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Supposons que 𝑥 égale neuf 𝑛 moins cinq et 𝑦 égale quatre racine de 𝑛 plus six 𝑛 au carré. Trouvez d𝑦 sur d𝑥 lorsque 𝑛 égale quatre.
Ici, nous avons une paire d’équations paramétriques exprimées en fonction d’un troisième paramètre, 𝑛. Nous rappelons que, pour deux fonctions dérivables, 𝑓 et 𝑔, où 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑡, d𝑦 sur d𝑥 se trouve en divisant d𝑦 sur d𝑡 par d𝑥 sur d𝑡.
Ici, bien sûr, nos fonctions sont en fonction de 𝑛. Donc ici nous pouvons dire que d𝑦 sur d𝑥 doit être égal à d𝑦 sur d𝑛 sur d𝑥 sur d𝑛. Il est alors clair que nous allons devoir dériver nos deux fonctions par rapport à 𝑛. Eh bien, la dérivée de neuf 𝑛 est neuf. Et la dérivée de moins cinq est zéro. Donc d𝑥 sur d𝑛 égale neuf.
Écrivons quatre racine de 𝑛 comme quatre fois 𝑛 à la puissance un demi. Alors, la dérivée de quatre 𝑛 à la puissance un demi est un demi fois quatre 𝑛 à la puissance moins un demi, ce qui se simplifie en deux 𝑛 à la puissance moins un demi. Ensuite, la dérivée de six 𝑛 au carré est deux fois six 𝑛, soit 12𝑛. La dérivée d𝑦 sur d𝑥 est alors le quotient de ceux-ci. C’est deux 𝑛 à la puissance moins un demi plus 12𝑛, le tout sur neuf.
Bien sûr, nous cherchons la valeur de la dérivée lorsque 𝑛 est égal à quatre. Remplaçons donc 𝑛 égale quatre dans notre fonction. Cela nous donne deux fois quatre à la puissance moins un demi plus 12 fois quatre sur neuf. Eh bien, quatre à la puissance moins un demi égale un sur racine carrée de quatre, soit un demi. Et deux fois un demi égale un. Nous savons que 12 fois quatre égale 48 et un plus 48 égale 49. Et donc lorsque 𝑛 est égal à quatre, d𝑦 sur d𝑥 est égal à 49 sur neuf.
