Vidéo de la leçon: Conjugués de nombres complexes Mathématiques • Première année secondaire

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser le conjugué d’un nombre complexe pour évaluer des expressions. Nous commencerons par définir ce que nous entendons par le conjugué complexe, avant de considérer leurs propriétés et comment celles-ci peuvent être exploitées pour nous aider à résoudre des équations impliquant des nombres complexes. Tout au long de cette vidéo, nous chercherons, dans la mesure du possible, à obtenir des résultats généraux pouvant être utilisés dans des problèmes de nombres complexes plus compliqués.

Chaque nombre complexe unique lui a associé un autre nombre complexe, appelé son conjugué. La définition du mot conjugué a des caractéristiques communes mais opposées ou inverses dans certains cas. En dehors des mathématiques, cela peut signifier juxtaposer ou se réunir, indiquant qu’un nombre complexe et son conjugué ont une relation spéciale. Regardons la définition. Pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, son conjugué noté 𝑧 barre ou 𝑧 étoile est 𝑎 moins 𝑏𝑖. En termes simples, le conjugué d’un nombre complexe est trouvé en changeant le signe de la partie imaginaire du nombre.

Par exemple, un nombre complexe donné comme trois plus deux 𝑖 — nous aurons un conjugué complexe de trois moins deux 𝑖. De même, un nombre complexe, quatre moins six 𝑖 — nous aurons un conjugué de quatre plus six 𝑖. Et en fait, le conjugué complexe du conjugué est de quatre moins six 𝑖. Et nous pouvons voir que nous pouvons généraliser cela et dire que le conjugué complexe du conjugué est simplement le nombre d’origine. C’est 𝑧.

Et qu’en est-il d’un nombre purement réel ? Aura-t-il un conjugué ? Hé bien oui. En fait, on peut dire qu’un nombre réel est de la forme 𝑎. Il s’agit en fait d’un nombre complexe. Mais c’est l’une des formes 𝑎 plus zéro 𝑖. Sa partie imaginaire est nulle. Puisque nous changeons le signe de la partie imaginaire pour trouver le conjugué, le conjugué de ce nombre sera 𝑎 moins zéro 𝑖. Mais bien sûr, c’est toujours 𝑎. Ainsi, le conjugué du nombre réel est simplement ce nombre. Une autre beauté du conjugué est qu’il partage toutes les mêmes propriétés que tout autre nombre complexe. C’est distributif sur l’addition et la multiplication. Et nous allons voir maintenant à quoi cela pourrait ressembler.

Si 𝑠 est égal à huit plus deux 𝑖, quelle est l’étoile 𝑠 plus 𝑠 ?

Rappelez-vous, 𝑠 étoile est le conjugué du nombre complexe 𝑠, donné par huit plus deux 𝑖. On peut dire que le conjugué complexe d’un nombre 𝑧, donné par 𝑎 plus 𝑏𝑖, est 𝑧 étoile égale 𝑎 moins 𝑏𝑖. Notre nombre complexe a une partie réelle de huit et une partie imaginaire de deux. Cela signifie que son conjugué complexe est huit moins deux 𝑖. Et cela signifie également que la somme des deux nombres est huit plus deux 𝑖 plus huit moins deux 𝑖. Et nous les ajoutons en ajoutant leurs parties réelles et en ajoutant séparément leurs parties imaginaires, que nous pensons souvent comme collecter des termes similaires. Huit plus huit font 16. Et deux 𝑖 moins deux 𝑖 est zéro. Et nous voyons que l’étoile 𝑠 plus 𝑠 est 16.

Remarquez comment la somme d’un nombre complexe et de son conjugué n’est qu’un nombre réel. Et cela a beaucoup de sens si l’on considère la forme générale. 𝑧 plus 𝑧 étoile est 𝑎 plus 𝑏𝑖 plus 𝑎 moins 𝑏𝑖. 𝑏𝑖 moins 𝑏 𝑖 est égal à zéro. Et nous voyons donc que la somme d’un nombre complexe avec son conjugué complexe est simplement deux 𝑎. Ou bien, nous pourrions dire que la somme d’un nombre complexe et de son conjugué est deux lots de la partie réelle de ce nombre.

