Transcription de la vidéo
Sachant que 𝑥 égale deux moins 𝑖 et 𝑦 égale deux plus 𝑖, calculez 𝑥 au carré moins 𝑥𝑦 plus 𝑦 au carré.
Dans la question, on nous donne deux nombres complexes. 𝑥 égale deux moins 𝑖. La partie réelle de 𝑥 est deux. Sa partie imaginaire est moins un. Il s'agit du coefficient de 𝑖. 𝑦 égale deux plus 𝑖. Cette fois-ci, la partie réelle est deux. Sa partie imaginaire est un. Cela signifie que 𝑥 et 𝑦 sont des conjugués complexes l'un de l'autre.
Nous savons que pour trouver le conjugué d'un nombre complexe, souvent noté par une barre ou une étoile, il suffit de changer le signe de la partie imaginaire. Il existe d'ailleurs quelques propriétés intéressantes des nombres complexes et leurs conjugués. En particulier, le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est un nombre réel. Cela signifie que nous devons nous attendre à ce que 𝑥 fois 𝑦 nous donne un nombre réel. Substituons 𝑥 et 𝑦 dans l'expression 𝑥 au carré moins 𝑥𝑦 plus 𝑦 au carré. Nous avons deux moins 𝑖 au carré moins deux moins 𝑖 fois deux plus 𝑖 plus deux plus 𝑖 au carré.
Nous allons ensuite développer chaque paire de parenthèses. Avant cela, il est préférable d'écrire deux moins 𝑖 le tout au carré sous la forme deux moins 𝑖 fois deux moins 𝑖 et, de même, deux plus 𝑖 au carré sous la forme deux plus 𝑖 fois deux plus 𝑖. Ensuite, nous pouvons utiliser n'importe quelle méthode pour développer cette expression. Je vais utiliser la méthode de la double distributivité.
Nous multiplions le premier terme de chaque binôme. Deux fois deux nous donne quatre. Nous multiplions ensuite les termes extérieurs. Deux fois moins 𝑖 donne moins deux 𝑖. Ensuite, nous multiplions les termes intermédiaires. Deux fois moins 𝑖 donne moins deux 𝑖. Puis, nous multiplions les derniers termes. Moins 𝑖 fois moins 𝑖 donne 𝑖 au carré.
Nous allons maintenant répéter l'opération avec les prochaines parenthèses. N'oubliez pas, puisque nous allons soustraire l'expression résultante, nous devons garder les parenthèses pour l'instant. Deux fois deux nous donne quatre. Deux fois 𝑖 nous donne deux 𝑖. Moins 𝑖 fois deux nous donne moins deux 𝑖. Moins 𝑖 fois 𝑖 nous donne moins 𝑖 au carré.
Nous répétons ce processus pour la dernière paire de parenthèses. Cette fois, nous allons ajouter l'expression résultante. Il n'est donc pas nécessaire d'ajouter une deuxième paire de parenthèses. Simplifions tout cela. Moins deux 𝑖 moins deux 𝑖 plus quatre 𝑖 donne zéro. Nous savons aussi que 𝑖 au carré vaut moins un. Ainsi, nous avons moins un ici, moins un ici et moins un ici.
Nous devons aussi remarquer que deux 𝑖 moins deux 𝑖 donne zéro. Ainsi, nous nous retrouvons avec quatre moins moins un ici. Rappelez-vous, nous nous attendions à ce que 𝑥𝑦 soit un nombre réel puisqu'il s'agit du produit d'un nombre complexe et de son conjugué. Notre résultat est donc quatre moins un moins quatre moins moins un plus quatre moins un, ce qui se simplifie en trois moins cinq plus trois, ce qui est simplement un.
Ainsi, 𝑥 au carré moins 𝑥𝑦 plus 𝑦 au carré vaut un.
