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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à additionner, soustraire, multiplier ou diviser deux fonctions pour créer une nouvelle fonction et à identifier son ensemble de définition. Nous n’allons pas étudier aujourd’hui la composition de fonctions, qui est un concept légèrement différent.
Les opérations sur les fonctions sont très intuitives. Soient deux fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥. Les opérations suivantes sont définies avec leur notation associée. La fonction 𝑓 plus 𝑔 de 𝑥 est égale à la somme des fonctions 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥. De même pour la soustraction: 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥 est égale à la différence des fonctions 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥. La fonction 𝑓𝑔 de 𝑥 est ensuite égale à 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥. Enfin, 𝑓 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥. Il s’agit donc d’opérations assez simples.
Mais nous devons être très prudents lorsque nous combinons des fonctions et définissons l’ensemble de définition de la nouvelle fonction. L’ensemble de définition de la nouvelle fonction est l’intersection ou l’ensemble des valeurs communes de l’ensemble de définition de 𝑓 et de l’ensemble de définition de 𝑔. En d’autres termes, les deux fonctions doivent être définies en un point pour que la nouvelle fonction soit également définie. Et, bien sûr, si nous travaillons sur un quotient de fonctions, une condition supplémentaire est que le dénominateur, ici 𝑔 de 𝑥, ne soit pas égal à zéro. Maintenant que nous avons ces définitions, voyons comment nous pouvons résoudre un problème.
Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions à valeurs réelles telles que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus neuf sur 𝑥 au carré plus 15 𝑥 plus 54 et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 plus huit, déterminez la valeur de 𝑓 moins 𝑔 de moins six, si possible.
Commençons par rappeler ce que nous entendons par la fonction 𝑓 moins 𝑔. 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥 est égale à la différence entre les fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, soit 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥. Sachant que les fonctions sont définies par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus neuf sur 𝑥 carré plus 15 𝑥 plus 54 et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 plus huit, on voit que 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 plus neuf sur 𝑥 carré plus 15𝑥 plus 54 moins 𝑥 plus huit. Nous pourrions décider de simplifier cette expression, mais cela n’est en fait pas entièrement nécessaire car nous cherchons à déterminer si nous pouvons calculer la valeur de la fonction pour 𝑥 égale moins six.
Et nous devons donc vérifier quel est l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 moins 𝑔. L’ensemble de définition d’une combinaison de fonctions est l’intersection des ensembles de définition des deux fonctions. Nous devons donc déterminer les domaines de définition de 𝑓 et de 𝑔. Tout d’abord, 𝑔 de 𝑥 est la fonction 𝑥 plus huit, c’est une fonction polynomiale. On sait que l’ensemble de définition d’une fonction polynomiale est tout simplement l’ensemble des nombres réels. Et on peut donc dire que l’ensemble de définition de 𝑔 est l’ensemble des nombres réels; 𝑥 peut être tout nombre réel. Mais qu’en est-il de la fonction 𝑓? 𝑓 est le quotient de deux polynômes. Dans le cas des quotients, nous devons nous assurer que le dénominateur n’est pas égal à zéro.
Et nous allons donc poser le dénominateur de 𝑓 de 𝑥 égal à zéro et résoudre 𝑥. Cela nous indiquera les valeurs de 𝑥 que nous devons exclure de l’ensemble de définition de la fonction car elles donnent un dénominateur nul. Donc, 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 54 égale zéro. On factorise l’expression du membre gauche. Il s’agit d’une expression du second degré, on doit donc avoir deux parenthèses avec 𝑥 à l’avant de chaque binôme. On cherche alors deux nombres dont le produit est égal à 54 et dont la somme est égale à 15. Ces nombres sont six et neuf, donc on peut factoriser l’expression par 𝑥 plus six fois 𝑥 plus neuf.