De même, leur différence est 𝑎 plus 𝑏𝑖 moins 𝑎 moins 𝑏𝑖. Nous distribuons le deuxième support en multipliant chaque partie par moins un. Et nous obtenons 𝑎 plus 𝑏𝑖 moins 𝑎 plus 𝑏𝑖. Cette fois, 𝑎 moins 𝑎 est égal à zéro, ce qui est égal à deux 𝑏𝑖. On peut donc dire que la différence entre un nombre complexe et son conjugué est deux 𝑖 multipliée par la partie imaginaire de ce nombre complexe.

Nous allons maintenant regarder un exemple détaillé d’une équation impliquant la somme et la différence d’un nombre complexe et de son conjugué.

Trouvez le nombre complexe 𝑧 qui satisfait les équations suivantes. 𝑧 étoile plus 𝑧 est égale à moins cinq. 𝑧 étoile moins 𝑧 est égal à trois 𝑖.

Rappelez-vous, 𝑧 étoile représente le conjugué du nombre complexe 𝑧. 𝑧 sera de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Et 𝑧 étoile sera de la forme 𝑎 moins 𝑏𝑖. Nous avons changé le signe de la partie imaginaire. La première équation nous indique la somme de ces deux nombres. Nous pouvons former une expression pour leur somme en utilisant la forme générale du nombre complexe. C’est 𝑎 plus 𝑏𝑖 plus 𝑎 moins 𝑏𝑖. Cela se simplifie à deux 𝑎 ou deux multipliés par la partie réelle de 𝑧.

Maintenant, en fait, nous savons que la somme de ces nombres est moins cinq. On peut donc dire que moins cinq est égal à deux multiplié par la partie réelle de 𝑧. Et nous résolvons en divisant par deux. Et nous voyons que la partie réelle de 𝑧 est égale à moins cinq sur deux.

La deuxième équation nous indique la différence de ces deux nombres. C’est 𝑎 moins 𝑏𝑖 moins 𝑎 plus 𝑏𝑖. Nous distribuons la deuxième tranche en multipliant chaque terme par moins un. Et nous obtenons 𝑎 moins 𝑏𝑖 moins 𝑎 moins 𝑏𝑖, ce qui est moins deux 𝑏𝑖. Ceci est égal à moins deux 𝑖 multipliés par la partie imaginaire de 𝑧. Et bien sûr, nous savons que cela est en fait égal à trois 𝑖. Nous voyons donc que trois 𝑖 est égal à moins deux 𝑖 multipliés par la partie imaginaire de 𝑧. Pour résoudre cette équation, nous divisons par moins deux 𝑖. Et comme 𝑖 divisé par 𝑖 est un, nous voyons que la partie imaginaire de 𝑧 est moins trois sur deux.

Il est utile de remarquer que nous aurions pu également multiplier par moins un. Cela nous aurait donné 𝑧 moins 𝑧 étoile est égale à moins trois 𝑖. Mais cela aurait abouti à la même solution. Nous savons donc que le nombre complexe 𝑧, qui satisfait les deux équations données, a une partie réelle de moins cinq sur deux et une partie imaginaire de moins trois sur deux. Cette solution est donc moins cinq sur deux moins trois sur deux 𝑖.

Vous devriez maintenant être en mesure de voir pourquoi l’apprentissage de la définition de la somme et de la différence d’un nombre complexe et de son conjugué peut être un véritable gain de temps. Ensuite, nous considérerons le produit d’un nombre complexe et son conjugué.

Trouvez le conjugué complexe de un plus 𝑖 et le produit de ce nombre avec son conjugué complexe.

Rappelez-vous, le conjugué complexe se trouve en changeant le signe de la partie imaginaire du nombre complexe. Cela signifie que le conjugué complexe de un plus 𝑖 est un moins 𝑖. Et nous voulons trouver le produit d’un plus 𝑖 et d’un moins 𝑖. Nous trouvons le produit de ces deux nombres exactement comme nous le ferions avec deux binômes quelconques.

La méthode FOIL peut être un bon moyen de le faire. F signifie premier. Nous multiplions le premier terme de la première tranche par le premier terme de la deuxième tranche. Un multiplié par un est un. O signifie extérieur. Nous multiplions les deux termes extérieurs. Un multiplié par moins 𝑖 est moins 𝑖. I représente l’intérieur. Nous multiplions les termes intérieurs. Et 𝑖 multiplié par un est 𝑖. Et enfin, L représente le dernier. Nous multiplions le dernier terme dans chaque tranche. 𝑖 multiplié par moins 𝑖 est moins 𝑖 au carré. Et bien sûr, 𝑖 au carré est égal à moins un. Depuis moins 𝑖, plus 𝑖 est égal à zéro, cela devient un moins moins un, ce qui est deux. Et le produit de ce nombre avec son conjugué complexe est deux.

