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Fiche explicative de la leçon : Taux de variation liés Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les dérivées pour déterminer la relation entre les taux de variation de deux quantités ou plus dans des problèmes de taux de variations liés.

Le taux de variation de quantités qui varient au fil du temps, telles que le déplacement ou le vecteur vitesse, peut être calculé en utilisant des dérivées. Si deux quantités liées varient avec le temps, alors leurs taux de variation, et donc leurs dérivées, sont également liés.

On considère un ballon sphérique que l’on gonfle avec de l’air;le rayon et le volume du ballon augmentant tous les deux avec le temps. Le volume d’une sphère est proportionnel au cube du rayon;par conséquent, le taux de variation du volume et le taux de variation du rayon sont également liés.

Le signe de la dérivée peut également indiquer si une quantité donnée augmente ou diminue au cours du temps, selon qu’elle est respectivement positive ou négative.

Ces problèmes peuvent être résolus par l’application de la différenciation implicite et sont utiles lorsque l’on souhaite déterminer le taux de variation inconnu d’une certaine quantité, en le reliant aux taux de variations connus d’autres quantités.

La différenciation implicite utilise la formule de la dérivée d’une composée et permet de déterminer la dérivée d’une certaine quantité par rapport au temps en utilisant des fonctions implicites, car on ne connaît généralement pas la relation explicite entre cette quantité et le temps quand on traite des situations impliquant des taux de variation liés.

Pour ces problèmes, il peut être utile de commencer par étudier comment appliquer le processus dans l’exemple spécifique du volume d’un cube.

Exemple 1: Déterminer une expression qui représente le taux de variation du volume d’un cube en utilisant les taux de variation liés

Si 𝑉 est le volume d’un cube de longueur d’arête 𝑥 et que le cube se dilate au fil du temps, donnez une expression de dd𝑉𝑡.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver une expression algébrique du taux de variation du volume exprimé en fonction du taux de variation de la longueur d’arête du cube. On visualise le problème avec un schéma simple qui montre un cube en expansion.

Le volume, en unités cubiques, d’un cube de longueur d’arête 𝑥 est donné par 𝑉=𝑥. On commence par trouver une expression de la dérivée de 𝑉 par rapport à la variable 𝑥:dd𝑉𝑥=3𝑥=3𝑥.

On calcule ensuite le taux de variation du volume par rapport au temps, dd𝑉𝑡, en utilisant la différenciation implicite.

L’expression de ce taux de variation est dddddddd𝑉𝑡=𝑉𝑥𝑥𝑡=3𝑥𝑥𝑡.

Nous pouvons formaliser ce processus dans la définition suivante lorsque deux variables 𝑥 et 𝑦 sont liées par une fonction donnée.

Définition : Taux de variation lié pour 𝑦 = 𝑓 (𝑥)

Si deux variables 𝑥 et 𝑦 liées par la fonction 𝑦=𝑓(𝑥) évoluent toutes les deux avec le temps, ces variables peuvent également être exprimées comme une fonction de 𝑡, 𝑥(𝑡) et 𝑦(𝑡), pour souligner leur dépendance au temps. On peut exprimer le taux de variation de 𝑦 en fonction du taux de variation de 𝑥 en utilisant la différenciation implicite et la formule de la dérivée d’une composée comme suit dddddddd𝑦𝑡=𝑦𝑥𝑥𝑡=𝑓(𝑥)𝑥𝑡.

On considère un exemple dans lequel un objet se déplace le long d’une trajectoire parabolique décrite par 𝑦=𝑥+2, comme indiqué sur le schéma suivant.

Si on sait qu’à un instant donné 𝑡=5s, l’abscisse 𝑥 est 𝑥=4cm et que le taux auquel l’abscisse 𝑥 varie est ddcms𝑥𝑡=3/, alors on peut également déterminer le taux auquel l’ordonnée 𝑦 varie, dd𝑦𝑡, à cet instant précis. D’après la définition des taux de variation liés, on sait que dddddd𝑦𝑡=𝑦𝑥𝑥𝑡.

