Fiche explicative de la leçon: المعدَّلات الزمنية المترابطة | Nagwa Fiche explicative de la leçon: المعدَّلات الزمنية المترابطة | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: المعدَّلات الزمنية المترابطة Mathématiques

في هذا الشارح، سوف نتدرَّب على استخدام المشتقات لإيجاد العلاقة بين المعدلات لكميتين أو أكثر في مسائل المعدلات المرتبطة.

يمكن حساب معدل تغير الكميات بتغير الزمن، مثل الإزاحة أو السرعة المتجهة، باستخدام المشتقات. إذا تغيرت كميتان مرتبطتان بتغير الزمن، فستكون معدلات تغيرهما، وبالتالي مشتقاتهما، مرتبطة أيضا.

افترض أن بالونا كروي الشكل منفوخًا بالهواء؛ وأن كلًا من نصف قطر البالون وحجمه يزيدان بتغير الزمن. يتناسب حجم الكرة طرديًا مع مكعب نصف قطرها؛ ومن ثم يكون معدل تغير الحجم ومعدل تغير نصف القطر مرتبطين أيضًا.

ويمكن أن تشير إشارة المشتقة أيضًا إلى ما إذا كان معدل تغير كمية معينة يتزايد أو يتناقص بتغير الزمن، بناءً على ما إذا كانت موجبة أم سالبة على الترتيب.

يمكن حل هذه المسائل باستخدام أحد تطبيقات الاشتقاق الضمني، والذي يكون مفيدًا عند إيجاد المعدل المجهول لكمية ما، من خلال ربطها بمعدلات كميات أخرى معروفة.

يستخدم الاشتقاق الضمني قاعدة السلسلة ويمكنك من إيجاد مشتقة كمية ما بالنسبة إلى الزمن باستخدام الدوال المعرفة ضمنيًا، فعادة بالنسبة للمعدلات المرتبطة، لا نعرف العلاقة الصريحة بين هذه الكمية والزمن.

بالنسبة لهذه المسائل، قد يكون من المفيد أن نبدأ بالنظر في كيفية تطبيق هذه العملية على مثال معين عن حجم المكعب.

مثال ١: إيجاد مقدار يمثل معدل التغير في حجم المكعب باستخدام المعدلات المرتبطة

إذا كان 𞸇 حجم مكعب طول حرفه 𞸎، ويتمدَّد المكعب مع مرور الوقت، فعبِّر عن 𞸃𞸇𞸃𞸍.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد تعبير جبري لمعدل التغير في الحجم معبرًا عنه بدلالة معدل تغير طول حرف المكعب. لنتخيل المسألة باستخدام شكل بسيط يوضح أن لدينا مكعبًا يتمدد.

حجم المكعب، بالوحدات المكعبة، طول حرفه 𞸎 مُعطى من خلال 𞸇=𞸎٣. نبدأ بإيجاد تعبير دال على مشتقة 𞸇 بالنسبة إلى المتغير 𞸎 حيث: 𞸃𞸇𞸃𞸎=٣𞸎=٣𞸎.٣١٢

ثم نحسب معدل تغير الحجم بالنسبة إلى الزمن، 𞸃𞸇𞸃𞸍، باستخدام الاشتقاق الضمني.

هذا هو التعبير الدال على معدل التغير : 𞸃𞸇𞸃𞸍=𞸃𞸇𞸃𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍=٣𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍.٢

يمكننا صياغة هذه العملية في التعريف الآتي عندما يرتبط متغيرين 𞸎 و 𞸑 بدالة معطاة.

تعريف: المعدل المرتبط لتغير ص = د(س)

إذا كان لدينا متغيران 𞸎 و 𞸑 مرتبطان من خلال الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) وكلاهما يتغيران بتغير الزمن، يمكن كتابة هذين المتغيرين أيضًا على صورة دالة في المتغير 𞸍، 𞸎(𞸍) و 𞸑(𞸍) من أجل التأكيد على اعتمادها على الزمن. يمكننا التعبير عن معدل تغير 𞸑 بدلالة معدل التغير في 𞸎 باستخدام الاشتقاق الضمني وقاعدة السلسلة على النحو الآتي: 𞸃𞸑𞸃𞸍=𞸃𞸑𞸃𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍=󰎨(𞸎)𞸃𞸎𞸃𞸍.

