Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le moment d’un couple de deux forces et le moment résultant de deux couples ou plus.
Définissons d’abord un couple en mécanique.
Définition : Couple
Un couple est une paire de forces, agissant sur le même corps, qui ont des lignes d’action parallèles mais non confondues, qui agissent dans des directions opposées et ont des intensités égales.
Bien que la somme des forces soit nulle, il y a un moment net qui est non nul (c’est-à-dire la somme des moments des deux forces) car les forces n’ont pas la même ligne d’action. Développons la notion de moment net.
Considérons le couple de forces et agissant sur une barre, perpendiculairement à la longueur de la barre. Si est l’intensité des deux forces. On a et
Déterminons le moment des forces et par rapport au point , le milieu entre les points d’application de et de . On rappelle que le moment d’une force par rapport à un point est défini par où est l’intensité de la force et est la distance perpendiculaire entre la force et le point par rapport auquel le moment est calculé. Si la force produit une rotation dans le sens horaire, le moment est négatif. Le moment est positif lorsque la force produit une rotation dans le sens antihoraire.
Les deux forces produisent une rotation dans le sens horaire (rotation négative) et leurs points d’application sont situés à une distance perpendiculaire de . Le moment dans le sens horaire par rapport à de est donc de et le moment par rapport à de est de
Le moment net du couple est défini par
Déterminons à présent le moment net de et par rapport à . On pose la longueur de la barre. Le moment par rapport à de est négatif car produit une rotation dans le sens horaire (rotation négative) autour de . Ainsi, le moment est de
En revanche, le moment de par rapport à est positif car produit une rotation dans le sens antihoraire (rotation positive) autour de . On obtient que
Le moment net par rapport à du couple est de
On observe que le moment du couple a la même valeur dans les deux cas. En général, le moment d’un couple est le même par rapport à n’importe quel point du corps sur lequel le couple agit. Il convient de noter la différence entre les points A et B. Le point A est situé entre les deux points d’application des forces et les forces produisent une rotation dans le même sens dans ce cas. Le point B est à l’extérieur de la région entre les deux points d’application des deux forces du couple et les moments des deux forces du couple ont des signes opposés car ils produisent une rotation dans des sens opposés.
Propriété : Moment d’un couple
Le moment d’un couple est indépendant du point par rapport auquel les moments du couple sont calculés.
Les forces dans un couple n’agissent pas nécessairement perpendiculairement à la droite reliant les points à partir desquels elles agissent. La figure suivante montre trois exemples de couples où les forces d’un couple n’agissent pas perpendiculairement à la droite reliant les points à partir desquels ils agissent.
Dans ce cas, la distance perpendiculaire, également appelée le bras de levier, notée sur la figure ci-dessus, n’est pas la distance entre les deux points d’application des forces. On voit que pour les deux figures à droite, le bras de levier est défini par . Sur la figure de gauche, où est plus grand que , on voit que , sachant que . Par conséquent, on constate que le bras de levier, ou la distance perpendiculaire entre les forces, est toujours
Le moment d’un couple est donc
On peut aussi représenter comme , c’est-à-dire le produit de la valeur absolue de la composante de la force perpendiculaire à la barre et de la distance entre les deux points d’application des forces.
Propriété : Moment d’un couple
Le moment d’un couple agissant en et est défini par où est l’intensité des deux forces dans le couple, est la distance entre et , est l’angle entre la force et le segment , est le bras de levier et est la composante de la force perpendiculaire à .
Considérons un exemple sur le moment d’un couple.
Exemple 1: Déterminer le bras de levier correspondant dans un système de deux forces
Si la norme du moment d’un couple est de 750 N⋅m et que l’intensité de l’une de ses deux forces est 50 N, déterminez la longueur du bras de levier.
Réponse
La norme du moment est l’intensité du moment. L’intensité du moment du couple est le produit de l’intensité de l’une des forces dans le couple et de , la longueur du bras de levier. Comme le moment est en newtons-mètres et que la force est en newtons,
Dans l’exemple précédent, on voit que l’intensité du moment est simplement le produit de l’intensité de l’une des forces et du bras de levier.
Propriété : Intensité du moment d’un couple
L’intensité du moment d’un couple est défini par où est l’intensité de l’une des forces du couple et est le bras de levier.
Considérons un exemple du moment d’un couple dans lequel les forces ne sont pas perpendiculaires à la droite reliant leurs points d’application.
Exemple 2: Déterminer l’intensité d’un couple de deux forces inclinées agissant sur les deux extrémités d’une droite
Sur la figure ci-dessous, et et forment un couple. Déterminez la valeur algébrique du moment de ce couple.
Réponse
Les forces dans un couple doivent avoir des intensités égales. Si a une intensité de 3 N, alors a également une intensité de 3 N. L’angle entre et et la droite reliant les points à partir desquels et agissent est .
La rotation due au couple s’effectue dans le sens antihoraire et, par conséquent, est positive. L’intensité du moment est définie par ce qui donne
La définition mathématique correcte du moment d’une force est donnée par le produit vectoriel.
Définition : Moment d’un couple par le produit vectoriel
On peut déterminer le moment d’une force par rapport à un point en utilisant le produit vectoriel. Le vecteur représente le vecteur position à partir du point par rapport auquel un moment est calculé vers un point quelconque sur la ligne d’action de la force.