On peut trouver la dérivée explicite de 𝑦 par rapport à 𝑥 comme dd𝑦𝑥=2𝑥; par conséquent, dddd𝑦𝑡=2𝑥𝑥𝑡.

On souhaite évaluer le taux de variation de dd𝑦𝑡 quand 𝑡=5s et à cet instant, on sait que 𝑥=4cm et ddcms𝑥𝑡=3/, donc ddcms𝑦𝑡=2(4)(3)=24/.

On considère ensuite un exemple dans lequel un cercle de rayon 𝑟(𝑡) augmente avec le temps 𝑡. On peut visualiser ce problème avec un schéma simple qui montre un cercle en expansion.

S’il est indiqué que le taux de variation 𝜆=𝑟𝑡dd est connu et constant, alors on peut l’utiliser pour déterminer le taux de variation de l’aire du cercle. L’aire à tout instant est donnée par 𝐴(𝑡)=𝜋(𝑟(𝑡)); par conséquent, dd𝐴𝑟=2𝜋𝑟.

La quantité que l’on souhaite trouver est dd𝐴𝑡, mais comme le rayon est une fonction de 𝑡 et la formule ne contient explicitement aucune variable 𝑡, on doit la dériver implicitement en utilisant la formule de la dérivée d’une composée. En particulier, dddddd𝐴𝑡=𝐴𝑟𝑟𝑡=2𝜋𝑟𝜆.

On revient maintenant à l’exemple d’un ballon sphérique gonflé à l’air, comme le montre la figure suivante.

On suppose que le ballon est gonflé à une vitesse constante de 2 cm3/s et on souhaite savoir à quelle vitesse le rayon 𝑟(𝑡) augmente à l’instant où 𝑟=3cm. Lorsque le ballon se gonfle, le rayon et le volume augmentent avec le temps;par conséquent, leurs taux de variation sont positifs. Comme le ballon est sphérique, on sait que le volume est donné par 𝑉(𝑡)=43𝜋(𝑟(𝑡)); par conséquent, dd𝑉𝑟=4𝜋𝑟.

On peut dériver implicitement le volume 𝑉 par rapport au temps:dddddddd𝑉𝑡=𝑉𝑟𝑟𝑡=4𝜋𝑟𝑟𝑡.

Comme le volume augmente avec un taux de variation constant de 2 cm3/s, on a dd𝑉𝑡=2; par conséquent, 2=4𝜋𝑟𝑟𝑡,dd que l’on peut réorganiser pour trouver dd𝑟𝑡=12𝜋𝑟.

On souhaite enfin trouver le taux de variation du rayon lorsque 𝑟=3cm, on peut le substituer dans l’expression de la dérivée pour trouver ddcms𝑟𝑡=12𝜋(3)=118𝜋/.

Il est important de définir complètement toutes les expressions;une idée fausse classique est de confondre variables et constantes. Les problèmes de taux de variation liés impliquent généralement plusieurs expressions;certaines représentent des quantités, tandis que d’autres représentent des taux de variation;certaines sont variables et changent au fil du temps, tandis que d’autres sont constantes.

Nous allons maintenant examiner quelques exemples pour mettre en pratique et approfondir notre compréhension des types de problèmes impliquant des taux de variation liés. Ces exemples ont une expression explicite de la relation entre la quantité à calculer et d’autres quantités.

Exemple 2: Déterminer le taux de variation de l’aire d’une sphère se rétrécissant en fonction du taux de variation de son volume en utilisant des taux de variation liés

Un ballon sphérique fuit de l’hélium à une vitesse de 48 cm3/s. Quel est le taux de variation de son aire lorsque son rayon vaut 41 cm?

