Transcription de la vidéo
Une lame carrée préserve sa forme lorsqu'elle se développe. Déterminez le taux de variation de son aire par rapport à la longueur du côté lorsque son côté mesure quatre centimètres.
Nous avons une lame carrée, qui est un objet plat à deux dimensions dont l'épaisseur est négligeable. On nous demande de déterminer le taux de variation de son aire par rapport à la longueur du côté. On nous donne une longueur de côté particulière de quatre centimètres. Nous commencerons par désigner la longueur du côté par 𝑥. Ensuite, nous pouvons établir une équation pour l'aire en fonction de la longueur du côté. Puisque notre lame est un carré et que nous savons que l'aire d'un carré est le carré de la longueur du côté, l'aire 𝐴 de 𝑥 en fonction de la longueur du côté est égale à 𝑥 au carré.
Normalement, lorsque nous pensons aux taux de variation, nous considérons le taux de variation par rapport au temps. Seulement, aucune information ne nous est donnée sur le taux de variation par rapport au temps. Nous avons uniquement l'aire en fonction de la longueur du côté.
Pour trouver le taux de variation par rapport à la longueur du côté, nous dérivons la fonction d'aire par rapport à la longueur du côté 𝑥. Nous voulons donc trouver d𝐴 sur d𝑥. Pour cela, nous utilisons la règle de dérivation des puissance. Cela nous indique que pour toute puissance réelle 𝑛 et tout coefficient constant 𝑎, d sur d𝑥 de la fonction 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑛 fois 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Autrement dit, nous faisons descendre la puissance 𝑛, nous multiplions par elle et nous soustrayons un de la puissance ou de l'exposant. Dans notre cas, cela signifie qu'il faut faire descendre deux et multiplier par celui-ci. Notre nouvel exposant est donc deux moins un. Cela donne un et, puisque tout nombre puissance un est égal à lui-même, nous obtenons d𝐴 sur d𝑥 est égal à deux 𝑥.
Pour déterminer le taux de variation de l'aire de la lame lorsque sa longueur de côté est de quatre, nous remplaçons 𝑥 par quatre dans d𝐴 sur d𝑥. Nous avons donc deux fois quatre, ce qui donne huit. Puisque notre aire est mesurée en centimètres carrés et notre longueur de côté en centimètres, les unités sont des centimètres carrés par centimètre. Il s'agit du nombre de centimètres carrés correspondant à une variation de un centimètre de la longueur du côté. Par conséquent, le taux de variation de l'aire de la lame par rapport à la longueur du côté lorsque ce dernier mesure quatre centimètres est de huit centimètres carrés par centimètre.