Comme le produit de ces binômes est égal à zéro, on sait qu’un deux doit être égal à zéro. Autrement dit, 𝑥 plus six égale zéro ou 𝑥 plus neuf égale zéro. Si on résout cette première équation en soustrayant six aux deux membres, on obtient 𝑥 égale moins six. Et lorsque l’on résout la deuxième équation, on obtient 𝑥 égale moins neuf. Et donc les valeurs de 𝑥 qui annulent le dénominateur de la fonction 𝑓 de 𝑥 sont moins six et moins neuf. Maintenant, puisque 𝑓 est elle-même le quotient de deux polynômes, nous savons que son ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels à l’exclusions de l’ensemble des éléments qui annulent le dénominateur.
L’ensemble de définition de 𝑓 est donc l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant les éléments moins six et moins neuf. L’ensemble de définition de la fonction 𝑓 moins 𝑔 est l’intersection des ensembles de définition de 𝑓 et de 𝑔. Les valeurs communes des ensembles de définition de 𝑓 et de 𝑔 sont l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant moins six et moins neuf. Et si nous revenons alors à la question initiale, calculer 𝑓 moins 𝑔 de moins six, nous pouvons voir que moins six n’appartient pas à l’ensemble de définition de cette fonction. Et nous ne pouvons donc pas calculer l’image de cette valeur. La fonction 𝑓 moins 𝑔 n’est pas définie en ce point. On dit alors que la valeur de 𝑓 moins 𝑔 de moins six n’est pas définie.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment une fonction racine carrée modifie l’ensemble de définition de la somme de deux fonctions.
Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions à valeurs réelles telles que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 plus un; déterminez l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 plus 𝑔.
Tout d’abord, on rappelle que la fonction 𝑓 plus 𝑔 est simplement la somme des fonctions 𝑓 et 𝑔. Nous cherchons maintenant l’ensemble de définition de cette fonction. Et on rappelle donc que l’ensemble de définition de 𝑓 plus 𝑔, qui est l’ensemble des antécédents pour lesquelles la fonction donne une valeur réelle, est l’intersection des ensembles de définition de 𝑓 et de 𝑔. Déterminons donc les ensembles de définition de 𝑓 et 𝑔. Nous commençons par la fonction 𝑓 de 𝑥. Elle est égale à 𝑥 carré moins cinq 𝑥. C’est une fonction polynomiale et on sait que l’ensemble de définition d’une fonction polynomiale est l’ensemble des nombres réels. L’ensemble de définition de 𝑓 est donc l’ensemble des nombres réels.
Qu’en est-il de la fonction 𝑔? Pour une fonction racine carrée, on sait que la valeur à l’intérieur de la racine carrée doit être supérieure ou égale à zéro pour obtenir une image réelle. Pour 𝑔, on a une expression à l’intérieur de la racine carrée, donc 𝑥 plus un doit être supérieur ou égal à zéro. Et cela signifie que pour trouver l’ensemble de définition de 𝑔, nous devons résoudre l’inéquation 𝑥 plus un supérieur ou égal à zéro. On soustrait alors un au deux membres. 𝑥 doit donc être supérieur ou égal à moins un. On peut utiliser la notation en intervalles pour représenter l’ensemble de définition de 𝑔. 𝑥 doit être supérieur ou égal à moins un, donc l’ensemble de définition de 𝑔 est l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de moins un à plus l’infini.
Notez que l’on ne peut pas vraiment définir plus l’infini, c’est pourquoi il ne peut pas y avoir un crochet sur la limite droite de cet intervalle. Et nous savons que l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 plus 𝑔 est l’intersection, l’ensemble des valeurs communes, de ces deux ensembles de définition. Si on considère que l’ensemble de définition de 𝑔 est un sous-ensemble de l’ensemble des nombres réels, alors on voit que l’ensemble de définition de 𝑓 plus 𝑔, l’intersection, est en fait l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de moins un à plus l’infini. Et donc, cet intervalle, cet ensemble de valeurs de 𝑥, est l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 plus 𝑔.
Considérons maintenant le produit de deux polynômes.
