Transcription de la vidéo
Un arc de cercle mesure 𝜋 sur trois radians et a pour rayon 5. Donnez l’aire du secteur en fonction de 𝜋, sous sa forme la plus simple.
Un arc de cercle est une partie de la circonférence d’un cercle. On nous dit que ce cercle a un rayon de cinq unités. On nous dit aussi que l’arc de cercle a une mesure de 𝜋 sur trois radians. Maintenant, la mesure d’un arc de cercle est la mesure de son angle au centre. Il s’agit de l’angle formé par les deux rayons partant de chaque extrémité de l’arc et se rejoignant au centre du cercle. Ainsi, l’angle au centre de ce secteur circulaire, qui est délimité par l’arc et les deux rayons, est de 𝜋 sur trois radians.
On nous demande de calculer l’aire de ce secteur. Nous devons donc rappeler la formule pour ce faire lorsque l’angle central est mesuré en radians. La formule dont nous avons besoin est la suivante. L’aire d’un secteur circulaire avec un rayon de 𝑟 unités et un angle au centre de 𝜃 radians est un demi 𝑟 carré 𝜃. Elle est simplifié à partir de la formule 𝜃 sur deux 𝜋 multipliée par 𝜋𝑟 au carré, où 𝜋𝑟 au carré donne l’aire du cercle complet et 𝜃 sur deux 𝜋 donne la fraction du cercle représentée par ce secteur.
Nous connaissons à la fois le rayon du cercle et l’angle au centre en radians. Nous pouvons donc remplacer ces deux valeurs dans la formule. L’aire est donc égale à un demi multiplié par cinq au carré multiplié par 𝜋 sur trois. Soit un demi multiplié par 25 multiplié par 𝜋 sur trois. Nous pouvons combiner tout cela en une seule fraction. Cela donne 25𝜋 sur six. La question précise que nous devons donner notre réponse en fonction de 𝜋. Nous n’avons donc pas besoin d’évaluer cela comme un nombre décimal. Il s’agit déjà de sa forme la plus simple puisque les nombres 25 et six du numérateur et du dénominateur n’ont pas de facteurs communs autres que un.
L’aire de ce secteur circulaire, qui a un angle au centre de 𝜋 sur trois radians et un rayon de cinq unités, est de 25𝜋 sur six unités carrées.