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer le taux de variation de l’aire du ballon à l’instant d’un rayon particulier sachant que le volume a un taux de variation constant. Bien que la solution soit initialement algébrique, la réponse finale sera numérique après substitution des valeurs données.

Le volume 𝑉 et l’aire 𝐴 d’une sphère de rayon 𝑟 sont donnés par 𝑉=43𝜋𝑟,𝐴=4𝜋𝑟.

Comme le ballon fuit de l’hélium, son volume diminue avec le temps, ce que l’on peut visualiser à l’aide d’un schéma.

Cela signifie que le taux de variation du volume dd𝑉𝑡 est négatif et donné par ddcms𝑉𝑡=48/.

On peut aussi dériver implicitement l’expression du volume 𝑉 par rapport au temps en utilisant la dérivée explicite du volume par rapport à 𝑟:dd𝑉𝑟=4𝜋𝑟; par conséquent, dddddddd𝑉𝑡=𝑉𝑟𝑟𝑡=4𝜋𝑟𝑟𝑡.

En définissant dd𝑉𝑡=48, on a 4𝜋𝑟𝑟𝑡=48,dd qui permet de déterminer dd𝑟𝑡 pour obtenir dd𝑟𝑡=12𝜋𝑟.

Le taux de variation que l’on souhaite trouver est celui de l’aire dd𝐴𝑡, que l’on peut calculer implicitement en utilisant la dérivée explicite de l’aire 𝐴 par rapport à 𝑟:dd𝐴𝑟=8𝜋𝑟; par conséquent, dddddddd𝐴𝑡=𝐴𝑟𝑟𝑡=8𝜋𝑟𝑟𝑡.

En substituant dd𝑟𝑡, on obtient dd𝐴𝑡=8𝜋𝑟12𝜋𝑟=96𝑟.

Enfin, en substituant la valeur 𝑟=41cm, on trouve ddcms𝐴𝑡=9641/.

Par conséquent, le taux de variation de l’aire du ballon lorsque son rayon 𝑟=41cm est 9641/cms.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le taux de variation de l’aire d’un rectangle en expansion en utilisant des taux de variation liés.

Exemple 3: Déterminer le taux de variation de l’aire d’un rectangle en expansion à l’aide de taux de variation liés

La longueur d’un rectangle augmente à une vitesse de 15 cm/s et sa largeur à une vitesse de 13 cm/s. Déterminez la vitesse à laquelle l’aire du rectangle augmente lorsque la longueur du rectangle est 25 cm et sa largeur est 12 cm.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer le taux de variation de l’aire d’un rectangle en expansion, à l’instant d’une longueur et d’une largeur données sachant que la longueur et la largeur ont un taux de variation constant connu, comme indiqué sur le schéma.

Bien que la solution soit initialement algébrique, la réponse finale sera numérique après substitution des valeurs données.

Soient 𝑙cm la largeur du rectangle et 𝐿cm sa longueur. L’aire du rectangle 𝐴cm est donnée par 𝐴=𝑙𝐿.

Le taux de variation de l’aire peut être calculé en déterminant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables, 𝑙 et 𝐿. En rappelant que la règle de la dérivée d’un produit stipule que (𝑙𝐿)=𝐿𝑙+𝑙𝐿, on obtient dddddddd𝐴𝑡=(𝑙𝐿)𝑡=𝐿𝑙𝑡+𝑙𝐿𝑡.

Comme la longueur et la largeur augmentent toutes les deux, le taux de variation est positif pour les deux. On a ddcms𝐿𝑡=15/ et ddcms𝑙𝑡=13/;pour déterminer la vitesse à laquelle l’aire augmente quand 𝐿=25cm et 𝑙=12cm, on peut substituer ces valeurs pour trouver ddcms𝐴𝑡=(25)(13)+(12)(15)=505/.

Comme le taux de variation de l’aire dd𝐴𝑡 est positif, on peut dire que le taux de variation avec lequel l’aire augmente est 505/cms.