فلنتناول مثالًا يتحرك فيه الجسم على طول مسار على شكل قطع مكافئ موضح من خلال 𞸑=𞸎+٢٢، كما هو موضح في الشكل الآتي.

إذا أخبرتنا معطيات المسألة أنه في زمن معين 𞸍=٥ث كان الإحداثي 𞸎 هو 𞸎=٤ وكان المعدل الذي يتغير به الإحداثي 𞸎 هو: 𞸃𞸎𞸃𞸍=٣/،ث، فسيمكننا إذن إيجاد معدل تغير الإحداثي 𞸑، 𞸃𞸑𞸃𞸍، في هذا الزمن المحدد. من تعريف معدلات التغير المرتبطة، نعرف أن: 𞸃𞸑𞸃𞸍=𞸃𞸑𞸃𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍.

يمكننا إيجاد المشتقة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎 صريحةً لتكون: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢𞸎 إذن: 𞸃𞸑𞸃𞸍=٢𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍.

نرغب في إيجاد معدل تغير 𞸃𞸑𞸃𞸍 عند 𞸍=٥ث، وعند ذلك الزمن، عرفنا أن 𞸎=٤ وأن 𞸃𞸎𞸃𞸍=٣/ث، إذن: 𞸃𞸑𞸃𞸍=٢(٤)(٣)=٤٢/.ث

لنتناول بعد ذلك مثالًا يتضمن دائرة يتزايد نصف قطرها، ؈(𞸍)، مع تغير الزمن 𞸍. يمكننا تصور هذه المسألة باستخدام شكل بسيط يوضح أن لدينا دائرة تتمدد.

إذا عرفنا أن معدل التغير 𝜆=𞸃؈𞸃𞸍 معلوم وثابت، فسيمكننا استخدامه لإيجاد معدل تغير مساحة الدائرة. يمكن إيجاد المساحة عند أي زمن من خلال: 𞸌(𞸍)=𝜋󰁓؈(𞸍)󰁒٢ إذن: 𞸃𞸌𞸃؈=٢𝜋؈.

الكمية التي نريد إيجادها هي 𞸃𞸌𞸃𞸍، ولكن بما أن نصف القطر دالة في 𞸍 وأن الصيغة لا تحتوي صراحة على أي من متغيرات 𞸍، سيكون علينا أن نشتق ذلك ضمنيًا باستخدام قاعدة السلسلة. على وجه التحديد: 𞸃𞸌𞸃𞸍=𞸃𞸌𞸃؈𞸃؈𞸃𞸍=٢𝜋؈𝜆.

لنعد الآن إلى مثال البالون كروي الشكل المنفوخ بالهواء، كما هو موضح بالشكل الآتي.

افترض أن البالون يُنفخ بمعدل ثابت ٢ سم٣ ونريد معرفة مدى سرعة زيادة نصف القطر، ؈(𞸍)، عند اللحظة عندما ؈=٣. كلما زاد نفخ البالون، زاد نصف القطر والحجم بالنسبة إلى الزمن، وبالتالي، تكون معدلات تغيرهما قيم موجبة. وبما أن البالون كروي الشكل، فإننا نعرف أنه يمكن حساب الحجم من خلال: 𞸇(𞸍)=٤٣𝜋󰁓؈(𞸍)󰁒٣ إذن: 𞸃𞸇𞸃؈=٤𝜋؈.٢

يمكننا اشتقاق الحجم 𞸇 ضمنيًا بالنسبة إلى الزمن: 𞸃𞸇𞸃𞸍=𞸃𞸇𞸃؈𞸃؈𞸃𞸍=٤𝜋؈𞸃؈𞸃𞸍.٢

لكن بما أننا عرفنا أن الحجم يزداد بمعدل ثابت هو ٢ سم٣، يصبح لدينا: 𞸃𞸇𞸃𞸍=٢ إذن: ٢=٤𝜋؈𞸃؈𞸃𞸍،٢ والذي يمكننا إعادة ترتيبه لإيجاد: 𞸃؈𞸃𞸍=١٢𝜋؈.٢

