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Vidéo de question : Déterminer la valeur d’un logarithme en utilisant la substitution Mathématiques

Soit la fonction 𝑓(𝑥) = log₈ 𝑥. Déterminez la valeur de 𝑓(2).

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Transcription de vidéo

Soit la fonction 𝑓 de 𝑥 égale logarithme de base huit 𝑥. Déterminez la valeur de 𝑓 de deux.

Eh bien, pour résoudre ce problème, nous allons changer notre expression de la forme logarithme à la forme d’exposant. Et nous pourrions le faire en utilisant une relation que nous connaissons. Si nous avons 𝑦 est égal à logarithme de base 𝑏 de 𝑥, alors si nous réécrivons ceci sous forme d’exposant, nous allons obtenir 𝑥 est égal à 𝑏 élevé à la puissance de 𝑦. D’accord, super. Donc, nous avons cette petite relation que nous pouvons utiliser. Je vais l’utiliser sur l’expression que nous avons. Mais tout d’abord, ce que nous allons faire, c’est remplacer deux pour notre valeur de 𝑥 car nous cherchons la valeur de 𝑓 de deux.

Donc, si nous regardons ce que nous avons, nous avons 𝑦 est égal à logarithme de base huit de deux. Et c’est parce que j’ai remplacé deux pour 𝑥. Et j’ai aussi appelé notre 𝑓 de 𝑥 𝑦 parce que c’est interchangeable. Alors maintenant, ce que nous pouvons faire, c’est que nous pouvons changer cela en forme d’exposant. Et nous pouvons le faire parce que nous savons que notre 𝑏 va être huit parce que c’est notre base, et notre 𝑥 va être deux. Donc, nous pouvons dire que deux va être égal à huit élevé à la puissance 𝑦.

Eh bien, pour pouvoir résoudre ce problème, ce que nous voulons faire c’est penser à avoir deux valeurs qui ont la même base. Eh bien, pensons à huit. Peut-on écrire huit comme deux élevé à une puissance? Eh bien, nous savons que deux multiplié par deux multiplié par deux est égal à huit. Donc, deux élevé à la puissance trois est égal à huit. Donc, cela signifie que nous pouvons réécrire huit en deux élevé à la puissance trois. Alors, ce que nous allons avoir est deux égal à deux élevés à la puissance trois. Et c’est la puissance de 𝑦.

Nous allons donc, utiliser l’une de nos règles sur les exposants. Et c’est si nous avons 𝑥 élevé à la puissance 𝑎, alors ceci est élevé à la puissance 𝑏, c’est la même chose que 𝑥 élevé à la puissance 𝑎𝑏. Donc, vous multipliez les exposants. Nous pouvons donc, dire que deux est égal à deux élevé à la puissance trois 𝑦. Eh bien, nous ne l’écrivons ni ne l’incluons généralement pas, mais deux est, en fait, deux élevés à la puissance un. Donc, nous pouvons maintenant voir que nous avons la base deux aux membres gauche et droite de notre équation. Cela signifie que ce que nous pouvons faire c’est égaliser nos exposants.

Donc, ce que nous pouvons dire, c’est que un est égal à trois 𝑦. Alors, si nous divisons les deux membres de notre équation par trois, ce que nous allons obtenir c’est un tiers égal à 𝑦. Donc, nous avons résolu le problème. Et nous pouvons dire que si la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à logarithme à la base huit de 𝑥, alors la valeur de 𝑓 de deux va être égale à un tiers.

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