Étudions maintenant un exemple légèrement différent;ici, l’équation de la courbe est une relation implicite entre les variables, c’est-à-dire que l’équation de la courbe 𝑦 n’est pas purement donnée en fonction de 𝑥.

Exemple 4: Problème de taux de variation liés pour une particule se déplaçant le long d’une courbe donnée où il est nécessaire de déterminer le taux de variation de son ordonnée

Une particule se déplace le long de la courbe 6𝑦+2𝑥2𝑥+5𝑦13=0. Si le taux de variation de son abscisse 𝑥 par rapport au temps quand elle passe par le point (1;3) est 2, déterminez le taux de variation de son ordonnée 𝑦 par rapport au temps au même point.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer le taux de variation de l’ordonnée 𝑦 d’une particule qui se déplace le long d’une courbe à l’instant d’un point particulier (𝑥;𝑦) en sachant que l’abscisse 𝑥 a un taux de variation constant, comme le montre la figure.

Bien que la solution soit initialement algébrique, la réponse finale sera numérique après substitution des valeurs données.

Afin de déterminer le taux de variation de 𝑦, dd𝑦𝑡, on commence par dériver implicitement l’équation de la courbe par rapport à 𝑡. On substitue ensuite le taux de variation de l’abscisse 𝑥, dd𝑥𝑡=2, au point où 𝑥=1 et 𝑦=3.

Si on dérive l’équation de la courbe par rapport à 𝑡, on trouve 0=𝑡6𝑦+2𝑥2𝑥+5𝑦13=12𝑦𝑦𝑡+4𝑥𝑥𝑡2𝑥𝑡+5𝑦𝑡=(12𝑦+5)𝑦𝑡+(4𝑥2)𝑥𝑡.dddddddddddddd

On peut maintenant substituer le point 𝑥=1, 𝑦=3 et le taux de variation de l’abscisse 𝑥, dd𝑥𝑡=2:0=(12×3+5)𝑦𝑡+(4×12)×2=41𝑦𝑡12.dddd

Puis, en réarrangeant pour isoler dd𝑦𝑡, on a dd𝑦𝑡=1241.

Le taux de variation de l’ordonnée 𝑦 est par conséquent 1241.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le taux de variation de la longueur de l’ombre d’un homme s’éloignant d’un lampadaire.

Exemple 5: Déterminer le taux de variation de la longueur de l’ombre d’un homme s’éloignant d’un lampadaire en utilisant des taux de variation liés

Un homme de 1,8 mètres s’éloigne d’un lampadaire à une vitesse de 1,5 m/s. Sachant que la hauteur du lampadaire est de 5,5 m, quel est le taux de variation de la longueur de l’ombre de l’homme?Donnez votre réponse au dixième près.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer le taux de variation de la longueur de l’ombre d’un homme qui s’éloigne d’un lampadaire à une vitesse donnée, comme indiqué sur le schéma.

Bien que la solution soit initialement algébrique, la réponse finale sera numérique après substitution des valeurs données.

Soient 𝑥m la distance de l’homme au lampadaire au sol et 𝑦m la longueur de l’ombre. Afin de déterminer le taux de variation de la longueur de l’ombre de l’homme, dd𝑦𝑡, on trouve d’abord une relation entre cette longueur 𝑦 et la distance au lampadaire 𝑥. On peut le faire en utilisant des triangles semblables, comme indiqué sur la figure.

Comme les angles des deux triangles sont identiques, les rapports des longueurs des côtés du triangle sont également égaux. On peut utiliser cela pour exprimer 𝑦 en fonction de 𝑥:5,5𝑥+𝑦=1,8𝑦1,8(𝑥+𝑦)=5,5𝑦𝑦=1837𝑥.

On peut dériver par rapport à 𝑡 pour déterminer la relation entre leurs taux de variation respectifs dddd𝑦𝑡=1837𝑥𝑡.

