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Un restaurant de fruits de mer vend deux types de poisson cuit : la morue et l’anguille. Le restaurant ne vend pas moins de 40 poissons par jour. Mais n’utilise pas plus de 30 morues et pas plus de 45 anguilles. Le prix d’une morue est de six livres égyptiennes et le prix d’une anguille est de huit livres égyptiennes. Soit 𝑥 la quantité de morue achetée chaque jour, et 𝑦 la quantité d’anguille. Etant donné que le gérant du restaurant veut minimiser le prix total 𝑝 du poisson, énoncez la fonction objectif et les inégalités qui aideront à décider du nombre de poissons à acheter.
Ceci est un exemple de problème de programmation linéaire. On nous demande d’écrire la fonction objectif qui peut être utilisée pour optimiser une quantité. Dans ce cas, le gérant du restaurant veut minimiser le prix total du poisson. On nous demande également d’écrire les inéquations ou les contraintes qui l’aideront à le faire.
On nous dit que 𝑥 représente la quantité de morue achetée et 𝑦 représente la quantité d’anguille. Comme aucun de ces facteurs ne peut être négatif, nos deux premières inéquations sont 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et 𝑦 est supérieur ou égal à zéro. On nous dit que le restaurant ne vend pas moins de 40 poissons. Ceci signifie que le nombre total de poissons achetés doit être supérieur ou égal à 40. Nous avons l’inéquation 𝑥 plus 𝑦 est supérieur ou égal à 40. Le restaurant n’utilise pas plus de 30 morues. Ceci signifie que 𝑥 doit être inférieur ou égal à 30. Ils n’utilisent pas plus de 45 anguilles. Donc 𝑦 doit être inférieur ou égal à 45. Ces cinq inéquations aideront le gérant du restaurant à décider le nombre de poissons à acheter.
Notre dernière étape consiste à trouver une expression pour le prix total 𝑝. Nous savons que le prix d’une morue est de six livres égyptiennes et le prix d’une anguille de huit livres égyptiennes. Le prix 𝑝 est donc égal à six 𝑥 plus huit 𝑦. Voici la fonction objectif dont le gérant a besoin pour déterminer la valeur minimale tout en satisfaisant les cinq inéquations.
Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, une façon de le faire est de représenter graphiquement les inéquations et trouver la région réalisable. La solution optimale, dans ce cas le prix minimum, se trouvera à l’un des sommets de cette région réalisable.
