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Fiche explicative de la leçon : Conjugués des nombres complexes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des nombres conjugués pour évaluer une expression.

Un concept important lié aux nombres complexes est la notion de conjugué d’un nombre complexe. La notion de conjugué ne peut pas être une nouveauté pour le lecteur. Lorsque l’on apprend à manipuler et à simplifier les radicaux, on peut être initié aux conjugués. Pour une expression avec la racine carrée 𝑎+𝑏𝑐 , le conjugué est défini par 𝑎𝑏𝑐. Le conjugué d’un nombre complexe est en fait un cas particulier où 𝑐 est un nombre négatif.

Définition : Conjugué d’un nombre complexe

Pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 , son conjugué, 𝑧 , est défini par 𝑧=𝑎𝑏𝑖. Le conjugué est parfois noté 𝑧.

Par simple examen de la définition, on peut voir que pour tout nombre complexe 𝑧 , le conjugué du conjugué est égal à 𝑧;c’est-à-dire 𝑧=𝑧.

Commençons par un exemple où l'on va trouver le conjugué d'un nombre complexe donné.

Exemple 1: Conjugué d’un nombre complexe

Quel est le conjugué du nombre complexe 27𝑖?

Réponse

On rappelle que le conjugué de 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est 𝑧=𝑎𝑏𝑖. Pour le nombre complexe donné, 𝑎=2 et 𝑏=7 (attention à ne pas oublier le signe négatif). Par conséquent, le conjugué est égal à 2(7)𝑖 que l’on peut simplifier par 2+7𝑖.

Dans l'exemple précédent, nous avons trouvé le conjugué d'un nombre complexe. Rappelez-vous qu'un nombre réel est un cas particulier d'un nombre complexe. Dans l'exemple suivant, nous considérerons le conjugué d'un nombre réel.

Exemple 2: Conjugué d’un nombre réel

Si 𝑧 est un nombre réel, quel est son conjugué?

Réponse

La définition du conjugué de 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est 𝑧=𝑎𝑏𝑖. Si 𝑧 est un nombre réel pur, on sait que 𝑏=0. Ainsi, on conclut que si 𝑧 est un nombre réel, 𝑧=𝑧.

Par conséquent, si 𝑧 est un nombre réel, son conjugué complexe est le même que le nombre original.

De même, on pourrait se poser cette question:quel est le conjugué complexe d'un nombre purement imaginaire 𝑧?En utilisant la définition du conjugué complexe, en notant que nous avons 𝑎=0, nous trouvons que, pour un nombre purement imaginaire, 𝑧=𝑧.

Dans l'exemple suivant, nous considérerons la somme d'un nombre complexe avec son conjugué.

Exemple 3: Somme d’un nombre et de son conjugué

Déterminez le conjugué de 7𝑖 et la somme de ce nombre avec son conjugué.

Réponse

Le conjugué de 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est égal à 𝑧=𝑎𝑏𝑖. Ainsi, pour le nombre donné, on a 𝑎=7 et 𝑏=1. Le conjugué est donc 7+𝑖.

On peut maintenant additionner ces deux nombres et on obtient 7𝑖+7+𝑖=14.

On note que la somme de ce nombre avec son conjugué est un nombre réel. Cela n’est pas une coïncidence:pour tout nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 , on a 𝑧+𝑧=𝑎+𝑏𝑖+𝑎𝑏𝑖=2𝑎.

On peut aussi l’écrire comme 𝑧+𝑧=2(𝑧)Re.

On pourrait également se demander quel est le résultat quand on fait la différence d’un nombre et de son conjugué. De la même manière, on peut écrire 𝑧𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎𝑏𝑖)=2𝑏𝑖, que l’on peut également exprimer comme 𝑧𝑧=2𝑖(𝑧)Im.

Nous allons maintenant nous pencher sur un exemple dans lequel nous étudions la différence d’un nombre avec son conjugué.

Exemple 4: Résoudre des équations impliquant des conjugués

Déterminez le nombre complexe 𝑧 qui satisfait aux équations suivantes:𝑧+𝑧=5,𝑧𝑧=3𝑖.

Réponse

On rappelle l'identité 𝑧+𝑧=2(𝑧)Re. En utilisant cette identité, nous pouvons écrire la première équation sous la forme 2(𝑧)=5.Re

Par conséquent, Re(𝑧)=52.

Ensuite, nous rappelons l'identité 𝑧𝑧=2𝑖(𝑧)Im. Avant de pouvoir appliquer cette identité à la deuxième équation, nous multiplions d'abord par 1, ce qui donne 𝑧𝑧=3𝑖.

Maintenant, nous pouvons utiliser l'identité pour réécrire ceci sous la forme 2𝑖(𝑧)=3𝑖.Im

Diviser par 2𝑖 donne Im(𝑧)=3𝑖2𝑖=32.

Cela nous donne ReetIm(𝑧)=52(𝑧)=32. Par conséquent, 𝑧=5232𝑖.

