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Déterminez la somme des coefficients des trois premiers termes qui résultent du développement de 𝑥 plus deux tous à la puissance cinq suivant les puissances décroissantes de 𝑥.
Dans cette question, on nous donne un développement binomial de la forme 𝑎 plus 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑛, où la valeur de 𝑛 est égale à cinq. Nous utiliserons le triangle de Pascal et la formule de binôme de Newton pour rappeler comment nous pouvons développer une expression de ce type.
Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire des coefficients binomiaux. Dans ce cas, on nous donne 𝑛 égal à cinq. Ceci signifie que 𝑎 plus 𝑏 tous élevés à la puissance cinq auront six termes. Le premier terme est égal à un multiplié par 𝑎 à la puissance cinq. Le deuxième terme est égal à cinq fois 𝑎 à la puissance quatre fois 𝑏 ou 𝑏 à la puissance un. Le terme suivant est égal à 10 multiplié par 𝑎 au cube multiplié par 𝑏 au carré. Ce schéma continue comme indiqué, où les puissances ou les exposants de 𝑎 diminuent et les puissances ou les exposants de 𝑏 augmentent.
Dans cette question, on nous dit que 𝑎 est égal à 𝑥 et que 𝑏 est égal à deux. Nous ne sommes également intéressés que par les trois premiers termes. 𝑥 plus deux tous élevés à la puissance cinq est donc égal à un multiplié par 𝑥 à la puissance cinq plus cinq 𝑥 à la puissance quatre multiplié par deux à la puissance un plus 10𝑥 au cube multiplié par deux au carré. Ceci se simplifie à un 𝑥 à la puissance cinq plus 10𝑥 à la puissance quatre plus 40𝑥 au cube, et ainsi de suite. Nous nous intéressons aux coefficients de ces trois premiers termes. Les coefficients sont égaux à un, 10 et 40. Pour calculer leur somme, nous ajoutons simplement un, 10 et 40. Cela équivaut à 51. La somme des coefficients des trois premiers termes du développement de 𝑥 plus deux tous élevés à la puissance cinq est 51.