Sachant que 𝑓 un est définie sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs vers l’ensemble des nombres réels telle que 𝑓 un de 𝑥 égale 𝑥 moins quatre et que 𝑓 deux est définie sur l’intervalle ouvert à gauche et fermé à droite de moins neuf à un vers l’ensemble des nombres réels telle que 𝑓 deux de 𝑥 égale cinq 𝑥 moins deux, déterminez l’expression de 𝑓 un 𝑓 deux de 𝑥 et définissez son ensemble de définition.
Tout d’abord, on rappelle que le produit de 𝑓 un et 𝑓 deux de 𝑥 est en fait égal au produit des deux fonctions. C’est-à-dire 𝑓 un de 𝑥 fois 𝑓 deux de 𝑥. Et nous savons que lorsque nous multiplions des fonctions, l’ensemble de définition de la fonction obtenue est l’intersection des ensembles de définition des fonctions initiales. Le seul moment où nous devons tenir compte de conditions supplémentaires est dans le cas d’un quotient car nous devons nous assurer que le dénominateur n’est pas égal à zéro. Mais ce n’est bien sûr pas le cas ici; commençons donc par déterminer 𝑓 un 𝑓 deux de 𝑥. 𝑓 un de égale 𝑥 moins quatre et 𝑓 deux de égale cinq 𝑥 moins deux, donc leur produit est égal à 𝑥 moins quatre fois cinq 𝑥 moins deux.
On développe ces parenthèses en utilisant la double distributivité. On multiplie les premiers termes de chaque binôme. 𝑥 fois cinq 𝑥 égale cinq 𝑥 au carré. On multiplie ensuite les termes extérieurs, ce qui donne moins deux 𝑥. Et on multiplie les termes intérieurs, ce qui donne moins 20𝑥. Enfin, on multiplie les seconds termes de chaque binôme. Moins quatre fois moins deux égale huit. Donc on voit que 𝑓 un 𝑓 deux de 𝑥 égale cinq 𝑥 au carré moins 22𝑥 plus huit. Mais quel est l’ensemble de définition de cette fonction?
𝑓 un et 𝑓 deux sont en fait des fonctions polynomiales, et l’ensemble de définition d’une fonction polynomiale est normalement l’ensemble des nombres réels. Mais il est indiqué que 𝑓 un est définie sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs. Il s’agit donc de l’ensemble de définition de 𝑓 un. Les nombres réels strictement positifs. Il est également indiqué que 𝑓 deux est définie sur l’intervalle ouvert à gauche et fermé à droite de moins neuf à un. En d’autres termes, 𝑥 peut être supérieur à moins neuf et inférieur ou égal à un. Il s’agit donc de l’ensemble de définition de 𝑓 deux. L’ensemble de définition du produit de ces fonctions est l’intersection, l’ensemble des valeurs communes, de ces deux ensembles de définition. Utilisons donc une droite numérique pour déterminer où se situe cette intersection.
L’ensemble de définition de 𝑓 un est l’ensemble des nombres réels strictement positifs. C’est-à-dire tout nombre supérieur à zéro comme indiqué. L’ensemble de définition de 𝑓 deux est constitué des valeurs de 𝑥 supérieures à moins neuf et inférieures ou égales à un. L’intersection se trouve ici. Ce sont les valeurs de 𝑥 supérieures à zéro et inférieures ou égales à un. Nous pouvons représenter cet ensemble de définition à l’aide d’intervalles comme indiqué. Et nous voyons donc que 𝑓 un 𝑓 deux de 𝑥 égale cinq 𝑥 au carré moins 22𝑥 plus huit et que son ensemble de définition est l’intervalle ouvert à gauche et fermé à droite de zéro à un.
Nous allons maintenant voir comment nous devons adapter notre raisonnement lorsque nous déterminons le quotient de deux fonctions.
Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions à valeurs réelles telles que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins un et 𝑔 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 plus cinq, calculez la valeur de 𝑔 sur 𝑓 de moins deux, si possible.
