Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des nombres conjugués pour évaluer une expression.
Un concept important lié aux nombres complexes est la notion de conjugué d’un nombre complexe. La notion de conjugué ne peut pas être une nouveauté pour le lecteur. Lorsque l’on apprend à manipuler et à simplifier les radicaux, on peut être initié aux conjugués. Pour une expression avec la racine carrée , le conjugué est défini par . Le conjugué d’un nombre complexe est en fait un cas particulier où est un nombre négatif.
Définition : Conjugué d’un nombre complexe
Pour un nombre complexe , son conjugué, , est défini par Le conjugué est parfois noté .
Par simple examen de la définition, on peut voir que pour tout nombre complexe , le conjugué du conjugué est égal à ; c’est-à-dire
Commençons par un exemple où l'on va trouver le conjugué d'un nombre complexe donné.
Exemple 1: Conjugué d’un nombre complexe
Quel est le conjugué du nombre complexe ?
Réponse
On rappelle que le conjugué de est . Pour le nombre complexe donné, et (attention à ne pas oublier le signe négatif). Par conséquent, le conjugué est égal à que l’on peut simplifier par .
Dans l'exemple précédent, nous avons trouvé le conjugué d'un nombre complexe. Rappelez-vous qu'un nombre réel est un cas particulier d'un nombre complexe. Dans l'exemple suivant, nous considérerons le conjugué d'un nombre réel.
Exemple 2: Conjugué d’un nombre réel
Si est un nombre réel, quel est son conjugué ?
Réponse
La définition du conjugué de est . Si est un nombre réel pur, on sait que . Ainsi, on conclut que si est un nombre réel, .
Par conséquent, si est un nombre réel, son conjugué complexe est le même que le nombre original.
De même, on pourrait se poser cette question : quel est le conjugué complexe d'un nombre purement imaginaire ? En utilisant la définition du conjugué complexe, en notant que nous avons , nous trouvons que, pour un nombre purement imaginaire,
Dans l'exemple suivant, nous considérerons la somme d'un nombre complexe avec son conjugué.
Exemple 3: Somme d’un nombre et de son conjugué
Déterminez le conjugué de et la somme de ce nombre avec son conjugué.
Réponse
Le conjugué de est égal à . Ainsi, pour le nombre donné, on a et . Le conjugué est donc .
On peut maintenant additionner ces deux nombres et on obtient
On note que la somme de ce nombre avec son conjugué est un nombre réel. Cela n’est pas une coïncidence : pour tout nombre complexe , on a
On peut aussi l’écrire comme .
On pourrait également se demander quel est le résultat quand on fait la différence d’un nombre et de son conjugué. De la même manière, on peut écrire que l’on peut également exprimer comme .
Nous allons maintenant nous pencher sur un exemple dans lequel nous étudions la différence d’un nombre avec son conjugué.
Exemple 4: Résoudre des équations impliquant des conjugués
Déterminez le nombre complexe qui satisfait aux équations suivantes :
Réponse
On rappelle l'identité . En utilisant cette identité, nous pouvons écrire la première équation sous la forme
Par conséquent, .
Ensuite, nous rappelons l'identité . Avant de pouvoir appliquer cette identité à la deuxième équation, nous multiplions d'abord par , ce qui donne
Maintenant, nous pouvons utiliser l'identité pour réécrire ceci sous la forme
Diviser par donne .
Cela nous donne Par conséquent,
Dans l'exemple suivant, nous allons calculer le produit d'un nombre complexe par son conjugué.
Exemple 5: Produit d’un nombre complexe avec son conjugué
Déterminez le conjugué de et le produit de ce nombre avec son conjugué.
Réponse
Pour la première partie de la question : le conjugué complexe de est égal à . Nous pouvons écrire le nombre complexe sous la forme , ce qui nous donne et . Le conjugué complexe de est , qui est le même que .
Par conséquent, le conjugué complexe de est .
Pour la deuxième partie de la question : considérons le produit de et son conjugué en développant entre parenthèses :
Puisque , l'expression résultante est .
Par conséquent, le produit de et de son conjugué est égal à 2.
Une fois encore, on remarque que le produit de ce nombre complexe avec son conjugué est un nombre réel. Ceci est un exemple de propriété générale du conjugué d’un nombre complexe. En particulier, on montre que le produit d’un nombre complexe et de son conjugué est en fait un cas particulier de la différence de deux carrés : . Définir et donne , et en utilisant le fait que , on obtient
Propriétés du conjugué d’un nombre complexe
Pour un nombre complexe ,
- ;
- ;
- ;
- est équivalent à .