Dans l'exemple suivant, nous allons calculer le produit d'un nombre complexe par son conjugué.

Exemple 5: Produit d’un nombre complexe avec son conjugué

Déterminez le conjugué de 1+𝑖 et le produit de ce nombre avec son conjugué.

Réponse

Pour la première partie de la question:le conjugué complexe de 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est égal à 𝑧=𝑎𝑏𝑖. Nous pouvons écrire le nombre complexe 1+𝑖 sous la forme 1+1𝑖, ce qui nous donne 𝑎=1 et 𝑏=1. Le conjugué complexe de 1+1𝑖 est 11𝑖, qui est le même que 1𝑖.

Par conséquent, le conjugué complexe de 1+𝑖 est 1𝑖.

Pour la deuxième partie de la question:considérons le produit de 1+𝑖 et son conjugué 1𝑖 en développant entre parenthèses:(1+𝑖)(1𝑖)=1+𝑖𝑖𝑖=1𝑖.

Puisque 𝑖=1, l'expression résultante est 1(1)=2.

Par conséquent, le produit de 1+𝑖 et de son conjugué est égal à 2.

Une fois encore, on remarque que le produit de ce nombre complexe avec son conjugué est un nombre réel. Ceci est un exemple de propriété générale du conjugué d’un nombre complexe. En particulier, on montre que le produit d’un nombre complexe et de son conjugué est en fait un cas particulier de la différence de deux carrés:(𝑥𝑦)(𝑥+𝑦)=𝑥𝑦. Définir 𝑥=𝑎 et 𝑦=𝑏𝑖 donne (𝑎+𝑏𝑖)(𝑎𝑏𝑖)=𝑎(𝑏𝑖) , et en utilisant le fait que 𝑖=1, on obtient 𝑧𝑧=𝑎+𝑏.

Propriétés du conjugué d’un nombre complexe

Pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 ,

  • 𝑧+𝑧=2(𝑧)Re;
  • 𝑧𝑧=2𝑖(𝑧)Im;
  • 𝑧𝑧=𝑎+𝑏;
  • 𝑧=𝑧est équivalent à 𝑧.

Dans l'exemple suivant, nous examinerons comment l'opération de la somme ou du produit de nombres complexes interagit avec l'opération conjuguée.

Exemple 6: Conjugués de sommes et de produits

On considère 𝑧=5𝑖3 et 𝑤=2+𝑖5.

  1. Calculez 𝑧 et 𝑤.
  2. Déterminez 𝑧+𝑤 et (𝑧+𝑤).
  3. Déterminez 𝑧𝑤 et (𝑧𝑤).

Réponse

Partie 1

Pour trouver le conjugué d’un nombre complexe, on prend l’opposé de sa partie imaginaire. Par conséquent, 𝑧=5+𝑖3 et 𝑤=2𝑖5.

Partie 2

En utilisant les réponses de la partie 1, on calcule 𝑧+𝑤=5+𝑖3+2𝑖5.

En regroupant les termes semblables, on peut le réécrire comme suit:𝑧+𝑤=5+2+35𝑖.

On peut maintenant calculer (𝑧+𝑤). On trouve d’abord la valeur du terme entre parenthèses:𝑧+𝑤=5𝑖3+2+𝑖5=5+2+53𝑖.

Pour prendre le conjugué complexe de ce nombre, on remarque que ce nombre est sous la forme 𝑎+𝑏𝑖, 𝑎=5+2 et 𝑏=53. Puisque le conjugué complexe prend la forme 𝑎𝑏𝑖, nous avons (𝑧+𝑤)=5+253𝑖. Remarquant 5𝑠𝑞𝑟𝑡3=5+3=35, on peut aussi écrire ce nombre complexe sous la forme 5+2+35𝑖. Nous pouvons maintenant voir que c'est le même que le nombre obtenu à partir de l'expression 𝑧+𝑤.

Partie 3

En utilisant les réponses de la première partie, on peut écrire 𝑧𝑤=5+𝑖32𝑖5.

En développant les parenthèses, on obtient 𝑧𝑤=525𝑖5+𝑖32𝑖35.

En regroupant les termes semblables et en utilisant le fait que 𝑖=1 , on peut le réécrire comme 𝑧𝑤=52+15556𝑖.

On calcule (𝑧𝑤) en déterminant d’abord 𝑧𝑤 puis en prenant son conjugué comme suit:𝑧𝑤=5𝑖32+𝑖5.

En développant les parenthèses, on trouve 𝑧𝑤=52+5𝑖5𝑖32𝑖35.

En simplifiant, on obtient 𝑧𝑤=52+15+556𝑖.

Pour prendre le complexe conjugué de ce nombre, on remarque que ce nombre est sous la forme 𝑎+𝑏𝑖, 𝑎=52+𝑠𝑞𝑟𝑡15 et 𝑏=556. Puisque le conjugué complexe prend la forme 𝑎𝑏𝑖, nous avons (𝑧𝑤)=52+15556𝑖.