On peut généraliser ce résultat. Et nous verrons bientôt qu’il existe un certain nombre d’applications pour le conjugué complexe.

Soit 𝑎 plus 𝑏𝑖 un nombre complexe dont le conjugué est 𝑎 moins 𝑏𝑖. Leur produit est 𝑎 plus 𝑏𝑖 multiplié par 𝑎 moins 𝑏𝑖. Si nous développons ces parenthèses comme précédemment, nous obtenons 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏𝑖 plus 𝑎𝑏𝑖 au moins 𝑏 au carré 𝑖 au carré. Et bien sûr, moins 𝑎𝑏𝑖 plus 𝑎𝑏𝑖 est nul. Et vous remarquerez peut-être que c’est comme la différence de deux carrés. Nous remplacerons moins un par 𝑖 au carré. Et nous voyons que le produit de ce nombre complexe avec son conjugué est 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Donc 𝑧 multiplié par 𝑧 étoile est 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Pour nos deux derniers exemples, nous considérerons quelques questions plus compliquées impliquant des sommes et des produits de nombres complexes et leurs conjugués.

Considérez 𝑧 est égal à cinq moins 𝑖 racine trois et 𝑤 est égal à racine deux plus 𝑖 racine cinq. Première partie, calculez 𝑧 étoile et 𝑤 étoile. Deuxième partie, trouvez 𝑧 étoile plus 𝑤 étoile et 𝑧 plus 𝑤 étoile. Troisième partie, trouvez 𝑧 étoile 𝑤 étoile et 𝑧𝑤 étoile.

Dans cette question, nous avons reçu deux nombres complexes. Et nous devons trouver leurs conjugués. Rappelez-vous, pour trouver le conjugué d’un nombre complexe, nous changeons le signe de sa partie imaginaire. Cela signifie que le conjugué complexe de cinq moins 𝑖 racine trois est cinq plus 𝑖 racine trois. Maintenant, ne vous inquiétez pas si le 𝑖 est devant la racine trois ici. Oui, ce n’est pas de la forme générale. Mais c’est une façon sensée de l’écrire quand on a affaire à des racines.

Si nous choisissons plutôt d’écrire la racine trois multipliée par 𝑖, cela pourrait ressembler un peu à la racine carrée de trois 𝑖 plutôt qu’à la racine carrée de trois multipliée par 𝑖. Ensuite, nous voyons que 𝑤 est racine deux plus 𝑖 racine cinq, son conjugué est racine deux moins 𝑖 racine cinq.

Pour la deuxième partie, nous devons calculer deux nombres. Nous devons trouver la somme des conjugués. Et nous devons trouver le conjugué de la somme des nombres complexes originaux. Commençons par trouver la somme de leurs conjugués. C’est cinq plus 𝑖 racine trois plus racine deux moins 𝑖 racine cinq. Nous pouvons trouver leur somme en collectant des termes similaires. Et quand nous le faisons, nous voyons que 𝑧 étoile plus 𝑤 étoile est cinq plus racine deux plus 𝑖 multiplié par racine trois moins racine cinq. Et nous pouvons également travailler sur 𝑧 plus 𝑤 étoile.

Cette fois, nous ajoutons d’abord 𝑧 et 𝑤 avant de trouver le conjugué. C’est le conjugué de cinq moins 𝑖 racine trois plus racine deux plus 𝑖 racine cinq. Encore une fois, nous faisons cela en ajoutant les parties réelles puis les parties imaginaires. Nous obtenons cinq plus la racine deux plus 𝑖 multipliée par la racine moins trois plus la racine cinq. On change donc le signe de la partie imaginaire pour trouver le conjugué. Et nous obtenons cinq plus la racine deux moins 𝑖 multiplié par la racine moins trois plus la racine cinq. Et en fait, si nous multiplions la partie imaginaire par moins un, nous voyons que cela est égal à cinq plus la racine deux plus 𝑖 multiplié par la racine trois moins la racine cinq. Notez que 𝑧 étoile plus 𝑤 étoile est en fait la même chose que 𝑧 plus 𝑤 étoile.