وأخيرًا، علينا إيجاد معدل تغير نصف القطر عند ؈=٣، والذي يمكننا التعويض به في تعبير المشتقة على النحو الآتي: 𞸃؈𞸃𞸍=١٢𝜋(٣)=١٨١𝜋/.٢ث

من المهم أن نعرّف جميع التعبيرات بالكامل؛ فهناك اعتقاد شائع خاطئ هو الخلط بين المتغيرات والثوابت. عادة ما تتضمن مسائل المعدلات المرتبطة العديد من التعبيرات، بعضها يمثل كميات، والبعض الآخر يمثل معدلات تغير؛ بعضها متغير سيتغير بتغير الزمن، والبعض الآخر ثوابت.

سنتناول الآن بعض الأمثلة لنتدرب ونعمق فهمنا لأنواع المسائل التي تتضمن معدلات تغير مرتبطة. يتضمن هذان المثالان تعبيرًا صريحًا عن العلاقة بين الكمية التي تريد إيجاد معدلها والكميات الأخرى.

مثال ٢: إيجاد معدل التغير في مساحة سطح كرة تنكمش بمعلومية معدل تغير حجمها باستخدام المعدلات المرتبطة

بالون كروي تسرب منه غاز الهليوم بمعدل ٤٨ سم٣. ما معدل التغير في مساحة السطح الخارجي للبالون عندما يكون نصف قطره ٤١ سم؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل التغير في مساحة سطح البالون، عند نصف قطر معين، ومعدل تغير ثابت معلوم للحجم. على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

يُعطى الحجم 𞸇 ومساحة السطح 𞸌 لكرة نصف قطرها ؈ من خلال: 𞸇=٤٣𝜋؈،𞸌=٤𝜋؈.٣٢

وبما أن البالون يُسرب الهليوم، فإن حجمه يتناقص بتغير الزمن، الأمر الذي يمكننا تخيله باستخدام شكل.

يعني هذا أن معدل تغير الحجم 𞸃𞸇𞸃𞸍 قيمة سالبة ومُعطى من خلال: 𞸃𞸇𞸃𞸍=٨٤/.ث٣

كما يمكننا اشتقاق التعبير الدال على الحجم 𞸇 بالنسبة إلى الزمن ضمنيًا باستخدام المشتقة الصريحة للحجم بالنسبة إلى ؈: 𞸃𞸇𞸃؈=٤𝜋؈٢ إذن: 𞸃𞸇𞸃𞸍=𞸃𞸇𞸃؈𞸃؈𞸃𞸍=٤𝜋؈𞸃؈𞸃𞸍.٢

بجعل 𞸃𞸇𞸃𞸍=٨٤، نحصل على: ٤𝜋؈𞸃؈𞸃𞸍=٨٤،٢ والذي يمكننا حله لإيجاد قيمة 𞸃؈𞸃𞸍 لنحصل على: 𞸃؈𞸃𞸍=٢١𝜋؈.٢

معدل التغير الذي نريد إيجاده هو معدل مساحة السطح 𞸃𞸌𞸃𞸍، وهو ما يمكننا حسابه ضمنيًا باستخدام المشتقة الصريحة لمساحة السطح 𞸌 بالنسبة إلى ؈: 𞸃𞸌𞸃؈=٨𝜋؈ إذن: 𞸃𞸌𞸃𞸍=𞸃𞸌𞸃؈𞸃؈𞸃𞸍=٨𝜋؈𞸃؈𞸃𞸍.

والتعويض عن 𞸃؈𞸃𞸍، نحصل على: 𞸃𞸌𞸃𞸍=٨𝜋؈󰃁٢١𝜋؈󰃀=٦٩؈.٢

وأخيرًا، التعويض بقيمة ؈=١٤، نجد أن: 𞸃𞸌𞸃𞸍=٦٩١٤/.ث٢

إذن، فإن معدل تغير مساحة سطح البالون عندما يكون نصف قطره ؈=١٤ هو ٦٩١٤ سم٢.

في المثال التالي، لنوجد معدل التغير في مساحة مستطيل يتمدد باستخدام المعدلات المرتبطة.