Nous pouvons voir que c'est le même nombre complexe que ce que nous avons obtenu de 𝑧𝑤.

Dans l’exemple précédent, on a vu que pour les nombres complexes 𝑧 et 𝑤 , 𝑧+𝑤=(𝑧+𝑤) et 𝑧𝑤=(𝑧𝑤). C’est en fait une règle générale qui est vérifiée pour toute paire de nombres complexes conjugués, et dont la démonstration utilise exactement les mêmes techniques que celles de l’exemple précédent.

Propriété : Opérations algébriques et conjugués complexes

Étant donnés les nombres complexes 𝑧 et 𝑤, nous avons les identités suivantes:

  • 𝑧+𝑤=(𝑧+𝑤),
  • 𝑧𝑤=(𝑧𝑤),
  • 𝑧𝑤=(𝑧𝑤),
  • 𝑧𝑤=𝑧𝑤.

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons les propriétés du conjugué complexe pour résoudre une équation en utilisant une variable complexe 𝑧.

Exemple 7: Résolution d'équations incluant des conjugués complexes

Résolvez 𝑧𝑧+𝑧𝑧=4+2𝑖.

Réponse

Nous pourrions aborder ce problème de l'une des deux manières suivantes:nous pourrions écrire 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et le substituer dans l'équation, puis résoudre pour déterminer 𝑎 et 𝑏;alternativement, nous pourrions utiliser les propriétés des conjugués complexes. Nous allons démontrer les deux approches.

Méthode 1

Rappelons que le conjugué complexe de 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est 𝑧=𝑎𝑏𝑖. En utilisant cette expression, nous avons 4+2𝑖=𝑧𝑧+𝑧𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎𝑏𝑖)+(𝑎𝑏𝑖)(𝑎+𝑏𝑖).

On peut d'abord distribuer (𝑎+𝑏𝑖)(𝑎𝑏𝑖)=𝑎𝑎𝑏𝑖+𝑎𝑏𝑖𝑏𝑖, qui se simplifie en 𝑎+𝑏 lors de la mémorisation que 𝑖=1.

En développant les parenthèses restantes, en étant prudent pendant qu'on note (𝑎+𝑏𝑖)=𝑎𝑏𝑖, on a 4+2𝑖=𝑎+𝑏+𝑎𝑏𝑖𝑎𝑏𝑖=𝑎+𝑏2𝑏𝑖.

Cela conduit à l'équation 4+2𝑖=𝑎+𝑏2𝑏𝑖. Rappelons que les deux nombres complexes sont égaux lorsque les parties réelle et imaginaire sont toutes deux égales.

Égaliser les parties réelles des nombres complexes des deux côtés de l'équation donne 4=𝑎+𝑏. Égaliser les parties imaginaires donne 2=2𝑏, ce qui donne 𝑏=1. En remplaçant la valeur de 𝑏 dans l'équation ci-dessus, nous obtenons 𝑎+(1)=4𝑎=3.

Par conséquent, 𝑎=±3. Cela nous donne que 𝑎 pourrait être soit 3 soit 3, tandis que 𝑏 est égal à 1. Puisque 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, nous avons deux solutions possibles à l'équation:𝑧=3𝑖𝑧=3𝑖.et

Méthode 2

On peut aussi utiliser les identités des conjugués d’un nombre complexe comme suit. On remarque d’abord que le membre gauche de l’équation est divisé en deux parties:

Il y a une identité pour chacune de ces deux parties:

  • 𝑧𝑧=𝑎+𝑏;
  • 𝑧𝑧=2𝑖(𝑧)Im.

Pour obtenir l'expression (2), nous pouvons multiplier les deux côtés de la seconde identité pour obtenir 𝑧𝑧=2𝑖(𝑧).Im Puisque Im(𝑧)=𝑏, on peut obtenir (2)=2𝑏𝑖. Pour (1), la première identité donne (1)=𝑎+𝑏. En substituant ces expressions dans l'équation ci-dessus, on obtient 𝑎+𝑏2𝑏𝑖=4+2𝑖.

En égalisant les parties réelles et imaginaires, on arrive aux deux mêmes équations que l’on avait déduites en utilisant la première méthode.

En utilisant les mêmes calculs, les solutions des équations données sont 𝑧=3+𝑖,3+𝑖.et

Terminons en récapitulant quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 , son conjugué est défini par 𝑧=𝑎𝑏𝑖.
  • Pour deux nombres complexes 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖, les identités suivantes sont vérifiées:
    • (𝑧±𝑧)=𝑧±𝑧;
    • (𝑧𝑧)=𝑧𝑧;
    • 𝑧+𝑧=2(𝑧)Re;
    • 𝑧𝑧=2𝑖(𝑧)Im;
    • 𝑧𝑧=𝑎+𝑏.
  • Un nombre complexe est égal à son conjugué si et seulement si c’est un nombre réel.

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