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Choisissez la phrase qui décrit une fonction injective. Est-ce l’option (A), pour chaque élément de l’ensemble de définition doit contenir au moins deux éléments correspondants dans l’ensemble image ? Est-ce l’option (B), pour chaque élément de l’ensemble d’arrivée, il doit y avoir un élément correspondant dans l’ensemble de définition ? Est-ce l’option (C) Aucun élément de l’ensemble image ne peut avoir plus d’un élément correspondant dans l’ensemble de définition ? Est-ce l’option (D), pour chaque élément de l’ensemble de définition, il y a exactement un élément correspondant dans l’ensemble image ? Est-ce l’option (E), pour chaque élément de l’ensemble image, il y a plus d’un élément correspondant dans l’ensemble de définition et vice versa ?
Dans cette question, on nous demande de déterminer laquelle des cinq affirmations décrit correctement une fonction injective. Le moyen le plus simple de le faire est de rappeler la définition d’une fonction injective. Rappelons que nous appelons une fonction une fonction injective si chaque élément de l’ensemble image de cette fonction correspond exactement à un élément du domaine de définition. Si nous vérifions les cinq options données, nous pouvons voir qu’aucune d’elles ne correspond à la définition mot pour mot. Considérons donc chaque option individuellement.
Commençons par l’option (A). L’option (A) nous indique que pour chaque élément du domaine de définition, il doit y avoir au moins deux éléments correspondants dans l’ensemble image. Cette affirmation pose un problème. Cela signifie que nous pouvons entrer une valeur et que nous devons obtenir deux images différentes. En d’autres termes, l’énoncé de l’option (A) ne représente pas une fonction. Ainsi, en particulier, cet énoncé ne peut pas représenter une fonction injective. Toutes les fonctions doivent avoir une image par antécédent. En d’autres termes, nous ne pouvons pas avoir plusieurs éléments dans l’ensemble image représentant le même élément du domaine de définitions.
Passons maintenant à l’option (B). Elle indique que pour chaque élément de l’ensemble d’arrivée, il doit y avoir un élément correspondant dans le domaine de définition. Cela pourrait sembler être la bonne réponse. Néanmoins, nous devons être prudents. On ne nous donne aucune information sur le nombre d’éléments. Le moyen le plus simple de voir pourquoi cette option ne représente pas nécessairement une fonction injective est d’utiliser un exemple.
Considérons la fonction suivante 𝑓 définie par ce diagramme sagittal. L’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble contenant un et deux. Nous avons défini l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image de cette fonction comme étant égal à zéro puisque nous allons faire en sorte que toutes les images de cette fonction soient zéro. Il convient de noter que l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image d’une fonction n’ont pas besoin d’être les mêmes. L’ensemble image est l’ensemble de toutes les sorties possibles, mais l’ensemble d’arrivée est l’ensemble contenant l’ensemble image. Cependant, nous pouvons les choisir comme étant les mêmes puisque nous choisissons notre fonction 𝑓.
Nous pouvons voir que notre fonction 𝑓 satisfait à l’énoncé (B). Pour ce faire, nous devons vérifier que chaque élément de l’ensemble d’arrivée de notre fonction a un élément correspondant dans l’ensemble de définition. Nous pouvons simplement vérifier cela à partir du diagramme donné. Nous avons un élément dans l’ensemble d’arrivée et nous devons vérifier qu’il a un élément correspondant dans le domaine de définition. En fait, il en a deux : 𝑓 évalué en un est nul et 𝑓 évalué en deux est nul. Cependant, en utilisant la même logique, nous pouvons montrer que cette fonction n’est pas une fonction injective puisque les fonctions injectives doivent avoir chaque élément dans l’ensemble image correspondant exactement à un élément du domaine de définition. Ainsi, vu qu’il y a deux éléments qui donnent zéro dans notre fonction 𝑓, nous savons qu’elle n’est pas une fonction injective. Ainsi, l’énoncé de l’option (B) ne peut pas représenter des fonctions injectives.
En fait, cette option représente un type de fonction différent, appelé fonction surjective. Ce sont des fonctions pour lesquelles l’ensemble image et l’ensemble d’arrivée sont les mêmes. En d’autres termes, chaque élément de l’ensemble d’arrivée de la fonction doit avoir un élément correspondant dans le domaine de définition. Ainsi, chaque élément de l’ensemble d’arrivée a un antécédent. Seulement, cela ne nous aide pas à répondre à la question. Passons maintenant à l’option (C).
