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Déterminez les cinq premiers termes de la suite définie, pour tout entier naturel non nul 𝑛, par 𝑎 indice 𝑛 est égal à cinq 𝑛 au carré plus 𝑛 au cube.
Commençons cette question par un petit rappel sur que nous entendons par le 𝑛-ième terme ou le terme général d’une suite. La lettre 𝑛 représente l’indice de la suite. La valeur de l’indice sera toujours un entier. Sauf indication contraire, nous supposons que cet indice commence par une valeur égale à un. Ainsi, nous dirons que le premier terme de la suite peut s’écrire 𝑎 indice un. Le deuxième terme a un indice 𝑛 égal à deux et peut donc être écrit comme 𝑎 indice deux. Nous pouvons poursuivre avec cette logique. Cela nous permet de dire que tout terme d’indice 𝑛 peut être représenté par 𝑎 indice 𝑛.
Dans notre cas, connaître l’expression du 𝑛-ième terme d’une suite nous permet de déterminer n’importe lequel de ses termes. Nous remplaçons simplement 𝑛 dans l’expression du 𝑛-ième terme par l’indice du terme que nous souhaitons trouver. Par exemple, si nous voulions trouver le dixième terme, nous remplacerions 𝑛 par 10. Puisque nous voulons trouver les cinq premiers termes de cette suite, nous allons remplacer 𝑛 par un, deux, trois, quatre et cinq dans l’expression du 𝑛-ième terme.
Commençons par remplacer 𝑛 par un. Cela nous donne que 𝑎 indice un est égal à cinq fois un au carré plus un au cube. Nous devons faire très attention à respecter l’ordre des opérations, en particulier dans la première partie du membre de droite de cette expression. Lorsque nous avons cinq 𝑛 au carré, cela signifie que nous mettons d’abord le 𝑛 au carré, puis que nous multiplions par cinq. Ainsi, cinq fois un au carré est égal à cinq fois un, auquel nous allons ajouter un au cube soit un, ce qui nous donne six. Cela signifie que le premier terme de cette suite est égal à six.
Pour trouver le deuxième terme, nous remplaçons 𝑛 par deux, ce qui nous donne que 𝑎 indice deux est égal à cinq fois deux au carré plus deux au cube. Rappelez-vous que nous élevons d’abord au carré le deux, c’est quatre, le multiplier par cinq nous donne 20, puis deux au cube est égal à huit. Cela nous donne que le deuxième terme est égal à 28. Ensuite, 𝑎 indice trois est égal à cinq fois trois au carré plus trois au cube. Après simplification, nous obtenons que le troisième terme est égal à 72. De la même manière, en remplaçant 𝑛 par quatre, nous trouvons que le quatrième terme est égal à 144. En substituant 𝑛 par cinq, nous obtenons que 𝑎 indice cinq est égal à 250.
Nous pouvons donc donner comme réponse que les cinq premiers termes de la suite sont six, 28, 72, 144 et 250.