Maintenant, on peut substituer le taux de variation donné, ddms𝑥𝑡=1,5/, pour trouver dd𝑦𝑡=1837×1,5=2737.

Par conséquent, le taux de variation de la longueur de l’ombre de l’homme au dixième près est 0,7 m/s.

Nous étudions maintenant un exemple dans lequel nous devons déterminer le taux de variation de la distance entre un point fixe et un point se déplaçant sur une courbe à une vitesse particulière.

Exemple 6: Déterminer le taux de variation de la distance entre un point fixe et un point se déplaçant sur la courbe d’une fonction racine en utilisant les taux de variation liés

Un point se déplace sur la courbe de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥+2. Si son abscisse 𝑥 augmente à une vitesse de 915/cms, déterminez le taux de variation de la distance entre ce point et le point (1;0) en 𝑥=3.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer le taux de variation de la distance entre un point donné et un point se déplaçant sur une courbe à un taux de variation et en une position particuliers, comme indiqué sur le schéma.

On note que la distance entre deux points (𝑥;𝑦) et (𝑎;𝑏) est donnée par 𝐷=(𝑥𝑎)+(𝑦𝑏).

Par conséquent, si on prend la fonction 𝑦=𝑓(𝑥), la distance entre les points 𝑥;𝑥+2 et (1;0) peut être exprimée par 𝐷=(𝑥1)+(𝑥+2)=2𝑥2𝑥+3.

La dérivée de cette expression par rapport à 𝑥 est dd𝐷𝑥=4𝑥222𝑥2𝑥+3.

La quantité que l’on recherche est dd𝐷𝑡, mais comme 𝑥 est une fonction de 𝑡 et que la formule ne contient aucune variable 𝑡 explicite, on doit la dériver implicitement en utilisant la formule de la dérivée d’une composée. En particulier, on a dddddddd𝐷𝑡=𝐷𝑥𝑥𝑡=4𝑥222𝑥2𝑥+3𝑥𝑡.

On peut maintenant substituer le point 𝑥=3 et le taux de variation de l’abscisse 𝑥, ddcms𝑥𝑡=915/:dd𝐷𝑡=4×3222×32×3+3×915=10215×915=45.

Par conséquent, le taux de variation de la distance est donné par 45 cm/s.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la vitesse à laquelle l’aire d’un triangle avec un angle croissant et deux côtés de longueur constante varie.

Exemple 7: Problème de taux de variations liés pour un triangle avec deux côtés de longueur constante et l’angle interne augmentant à une vitesse donnée

Un triangle de côtés 𝑎 et 𝑏 et d’angle interne 𝜃 a une aire de 𝐴=12𝑎𝑏𝜃sin. On suppose que 𝑎=4, 𝑏=5 et que l’angle 𝜃 augmente à une vitesse de 0,6 rad/s. À quelle vitesse l’aire varie-t-elle lorsque 𝜃=𝜋3?

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer le taux de variation de l’aire d’un triangle à l’instant où l’angle est égal à une valeur donnée. L’angle interne 𝜃 augmente pour un triangle où deux des côtés sont de longueurs fixes, comme le montre la figure.

L’aire du triangle avec les côtés 𝑎=4 et 𝑏=5 peut être exprimée en fonction de 𝜃 comme 𝐴=12×4×5𝜃=10𝜃.sinsin

La quantité que l’on souhaite trouver est dd𝐴𝑡 quand 𝜃=𝜋3rad, sachant que ddrads𝜃𝑡=0,6/. On peut dériver implicitement l’expression de l’aire par rapport à 𝑡 pour trouver dddddd𝐴𝑡=𝐴𝜃𝜃𝑡.

On peut trouver la dérivée explicite de 𝐴 par rapport à 𝜃 par ddcos𝐴𝜃=10𝜃; par conséquent, ddcosdd𝐴𝑡=10𝜃𝜃𝑡.