L’option (C) nous indique qu’aucun élément de l’ensemble image ne peut avoir plus d’un élément correspondant dans l’ensemble de définition. Traçons encore une fois un diagramme sagittal pour essayer de déterminer ce que cette propriété signifie. Commençons par le domaine de définition qui est l’ensemble des éléments un, deux et trois et un ensemble d’arrivée qui est l’ensemble un, deux et trois.
Dans l’énoncé (C), on nous dit qu’aucun élément de l’ensemble image ne peut avoir plus d’un élément correspondant dans l’ensemble de définition. Nous pouvons commencer par rappeler que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les images de la fonction. En d’autres termes, ce seront tous les éléments de l’ensemble d’arrivée qui auront une flèche pointant vers eux. Alors, disons que nous voulons que un soit dans l’ensemble image de notre fonction. Cela signifie qu’il doit y avoir un élément dans le domaine de définition qui correspond à un.
Nous pouvons choisir n’importe quel élément du domaine de définition comme étant cette valeur. Alors, disons que 𝑓 évalué en un vaut un. Cette propriété nous indique maintenant que nous ne pouvons pas avoir plus d’un élément correspondant à un. Ainsi, l’affirmation (C) nous dit que nous ne pouvons pas avoir 𝑓 évalué en deux qui vaut un. Maintenant, nous pouvons remarquer la similitude avec la définition d’une fonction injective. Chaque élément de l’ensemble image correspond exactement à un élément du domaine de définition. Ce n’est qu’une formulation légèrement différente de la même affirmation.
Cette fois, on nous dit de n’importe quel élément de l’ensemble image de notre fonction qu’il y a exactement un élément dans le domaine de définition qui lui est associé, c’est-à-dire qu’une seule flèche pointe vers lui dans l’ensemble d’arrivée. Nous ne pouvons pas avoir deux flèches pointant vers le même élément dans l’ensemble d’arrivée. Nous avons donc montré que l’option (C) est la bonne réponse. Cependant, vérifions également les options (D) et (E), dans un esprit de rigueur intellectuelle.
L’option (D) nous indique que pour chaque élément du domaine de définition, il y a exactement un élément qui lui correspond dans l’ensemble image. Nous pouvons une fois de plus réfléchir à cela en utilisant un diagramme sagittal. Cette fois, on nous dit que chaque élément de l’ensemble de définition de cette fonction correspond exactement à un élément de l’ensemble d’arrivée. Seulement, on ne nous dit aucune information sur le caractère unique ou le nombre de flèches pointant vers des éléments de l’ensemble d’arrivée.
Par exemple, nous pourrions avoir 𝑓 évalué en un qui vaut un et 𝑓 évalué en deux qui vaut aussi un. Nous pouvons voir que chaque élément de l’ensemble de définition de cette fonction a exactement un élément qui lui correspond dans l’ensemble image. Bien sûr, ceci n’est pas une fonction injective puisque nous pouvons voir qu’il y a deux éléments qui donnent un : 𝑓 de un vaut un et 𝑓 de deux vaut un. L’option (D) ne représente donc pas une fonction injective.
Cependant, nous pouvons reconnaître cette définition comme la définition d’une fonction. Cette affirmation nous indique simplement que pour chaque valeur d’entrée, nous avons exactement une valeur de sortie. Nous avons une fonction. Cependant, il ne s’agit pas d’une fonction injective : passons maintenant à l’option (E).
L’option (E) nous dit que pour chaque élément de l’ensemble image, il existe plus d’un élément qui lui correspond dans l’ensemble de définition et vice versa. Bien que nous puissions construire un diagramme sagittal représentant cette relation, nous pouvons déjà utiliser l’option précédente. Dans cette fonction, nous pouvons voir que chaque élément de l’ensemble image correspond à plus d’un élément de l’ensemble de définition. Il s’agit du premier critère de l’option (E). Cependant, nous avons déjà expliqué que la fonction 𝑓 ne peut pas être une fonction injective. La première partie de cette déclaration nous dit elle-même que cette fonction ne peut pas être injective, l’option (E) est donc fausse.
Par conséquent, parmi les cinq options données, seule l’option (C) décrit une fonction injective. Il s’agit d’une fonction où aucun élément de l’ensemble image ne peut avoir plus d’un élément correspondant dans le domaine de définition.
