Transcription de la vidéo
Lequel des points suivants appartient au plan d’équation trois fois 𝑥 plus quatre moins deux fois 𝑦 plus un moins sept fois 𝑧 moins six est égal à zéro ? (A) Trois, moins deux, moins sept. (B) Sept, moins un, moins 13. (C) Quatre, un, moins six. (D) Moins quatre, moins un, six.
Bien, la façon de déterminer lequel de ces points se situe dans le plan donné consiste à substituer les valeurs 𝑥, 𝑦 et 𝑧 données en ces points dans l’équation du plan. Lorsque nous faisons cela et calculons le membre gauche de cette équation, si elle est égale à zéro, alors ce point se trouve dans le plan. Nous allons alors remplacer ces points dans l’équation du plan donné un par un en commençant par l’option (A).
Ce faisant, nous avons trois fois trois plus quatre moins deux fois moins deux plus un moins sept fois moins sept moins six. Cela équivaut à trois fois sept moins deux fois moins un moins sept fois moins 13. Cela donne 21 plus deux plus 91, soit 114. Puisque ce résultat n’est pas égal à zéro comme le fait le membre droit de l’équation de notre plan, alors nous pouvons dire qu’un point avec les coordonnées trois, moins deux, moins sept ne se trouve pas dans ce plan. L’option (A) est alors éliminée.
Voyons maintenant le point de l’option (B). Nous avons trois fois sept plus quatre moins deux fois moins un plus un moins sept fois moins 13 moins six. Cela donne trois fois 11 moins deux fois zéro moins sept fois moins 19. Soit 33 plus 133, ou 166, et non pas zéro. Nous pouvons voir alors que ce point sept, moins un, moins 13 n’est pas non plus dans le plan.
Passons à l’option (C), trois fois quatre plus quatre moins deux fois un plus un moins sept fois moins six moins six égale trois fois huit moins deux fois deux moins sept fois moins 12. Cela donne 24 moins quatre plus 84, soit 104. Pour ce point aussi, lorsque nous l’associons à l’équation de notre plan, nous n’obtenons pas zéro. Le point ne se situe pas dans le plan.
Espérons que nous trouverons un résultat différent pour l’option (D). Trois fois moins quatre plus quatre moins deux fois moins un plus un moins sept fois six moins six est égal à trois fois zéro moins deux fois zéro moins sept fois zéro. Tout cela s’additionne pour nous donner zéro. Ainsi, nous avons trouvé une preuve que ce point moins quatre, moins un, six appartient au plan donné. Voilà notre réponse. Le point moins quatre, moins un, six se situe dans le plan trois fois 𝑥 plus quatre moins deux fois 𝑦 plus un moins sept fois 𝑧 moins six est égal à zéro.