Tout d’abord, on rappelle que 𝑔 sur 𝑓 de 𝑥 est simplement le quotient des fonctions. C’est-à-dire 𝑔 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥. Et la raison pour laquelle cette question demande de calculer la valeur de 𝑔 sur 𝑓 de moins deux « si possible » est que pour l’ensemble de définition de la fonction 𝑔 sur 𝑓, nous pensons à l’intersection des ensembles de définition de 𝑓 et 𝑔. Mais nous devons également nous assurer que le dénominateur, ici 𝑓 de 𝑥, n’est pas égal à zéro. Commençons donc par rechercher les ensembles de définition des deux fonctions. 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins un. C’est une fonction polynomiale et l’ensemble de définition d’une fonction polynomiale est tout simplement l’ensemble des nombres réels. Donc, l’ensemble de définition de 𝑓 est bien l’ensemble des nombres réels.
𝑔 de 𝑥 est légèrement plus complexe cependant. Elle est égale à racine carrée de 𝑥 plus cinq. Et on sait que pour que la racine carrée d’un nombre soit réelle, ce nombre doit être supérieur ou égal à zéro. 𝑥 plus cinq doit donc être supérieur ou égal à zéro. On résout cette inéquation en soustrayant cinq aux deux membres. En faisant cela, nous trouvons que 𝑥 doit être supérieur ou égal à moins cinq. Et l’ensemble de définition de la fonction 𝑔 est donc l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de moins cinq à plus l’infini. Nous passons maintenant à la recherche de l’ensemble de définition de 𝑔 sur 𝑓. Il s’agit de l’intersection des ensembles de définition de 𝑓 et 𝑔, qui est l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de moins cinq à plus l’infini.
Mais nous devons également en exclure les valeurs de 𝑥 qui annulent le dénominateur. En d’autres termes, nous devons exclure les valeurs de 𝑥 pour lesquelles l’expression 𝑥 au carré moins un, c’est-à-dire la fonction 𝑓 de 𝑥, est égale à zéro. On résout cette équation en ajoutant un aux deux membres, ce qui donne 𝑥 au carré égale un. On prend la racine carrée des deux membres, en se rappelant bien sûr de prendre la racine carrée positive et la racine carrée négative de un. On trouve alors 𝑥 égale plus ou moins un. Cela signifie que l’ensemble de définition de 𝑔 sur 𝑓 est l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de moins cinq à plus l’infini moins l’ensemble contenant les éléments moins un et un.
Que cela signifie-t-il alors pour la valeur 𝑔 sur 𝑓 de moins deux? 𝑥 égale moins deux appartient à l’ensemble de définition de la fonction et son image peut donc être calculée. Nous recherchons donc maintenant l’expression de la fonction 𝑔 sur 𝑓 de 𝑥. On divise la fonction 𝑔 de 𝑥 par la fonction 𝑓 de 𝑥, et on obtient racine carrée de 𝑥 plus cinq sur 𝑥 au carré moins un. On trouve ensuite 𝑔 sur 𝑓 de moins deux en remplaçant 𝑥 par moins deux, on obtient donc racine carrée de moins deux plus cinq sur moins deux au carré moins un, ce qui se simplifie par racine carrée de trois sur trois. Pour les fonctions 𝑓 et 𝑔, nous avons donc montré que la valeur 𝑔 sur 𝑓 de moins deux est égale à racine carrée de trois sur trois.
Nous allons maintenant terminer par récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons vu que pour deux fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, la fonction 𝑓 plus 𝑔 de 𝑥 est la somme des fonctions. Elle est égale à 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥. De même, 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥. Nous avons également vu que 𝑓 𝑔 de 𝑥 est simplement égale à 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥. Nous avons de plus vu que 𝑓 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥. Nous avons enfin appris que l’ensemble de définition de chacune de ces nouvelles fonctions est l’intersection des ensembles de définition de 𝑓 et de 𝑔. En d’autres termes, les deux fonctions doivent être définies en un point pour que la nouvelle fonction soit définie.
Nous avons également vu qu’une condition supplémentaire s’applique pour le quotient de fonctions uniquement: le dénominateur ne peut pas être égal à zéro. Par conséquent, l’ensemble de définition de 𝑓 sur 𝑔 est l’intersection des ensembles de définition de 𝑓 et 𝑔 moins les valeurs de 𝑥 qui annulent le dénominateur.