مثال ٣: إيجاد معدل التغير في مساحة مستطيل يتمدد باستخدام المعدلات المرتبطة

يزداد طول مستطيل بمعدل ١٥ سم/ث، ويزداد عرضه بمعدل ١٣ سم/ث. أوجد معدل زيادة مساحة المستطيل عندما يكون طوله ٢٥ سم وعرضه ١٢ سم.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغير مساحة مستطيل يتمدد، من حيث الطول والعرض، ومعدل تغير ثابت معلوم للطول والعرض، كما هو موضح في الشكل.

على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

افترض أن عرض المستطيل 𞹙 سم وطوله 𞸋 سم. وأن مساحة المستطيل، 𞸌 سم٢ معطاة من خلال: 𞸌=𞹙𞸋.

يمكن حساب معدل تغير المساحة بإيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق، 𞹙 و 𞸋. بتذكر أن قاعدة الضرب للاشتقاق تنص على أن (𞹙𞸋)=𞸋𞹙+𞹙𞸋، نحصل على: 𞸃𞸌𞸃𞸍=𞸃(𞹙𞸋)𞸃𞸍=𞸋𞸃𞹙𞸃𞸍+𞹙𞸃𞸋𞸃𞸍.

بما أن الطول والعرض يتزايدان، فإن معدل التغير سيكون موجبًا لكل منهما. افترض أن 𞸃𞸋𞸃𞸍=٥١/ث و 𞸃𞹙𞸃𞸍=٣١/ث لتحديد المعدل الذي تزداد به المساحة عندما 𞸋=٥٢ و 𞹙=٢١، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين لنوجد: 𞸃𞸌𞸃𞸍=(٥٢)(٣١)+(٢١)(٥١)=٥٠٥/.ث٢

بما أن معدل تغير المساحة، 𞸃𞸌𞸃𞸍، موجبًا، ويمكننا القول إن معدل التغير الذي تزداد به المساحة هو ٥٠٥ سم٢.

والآن، لنتناول مثالًا مختلفًا قليلًا؛ حيث تكون معادلة المنحنى علاقة ضمنية بين المتغيرات؛ بعبارة أخرى، معادلة المنحنى 𞸑 غير مُعطاة على صورة دالة في 𞸎 صراحةً.

مثال ٤: مسألة المعدلات المرتبطة عن جسيم يتحرك على طول منحنى معطى؛ حيث مطلوب إيجاد معدل تغير إحداثيه الصادي

يتحرك جسيم على المنحنى ٦𞸑+٢𞸎٢𞸎+٥𞸑٣١=٠٢٢. إذا كان معدَّل تغيُّر الإحداثي 𞸎 بالنسبة إلى الزمن عندما يمر بالنقطة (١،٣) هو ٢، فأوجد معدَّل تغيُّر الإحداثي 𞸑 بالنسبة إلى الزمن عند نفس النقطة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغير الإحداثي 𞸑 لجسيم يتحرك على طول منحنى، كما هو موضح بالشكل، عند اللحظة التي تكون نقطة محددة (𞸎،𞸑) ومعطى معدل تغير الإحداثي 𞸎 ثابتًا.

على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

من أجل إيجاد معدل تغير 𞸑، 𞸃𞸑𞸃𞸍، نبدأ باشتقاق معادلة المنحنى ضمنيًا بالنسبة إلى 𞸍. بعد ذلك، نعوض بمعدل تغير الإحداثي 𞸎، 𞸃𞸎𞸃𞸍=٢، عند النقطة حيث 𞸎=١ و 𞸑=٣.

إذا أخذنا مشتقة معادلة المنحنى بالنسبة إلى 𞸍، نجد أن: ٠=𞸃𞸃𞸍󰁓٦𞸑+٢𞸎٢𞸎+٥𞸑٣١󰁒=٢١𞸑𞸃𞸑𞸃𞸍+٤𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍٢𞸃𞸎𞸃𞸍+٥𞸃𞸑𞸃𞸍=(٢١𞸑+٥)𞸃𞸑𞸃𞸍+(٤𞸎٢)𞸃𞸎𞸃𞸍.٢٢

يمكننا الآن التعويض بالنقطة 𞸎=١ و 𞸑=٣ ومعدل تغير الإحداثي 𞸎، 𞸃𞸎𞸃𞸍=٢: ٠=(٢١×٣+٥)𞸃𞸑𞸃𞸍+(٤×١٢)×٢=١٤𞸃𞸑𞸃𞸍٢١.

