoriel est de déterminer le déterminant de la matrice 3×3. 𝑀=𝑟×𝐹=|||||𝑖𝑗𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹|||||

Bien que cette méthode soit principalement utilisée lorsque les vecteurs 𝐹 et 𝑟 sont tridimensionnels, cela peut parfois être utile pour les systèmes bidimensionnels. Considérons un exemple de ce genre.

Exemple 3: Déterminer la distance perpendiculaire entre deux vecteurs de force formant un couple

Sachant que deux forces 𝐹=𝑖+2𝑗 et 𝐹 agissent en deux points (2;2) et (2;2) respectivement pour former un couple, déterminez la distance perpendiculaire entre les deux forces.

Réponse

Étant donné que les forces forment un couple, leur somme doit être égale à 0. Il est possible d’utiliser cette information pour déterminer 𝐹, cependant, il n’est pas nécessaire d’arriver à une solution. 𝐹+𝐹=0𝐹=𝐹𝐹=𝑖2𝑗

La distance perpendiculaire entre les lignes d’action de 𝐹 et 𝐹 est la longueur de la droite perpendiculaire aux deux. On peut noter cette distance 𝑑.

On peut déterminer le moment d’un couple avec la formule suivante où 𝐹 est l’intensité de l’une des forces, 𝑑 est la distance perpendiculaire entre les lignes d’action des forces et où le signe du moment indique le sens de rotation. 𝑀=±𝐹𝑑

Pour mieux comprendre ce système, on peut utiliser la notation vectorielle et se rappeler l’origine de cette formule. Le moment d’une force est égal à l’intensité de la force multipliée par sa distance perpendiculaire au point par rapport auquel le moment est calculé.

Supposons qu’on prend des moments par rapport au point 𝐵. Sachant que la force 𝐹 agit en le point 𝐴, on définit le vecteur 𝑟 comme:𝑟=𝐵𝐴.

En définissant 𝜃 comme l’angle aigu positif entre la ligne d’action de 𝐹 et 𝑟 on peut effectuer une simplification utile en utilisant la géométrie du triangle rectangle. Ici, on a exprimé la distance perpendiculaire 𝑑 en fonction de la norme de 𝑟 et de l’angle 𝜃. 𝑑=𝑟𝜃sin

Notons que pour ce système particulier, on cherche la distance 𝑑, qui est un scalaire non négatif. Cela signifie que le signe dans notre équation n’est pas important et, par conséquent, le sens de rotation peut être ignoré.

C’est pour cette raison qu’on peut définir 𝜃 comme angle aigu positif, en rejetant toute solution négative. Ce faisant, nous avons simplifié notre système pour ne prendre en compte que l’intensité du moment, qui peut être exprimée comme suit:𝑀=𝐹𝑟𝜃=𝐹𝑑.sin

Réarranger cette équation montre que si on est en mesure de déterminer les intensités du moment 𝑀 et de la force 𝐹, on peut trouver la distance perpendiculaire 𝑑. 𝑑=𝑀𝐹

Pour continuer, on rappelle que le moment d’un couple peut être déterminé en utilisant le produit vectoriel. En prime, si on rappelle la définition du produit vectoriel, cela confirme la logique précédente, bien que nous n’allons pas entrer dans les détails dans cette fiche. 𝑀=𝑟×𝐹=𝐹𝑟𝜃𝑛sin

Rappelons que nous avons décidé initialement de calculer le moment par rapport au point 𝐵. Cela signifie que nous allons utiliser la force 𝐹 et le vecteur 𝑟 défini comme partant du point 𝐵 et allant au point 𝐴. 𝑟=𝐵𝐴=(2,2)(2,2)=(4,4)

La méthode standard pour le produit vectoriel dans l’espace consiste à déterminer le déterminant d’une matrice 3×3, mais étant donné que 𝐹 et 𝑟 sont des vecteurs bidimensionnels, nos calculs peuvent être simplifiés. 𝑀=𝑟×𝐹=𝑟,𝑟,0×𝐹,𝐹,0=𝑟𝐹𝑟𝐹𝑘=(424(1))𝑘=(8+4)𝑘=12𝑘

On trouve à présent l’intensité de 𝑀 et 𝐹. 𝑀=12𝑘=12𝐹=𝑖+2𝑗=(1)+2=5

Et enfin on a tout ce qu’il faut pour calculer la distance 𝑑. 𝑑=𝑀𝐹=125=1255

Il s’agit la distance perpendiculaire entre les lignes d’action des forces dans le couple.

Plusieurs couples peuvent agir simultanément sur un corps. Lorsque plusieurs couples agissent sur un corps, le moment résultant dû aux couples est la somme des moments dus aux couples. Considérons un exemple avec plusieurs couples.

Exemple 4: Analyse d’un système de quatre forces agissant sur une barre horizontale et équivalentes à un couple

Le segment 𝐴𝐵 est une barre lumineuse horizontale de longueur 60 cm, où deux forces, chacune d’intensité 45 N, agissent verticalement en 𝐴 et 𝐵 dans deux directions opposées. Deux autres forces, chacune d’intensité 120 N, agissent dans des sens opposés en les points 𝐶 et 𝐷 de la barre, où 𝐶𝐷=45cm. S’ils forment un couple équivalent au couple formé par les deux premières forces, déterminez la mesure de l’angle d’inclinaison que les deux secondes forces forment avec la barre.

Réponse

Le couple 𝑐 formé par les forces qui agissent en 𝐴 et 𝐵 est défini par 𝑐=(45×60).Ncm

Le couple 𝑐 formé par les forces qui agissent en 𝐶 et 𝐷 est défini par 𝑐=(120𝜃×45).sinNcm

La question stipule que les couples sont équivalents, donc 𝑐=𝑐.

On peut déterminer l’angle 𝜃 en réarrangeant:(45×60)=(120𝜃×45)60120=𝜃𝜃=30.sinsin

Points Clés

  • Un couple est une paire de forces qui ont des lignes d’action parallèles et distinctes et des intensités égales mais des directions opposées.
  • Le moment dû à un couple est défini par 𝑀=±𝐹𝑑𝜃sin, 𝐹 est l’intensité de l’une des forces du couple, 𝑑 est la longueur de la droite reliant les points à partir desquels les forces agissent et 𝜃 est l’angle entre 𝐹 et cette droite.
  • L’intensité du moment d’un couple est définie par |𝑀|=𝐹𝐿, 𝐹 est l’intensité de l’une des forces et 𝐿 est le bras de levier.
  • Le moment d’un couple peut être déterminé en utilisant le produit vectoriel. 𝑀=𝑟×𝐹
  • Pour un couple constitué de deux forces;𝐹 agissant en le point 𝐴 et 𝐹 agissant en le point 𝐵:𝑀=𝐵𝐴×𝐹=𝐴𝐵×𝐹
  • Plusieurs couples peuvent agir simultanément sur un corps. Lorsque plusieurs couples agissent sur un corps, le moment résultant dû aux couples est la somme des moments dus aux couples.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.