Pour un couple constitué de deux forces ; agissant en le point et agissant en le point , le moment du couple est,
Notons que pour l’équation ci-dessus pour le moment d’un couple, a été remplacé par le vecteur entre les points d’application des forces. On peut trouver cette équation en calculant le moment par rapport au point dans le premier cas et en calculant le moment par rapport au point dans le second cas.
Un moyen utile pour calculer le produit vectoriel est de déterminer le déterminant de la matrice .
Bien que cette méthode soit principalement utilisée lorsque les vecteurs et sont tridimensionnels, cela peut parfois être utile pour les systèmes bidimensionnels. Considérons un exemple de ce genre.
Exemple 3: Déterminer la distance perpendiculaire entre deux vecteurs de force formant un couple
Sachant que deux forces et agissent en deux points et respectivement pour former un couple, déterminez la distance perpendiculaire entre les deux forces.
Réponse
Étant donné que les forces forment un couple, leur somme doit être égale à 0. Il est possible d’utiliser cette information pour déterminer , cependant, il n’est pas nécessaire d’arriver à une solution.
La distance perpendiculaire entre les lignes d’action de et est la longueur de la droite perpendiculaire aux deux. On peut noter cette distance .
On peut déterminer le moment d’un couple avec la formule suivante où est l’intensité de l’une des forces, est la distance perpendiculaire entre les lignes d’action des forces et où le signe du moment indique le sens de rotation.
Pour mieux comprendre ce système, on peut utiliser la notation vectorielle et se rappeler l’origine de cette formule. Le moment d’une force est égal à l’intensité de la force multipliée par sa distance perpendiculaire au point par rapport auquel le moment est calculé.
Supposons qu’on prend des moments par rapport au point . Sachant que la force agit en le point , on définit le vecteur comme :
En définissant comme l’angle aigu positif entre la ligne d’action de et on peut effectuer une simplification utile en utilisant la géométrie du triangle rectangle. Ici, on a exprimé la distance perpendiculaire en fonction de la norme de et de l’angle .
Notons que pour ce système particulier, on cherche la distance , qui est un scalaire non négatif. Cela signifie que le signe dans notre équation n’est pas important et, par conséquent, le sens de rotation peut être ignoré.
C’est pour cette raison qu’on peut définir comme angle aigu positif, en rejetant toute solution négative. Ce faisant, nous avons simplifié notre système pour ne prendre en compte que l’intensité du moment, qui peut être exprimée comme suit :
Réarranger cette équation montre que si on est en mesure de déterminer les intensités du moment et de la force , on peut trouver la distance perpendiculaire .
Pour continuer, on rappelle que le moment d’un couple peut être déterminé en utilisant le produit vectoriel. En prime, si on rappelle la définition du produit vectoriel, cela confirme la logique précédente, bien que nous n’allons pas entrer dans les détails dans cette fiche.
Rappelons que nous avons décidé initialement de calculer le moment par rapport au point . Cela signifie que nous allons utiliser la force et le vecteur défini comme partant du point et allant au point .
La méthode standard pour le produit vectoriel dans l’espace consiste à déterminer le déterminant d’une matrice , mais étant donné que et sont des vecteurs bidimensionnels, nos calculs peuvent être simplifiés.
On trouve à présent l’intensité de et .
Et enfin on a tout ce qu’il faut pour calculer la distance .
Il s’agit la distance perpendiculaire entre les lignes d’action des forces dans le couple.
Plusieurs couples peuvent agir simultanément sur un corps. Lorsque plusieurs couples agissent sur un corps, le moment résultant dû aux couples est la somme des moments dus aux couples. Considérons un exemple avec plusieurs couples.
Exemple 4: Analyse d’un système de quatre forces agissant sur une barre horizontale et équivalentes à un couple
Le segment est une barre lumineuse horizontale de longueur 60 cm, où deux forces, chacune d’intensité 45 N, agissent verticalement en et dans deux directions opposées. Deux autres forces, chacune d’intensité 120 N, agissent dans des sens opposés en les points et de la barre, où . S’ils forment un couple équivalent au couple formé par les deux premières forces, déterminez la mesure de l’angle d’inclinaison que les deux secondes forces forment avec la barre.
Réponse
Le couple formé par les forces qui agissent en et est défini par
Le couple formé par les forces qui agissent en et est défini par
La question stipule que les couples sont équivalents, donc
On peut déterminer l’angle en réarrangeant :
Points Clés
- Un couple est une paire de forces qui ont des lignes d’action parallèles et distinctes et des intensités égales mais des directions opposées.
- Le moment dû à un couple est défini par , où est l’intensité de l’une des forces du couple, est la longueur de la droite reliant les points à partir desquels les forces agissent et est l’angle entre et cette droite.
- L’intensité du moment d’un couple est définie par , où est l’intensité de l’une des forces et est le bras de levier.
- Le moment d’un couple peut être déterminé en utilisant le produit vectoriel.
- Pour un couple constitué de deux forces ; agissant en le point et agissant en le point :
- Plusieurs couples peuvent agir simultanément sur un corps. Lorsque plusieurs couples agissent sur un corps, le moment résultant dû aux couples est la somme des moments dus aux couples.