Dans l'exemple suivant, nous examinerons comment l'opération de la somme ou du produit de nombres complexes interagit avec l'opération conjuguée.
Exemple 6: Conjugués de sommes et de produits
On considère et .
- Calculez et .
- Déterminez et .
- Déterminez et .
Réponse
Partie 1
Pour trouver le conjugué d’un nombre complexe, on prend l’opposé de sa partie imaginaire. Par conséquent, et
Partie 2
En utilisant les réponses de la partie 1, on calcule
En regroupant les termes semblables, on peut le réécrire comme suit :
On peut maintenant calculer . On trouve d’abord la valeur du terme entre parenthèses :
Pour prendre le conjugué complexe de ce nombre, on remarque que ce nombre est sous la forme , où et . Puisque le conjugué complexe prend la forme , nous avons Remarquant , on peut aussi écrire ce nombre complexe sous la forme Nous pouvons maintenant voir que c'est le même que le nombre obtenu à partir de l'expression .
Partie 3
En utilisant les réponses de la première partie, on peut écrire
En développant les parenthèses, on obtient
En regroupant les termes semblables et en utilisant le fait que , on peut le réécrire comme
On calcule en déterminant d’abord puis en prenant son conjugué comme suit :
En développant les parenthèses, on trouve
En simplifiant, on obtient
Pour prendre le complexe conjugué de ce nombre, on remarque que ce nombre est sous la forme , où et . Puisque le conjugué complexe prend la forme , nous avons
Nous pouvons voir que c'est le même nombre complexe que ce que nous avons obtenu de .
Dans l’exemple précédent, on a vu que pour les nombres complexes et , et . C’est en fait une règle générale qui est vérifiée pour toute paire de nombres complexes conjugués, et dont la démonstration utilise exactement les mêmes techniques que celles de l’exemple précédent.
Propriété : Opérations algébriques et conjugués complexes
Étant donnés les nombres complexes et , nous avons les identités suivantes :
- ,
- ,
- ,
- .
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons les propriétés du conjugué complexe pour résoudre une équation en utilisant une variable complexe .
Exemple 7: Résolution d'équations incluant des conjugués complexes
Résolvez .
Réponse
Nous pourrions aborder ce problème de l'une des deux manières suivantes : nous pourrions écrire et le substituer dans l'équation, puis résoudre pour déterminer et ; alternativement, nous pourrions utiliser les propriétés des conjugués complexes. Nous allons démontrer les deux approches.
Méthode 1
Rappelons que le conjugué complexe de est . En utilisant cette expression, nous avons
On peut d'abord distribuer qui se simplifie en lors de la mémorisation que .
En développant les parenthèses restantes, en étant prudent pendant qu'on note , on a
Cela conduit à l'équation Rappelons que les deux nombres complexes sont égaux lorsque les parties réelle et imaginaire sont toutes deux égales.
Égaliser les parties réelles des nombres complexes des deux côtés de l'équation donne Égaliser les parties imaginaires donne , ce qui donne . En remplaçant la valeur de dans l'équation ci-dessus, nous obtenons
Par conséquent, . Cela nous donne que pourrait être soit soit , tandis que est égal à . Puisque , nous avons deux solutions possibles à l'équation :
Méthode 2
On peut aussi utiliser les identités des conjugués d’un nombre complexe comme suit. On remarque d’abord que le membre gauche de l’équation est divisé en deux parties : 
Il y a une identité pour chacune de ces deux parties :
- ;
- .
Pour obtenir l'expression (2), nous pouvons multiplier les deux côtés de la seconde identité pour obtenir Puisque , on peut obtenir . Pour (1), la première identité donne . En substituant ces expressions dans l'équation ci-dessus, on obtient
En égalisant les parties réelles et imaginaires, on arrive aux deux mêmes équations que l’on avait déduites en utilisant la première méthode.
En utilisant les mêmes calculs, les solutions des équations données sont
Terminons en récapitulant quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Pour un nombre complexe , son conjugué est défini par .
- Pour deux nombres complexes et , les identités suivantes sont vérifiées :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
- Un nombre complexe est égal à son conjugué si et seulement si c’est un nombre réel.