ثم بإعادة الترتيب لإيجاد قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸍، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸍=٢١١٤.

إذن، معدل تغير الإحداثي 𞸑 هو ٢١١٤.

في المثال التالي، دعونا نوجد معدل التغير في طول ظل رجل الذي يتحرك مبتعدًا عن عمود إنارة.

مثال ٥: إيجاد معدل التغير في ظل رجل يتحرك مبتعدًا عن عمود إنارة باستخدام المعدلات المرتبطة

رجل طوله ١٫٨ متر يتحرَّك مبتعدًا عن عمود إضاءة في الشارع بسرعة ١٫٥ م/ث. إذا كان المصباح الموجود على قمة العمود يرتفع عن الأرض بمقدار ٥٫٥ م، فما معدل تغيُّر طول ظل الرجل؟ أوجد الإجابة لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغيُّر طول ظل رجل يتحرَّك مبتعدًا عن عمود إضاءة في الشارع بسرعة معينة، كما هو موضح في الشكل.

على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

لنجعل 𞸎م المسافة التي تبعد عن عمود الإضاءة على الأرض، 𞸑م طول الظل. لكي نوجد معدل تغيُّر طول ظل الرجل، 𞸃𞸑𞸃𞸍، علينا أولًا أن نوجد العلاقة بين هذا الطول، 𞸑، والمسافة من عمود الإضاءة، 𞸎. يمكننا فعل ذلك باستخدام مثلثات متشابهة، كما هو موضح بالشكل.

بما أن الزوايا في كلا المثلثين متطابقة، ستكون نسب أطوال أضلاع المثلث متساوية أيضًا. يمكننا استخدام ذلك للتعبير عن 𞸑 كدالة في المتغير 𞸎: ٥٫٥𞸎+𞸑=٨٫١𞸑٨٫١(𞸎+𞸑)=٥٫٥𞸑𞸑=٨١٧٣𞸎.

يمكننا إيجاد مشتقة هذا بالنسبة إلى 𞸍 لإيجاد العلاقة بين معدليهما المتناظرين على النحو الآتي: 𞸃𞸑𞸃𞸍=٨١٧٣𞸃𞸎𞸃𞸍.

والآن يمكننا التعويض بالمعدل المعطى، 𞸃𞸎𞸃𞸍=٥٫١/مث لإيجاد: 𞸃𞸑𞸃𞸍=٨١٧٣×٥٫١=٧٢٧٣.

وبذلك، يكون معدل تغير طول ظل الرجل لأقرب منزلة عشرية هو ٠٫٧ م/ث.

والآن، لنتناول مثالًا حيث علينا أن نوجد معدل تغير المسافة بين نقطة ثابتة ونقطة تتحرك على المنحنى، بمعدل معين.

مثال ٦: إيجاد معدل تغير المسافة بين نقطة ثابتة ونقطة تتحرك على منحنى دالة جذرية باستخدام المعدلات المرتبطة

تتحرَّك نقطة على منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٢٢. إذا كان الإحداثي 𞸎 يزيد بمعدل ٩󰋴٥١ سم/ث، فأوجد معدَّل تغيُّر المسافة بين هذه النقطة والنقطة (١،٠) عند 𞸎=٣.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغير المسافة بين نقطة معلومة ونقطة تتحرك على منحنى، كما هو موضح في الشكل، بمعدل وموضع معينين.

نلاحظ أن المسافة بين النقطتين (𞸎،𞸑)، (󰏡،𞸁) مُعطاة من خلال: 𞸐=󰋴(𞸎󰏡)+(𞸑𞸁).٢٢

لذلك إذا أخذنا الدالة 𞸑=󰎨(𞸎)، فإن المسافة بين النقطتين 󰂔𞸎،󰋴𞸎+٢󰂓٢، (١،٠)، يمكن التعبير عنها بالصيغة: 𞸐=󰋴(𞸎١)+(𞸎+٢)=󰋴٢𞸎٢𞸎+٣.٢٢٢

ومشتقة هذا التعبير بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸐𞸃𞸎=٤𞸎٢٢󰋴٢𞸎٢𞸎+٣.٢