Pour cette troisième partie, nous devons trouver le produit du conjugué de 𝑧 et 𝑤. C’est cinq plus 𝑖 racine trois multipliée par racine deux moins 𝑖 racine cinq. En multipliant le premier terme dans chaque parenthèse, nous obtenons cinq racine deux. En multipliant les termes externes, nous obtenons cinq 𝑖 racine moins cinq. La multiplication des termes internes, c’est-à-dire 𝑖 racine trois multipliée par la racine deux, nous donne 𝑖 racine six. Et multiplier les derniers termes nous donne 𝑖 racine trois multipliée par moins 𝑖 racine cinq, qui est moins 𝑖 au carré multipliée par la racine 15. Et puisque 𝑖 au carré est égal à moins un, ce dernier terme devient racine plus 15. En rassemblant des termes similaires, nous voir que le produit du conjugué de 𝑧 et 𝑤 est cinq racine deux plus racine 15 plus 𝑖 multiplié par racine six moins cinq racine cinq.

Ensuite, nous trouvons le produit de 𝑧 et 𝑤 puis trouvons leur conjugué. Cette fois, leur produit est de cinq moins 𝑖 racine trois multiplié par racine deux plus 𝑖 racine cinq. En développant ces crochets, nous obtenons cinq racine deux plus racine 15 moins 𝑖 multiplié par racine six moins cinq racine cinq. Et il s’ensuit que le conjugué de ce nombre est cinq racine deux plus racine 15 plus 𝑖 multiplié par racine six moins cinq racine cinq, encore une fois.

Nous avons vu dans cet exemple que, pour les nombres complexes 𝑧 et 𝑤, la somme de leurs conjugués est égale au conjugué de leur somme. Et nous avons également vu que le produit de leurs conjugués est égal au conjugué de leur produit. Et c’est en fait une règle générale, qui s’applique à tous les nombres complexes.

Résoudre deux 𝑧 barre moins 𝑧 égal à cinq sur ℂ.

Ici, nous avons un nombre complexe. Et nous pouvons dire que cela pourrait être de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. 𝑧 barre est son conjugué. C’est 𝑎 moins 𝑏𝑖. Et ℂ est utilisé pour désigner l’ensemble des nombres complexes. Faisons remplacer 𝑧 et 𝑧 barre dans notre équation.

Lorsque nous le faisons, nous voyons que deux multipliés par 𝑎 plus 𝑏𝑖 moins 𝑎 moins 𝑏𝑖 est égal à cinq. Ensuite, nous répartissons les parenthèses en multipliant la partie réelle et imaginaire par le nombre à l’extérieur. Pour la première tranche, c’est deux multiplié par 𝑎 et deux multiplié par 𝑏𝑖. Et pour le deuxième crochet, c’est moins un multiplié par 𝑎 plus moins un multiplié par moins 𝑏𝑖. Nous obtenons donc deux 𝑎 plus deux 𝑏𝑖 moins 𝑎 plus 𝑏𝑖 est égal à cinq. Et bien sûr, nous pouvons collecter des termes similaires. Et nous voyons que 𝑎 plus trois 𝑏𝑖 est égal à cinq.

Maintenant, ce nombre est purement réel. Ou nous pouvons dire que c’est un nombre complexe dont la partie imaginaire est zéro. Et une fois que nous avons identifié cela, nous pouvons assimiler les parties réelles et imaginaires. On voit que 𝑎 doit être égal à cinq. Et trois 𝑏 doivent être égaux à zéro. En fait, si trois 𝑏 est égal à zéro, 𝑏 doit également être égal à zéro. Nous résolvons pour 𝑧. Et nous avons établi que 𝑎 — sa partie réelle est égale à cinq. Et 𝑏 — sa partie imaginaire est égale à zéro. On pourrait donc dire que 𝑧 est égal à cinq plus zéro 𝑖 bien que nous n’ayons pas besoin d’écrire la partie imaginaire. Nous disons donc que 𝑧 est simplement égal à cinq.

Dans cette vidéo, nous avons appris qu’un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 a un conjugué complexe 𝑎 moins 𝑏𝑖. Et cela est souvent désigné par 𝑧 étoile ou parfois 𝑧 barre. Nous avons également vu que, pour deux nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux, il existe tout un ensemble de règles qui relient les nombres complexes à leurs conjugués. Et enfin, nous avons appris qu’un nombre complexe est égal à son conjugué si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, en d’autres termes, s’il s’agit d’un nombre réel.