On peut maintenant substituer l’angle 𝜃=𝜋3 et le taux de variation de l’angle dd𝜃𝑡=0,6 pour trouver ddcos𝐴𝑡=10𝜋3×0,6=3.

Par conséquent, l’aire augmente à une vitesse de 3 cm2/s.

On suppose que le taux de variation d’une quantité donnée 𝑋=𝑋(𝑡) est constant, que l’on note ̇𝑋, ̇𝑋=𝑋𝑡=.ddconstante

Comme on sait que le signe de la dérivée peut indiquer si une quantité donnée augmente ou diminue avec le temps selon qu’elle est respectivement positive ou négative, cela signifie que la quantité 𝑋 augmente ̇𝑋>0 ou diminue ̇𝑋<0 du montant ||̇𝑋|| à chaque unité de temps. De manière équivalente, l’augmentation nette est ̇𝑋𝑡 à l’instant 𝑡. Si la valeur initiale de la quantité est 𝑋=𝑋(0), alors la quantité après un temps de 𝑡 est donnée par 𝑋(𝑡)=𝑋+̇𝑋𝑡.

Cela vérifie clairement le taux de variation, ce qui peut être vérifié en dérivant cette expression par rapport à 𝑡.

Nous allons terminer par étudier un exemple où nous pouvons utiliser cela et la connaissance d’un taux de variation particulier d’une quantité pour résoudre une équation différentielle et pour déterminer de combien une quantité particulière a varié après une période donnée.

Exemple 8: Déterminer la valeur d’une quantité à partir de sa valeur initiale et de son taux de variation constant

Sachant qu’une fusée de masse 26 tonnes brûle du carburant à une vitesse constante de 80 kg/s, déterminez la masse de la fusée 25 secondes après le décollage.

Réponse

Dans cet exemple, une fusée expulse du carburant avec un taux de variation constant comme indiqué sur le schéma.

Afin de déterminer la valeur de la masse 𝑀 de la fusée à un instant donné 𝑡, on va d’abord déterminer la masse de la fusée à tout instant 𝑡. Bien que la solution soit initialement algébrique, la réponse finale sera numérique après substitution des valeurs données.

La masse initiale de la fusée est de 26 tonnes. Comme 1 tonne est égale à 10‎ ‎000 kg, elle est équivalente à 26‎ ‎000 kg.

Comme la masse de la fusée diminue au fil du temps à mesure que la fusée brûle du carburant avec un taux de variation constant de 80 kg/s, le taux de variation de la masse est négatif et donné par ddkgs𝑀𝑡=80/.

Puisqu’il s’agit d’un taux de variation constant de la quantité 𝑀, on peut exprimer cette quantité après un certain temps 𝑡 dont la valeur initiale est 𝑀=𝑀(0) par:𝑀(𝑡)=𝑀+𝑀𝑡𝑡.dd

En substituant le taux donné et la valeur initiale 𝑀=26000kg, on obtient 𝑀(𝑡)=2600080𝑡.

Cela est intuitif car la fusée perd 80 kg chaque seconde et cela satisfait clairement le taux de variation, ce qui peut être vérifié en dérivant cette expression par rapport à 𝑡. Quand 𝑡=25s, la masse de la fusée est 𝑀(25)=2600080×25=24000.kg

Par conséquent, la masse de la fusée 25 secondes après le décollage est 24 tonnes.

Points clés

  • Si deux quantités ou plus sont liées, alors leurs taux de variation sont également liés. Cela permet de trouver des taux de variation inconnus en utilisant des connaissances sur les taux de variation liés.
  • Les problèmes de taux de variation liés sont une application de la différenciation implicite par les formules de la dérivée d’une composée et d’un produit.
  • Le signe d’un taux de variation particulier d’une quantité indique que la quantité diminue (<0) ou augmente (>0) au fil du temps.

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