والقيمة التي نريد إيجادها هي 𞸃𞸐𞸃𞸍، ولكن بما أن 𞸎 هي دالة في 𞸍 والصيغة لا تتضمن صراحة أي من متغيرات تحتوى على 𞸍، فسيكون علينا اشتقاق ذلك ضمنيًا باستخدام قاعدة السلسلة. تحديدًا، نحصل على: 𞸃𞸐𞸃𞸍=𞸃𞸐𞸃𞸎𞸃𞸎𞸃𞸍=󰃭٤𞸎٢٢󰋴٢𞸎٢𞸎+٣󰃬𞸃𞸎𞸃𞸍.٢

يمكننا الآن التعويض بالنقطة عند 𞸎=٣ ومعدل تغير الإحداثي 𞸎، 𞸃𞸎𞸃𞸍=٩󰋴٥١/ث: 𞸃𞸐𞸃𞸍=󰃭٤×٣٢٢󰋴٢×٣٢×٣+٣󰃬×٩󰋴٥١=٠١٢󰋴٥١×٩󰋴٥١=٥٤.٢

وعليه، نجد أن معدل تغير المسافة يساوي ٤٥ سم/ث.

في المثال التالي، سنحدد مدى سرعة تغير المساحة في مثلث ذي زاوية تتزايد وضلعين ثابتي الطول.

مثال ٧: مسألة معدلات مرتبطة عن مثلث له ضلعان ثابتي الطول بينما يزداد قياس الزاوية المحصورة بمعدل معلوم

 مثلث فيه الضلعان 󰏡، 𞸁 والزاوية المحصورة بينهما 𝜃 ومساحته 𞸌=١٢󰏡𞸁𝜃. افترِض أن 󰏡=٤، 𞸁=٥ والزاوية 𝜃 تتزايد بمعدَّل ٠٫٦ راديان/ث. ما مدى سرعة تغيُّر المساحة عندما تكون 𝜃=𝜋٣؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغير مساحة مثلث عندما يكون للزاوية قيمة معينة. الزاوية المحصورة 𝜃 تتزايد في مثلث حيث يكون طولا ضلعين من أضلاعه ثابتين، كما هو موضح في الشكل.

يمكن التعبير عن مساحة المثلث بمعلومية ضلعيه، 󰏡=٤، 𞸁=٥، بدلالة الزاوية 𝜃 على الصورة: 𞸌=١٢×٤×٥𝜃=٠١𝜃.

والقيمة التي نريد إيجادها هي 𞸃𞸌𞸃𞸍 عند 𝜃=𝜋٣رادن بمعلومية أن 𞸃𝜃𞸃𞸍=٦٫٠/رادنث. يمكننا اشتقاق التعبير الدال على المساحة ضمنيًا بالنسبة إلى 𞸍 لإيجاد: 𞸃𞸌𞸃𞸍=𞸃𞸌𞸃𝜃𞸃𝜃𞸃𞸍.

يمكننا إيجاد مشتقة 𞸌 صراحةً بالنسبة إلى 𝜃 على الصورة: 𞸃𞸌𞸃𝜃=٠١𝜃 إذن: 𞸃𞸌𞸃𞸍=٠١𝜃𞸃𝜃𞸃𞸍.

يمكننا الآن التعويض بالزاوية 𝜃=𝜋٣ ومعدل تغير الزاوية 𞸃𝜃𞸃𞸍=٦٫٠ لإيجاد: 𞸃𞸌𞸃𞸍=٠١󰂔𝜋٣󰂓×٦٫٠=٣.

ومن ثم، تتزايد المساحة بمعدل ٣ سم٢.

افترض معدل تغير كمية معينة، 𞹎=𞹎(𞸍)، ثابت، والذي نرمز له بحرف ̇𞹎، حيث: ̇𞹎=𞸃𞹎𞸃𞸍=.

وبما أننا نعلم أن إشارة المشتقة يمكن أن تشير إلى ما إذا كان معدل تغير كمية معينة تزايدي أو تناقصي بتغير الزمن، وفقًا لما إذا كانت موجبة أم سالبة، على الترتيب، فإن هذا يعني أن الكمية 𞹎 تكتسب (̇𞹎>٠) أو تفقد (̇𞹎<٠) بمقدار |̇𞹎| بعد كل وحدة زمن. وبالمثل، فإن الاكتساب الكلي هو ̇𞹎𞸍 عند الزمن 𞸍. إذا كانت القيمة الابتدائية للكمية هي 𞹎=𞹎(٠)٠، فستكون الكمية بعد الزمن 𞸍 مُعطاة من خلال: 𞹎(𞸍)=𞹎+̇𞹎𞸍.٠

وهذا يحقق بوضوح معدل التغير، الذي يمكن التحقق منه عند اشتقاق هذا التعبير بالنسبة إلى 𞸍.

وأخيرًا، سنتناول مثالًا حيث يمكننا استخدام هذه المعطيات ومعرفة معدل تغير كمية ما لحل معادلة تفاضلية وتحديد مدى التغير في كمية معينة بعد فترة زمنية معلومة.

مثال ٨:  إيجاد القيمة النهائية لكمية بمعلومية قيمتها الأولية ومعدل تغير ثابت

إذا كان معدل استهلاك الوقود لصاروخ كتلته ٢٦ طنًّا متريًّا ثابتًا ويساوي ٨٠ كجم/ث، فأوجد كتلة الصاروخ بعد ٢٥ ثانية من الإقلاع.

الحل

في هذا المثال، يستهلك صاروخ الوقود بمعدل ثابت كما هو موضح في الشكل.

لكي نوجد القيمة النهائية لكتلة الصاروخ، 𞸌، في زمن معين 𞸍، فسيكون علينا أن نحدد أولًا كتلة الصاروخ عند أي زمن 𞸍. على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

تساوي كتلة الصاروخ الابتدائية ٢٦ طنًّا متريًّا. وبما أن طنًّا متريًّا واحدًا يساوي ١‎ ‎٠٠٠ كجم، فإن هذه القيمة تكافئ ٢٦‎ ‎٠٠٠ كجم.

وبما أن كتلة الصاروخ تنخفض بتغير الزمن بينما يحرق الصاروخ الوقود، بمعدل ثابت يساوي ٨٠ كجم/ث سيكون معدل التغير في الكتلة سالبًا ومعطى من خلال: 𞸃𞸌𞸃𞸍=٠٨/.ث

وبما أن هذا معدل ثابت للكمية 𞸌، يمكننا التعبير عن هذه الكمية بعد م الزمن 𞸍 بقيمة ابتدائية 𞸌=𞸌(٠)٠: 𞸌(𞸍)=𞸌+󰃁𞸃𞸌𞸃𞸍󰃀𞸍.٠

بالتعويض بالمعدل المعلوم والقيمة الابتدائية 𞸌=٠٠٠٦٢٠ نحصل على: 𞸌(𞸍)=٠٠٠٦٢٠٨𞸍.

وهذا أمر بديهي حيث إن الصاروخ يفقد ٨٠ كجم بعد مرور كل ثانية وهو ما يحقق معدل التغير، الذي يمكن التحقق منه عند اشتقاق هذا التعبير بالنسبة إلى 𞸍. عند 𞸍=٥٢ث، ستساوي كتلة الصاروخ: 𞸌(٥٢)=٠٠٠٦٢٠٨×٥٢=٠٠٠٤٢.

إذن، كتلة الصاروخ بعد ٢٥ ثانية من الإقلاع تساوي ٢٤ طنًّا متريًّا.

النقاط الرئيسية

  • إذا كانت هناك كميتان مرتبطتان أو أكثر، فسيكون معدلي تغيرهما مرتبطان أيضًا. يتيح لنا هذا إيجاد معدلات التغير المجهولة باستخدام المعرفة بالمعدلات المرتبطة.
  • إن مسائل المعدلات المرتبطة هي أحد تطبيقات الاشتقاق الضمني باستخدام قاعدتي السلسلة وحاصل الضرب.
  • تخبرنا إشارة معدل معين لكمية أن الكمية تتناقص (<٠) أو تتزايد (>٠) بتغير الزمن.

Télécharger l’application Nagwa Classes

Assistez à des séances, chattez avec votre enseignant ainsi que votre classe et accédez à des questions spécifiques à la classe. Téléchargez l’application Nagwa Classes dès aujourd’hui !

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité