Transcription de la vidéo
Soit 𝑋 une variable aléatoire continue avec une fonction de densité de probabilité 𝑓 de 𝑥 égale un huitième multiplié par six 𝑥 moins sept si 𝑥 est compris entre deux et trois compris ou qui vaut zéro sinon. Déterminez la probabilité que 𝑋 soit compris entre deux et 2,5.
Une variable aléatoire continue est caractérisée par sa fonction de densité de probabilité. C’est une fonction positive dont l’aire sous la courbe est égale à un et qui représente la probabilité de l’univers complet de toutes les possibilités. On a souvent recours à l’intégration lorsqu’on cherche à déterminer une probabilité à partir de la fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire continue. Cette fonction de densité de probabilité nous a été fournie dans l’énoncé comme une formule. Donc, nous pouvons utiliser une intégrale pour déterminer la probabilité demandée. Alors la probabilité que 𝑋 soit comprise entre deux et 2,5 est donc égale à l’intégrale entre deux et 2,5 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.
Sur l’intervalle que nous considérons, entre deux et 2,5, 𝑓 de 𝑥 est égal à un huitième multiplié par six 𝑥 moins sept car c’est la valeur donnée dans l’énoncé pour 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est compris entre deux et trois. Donc, nous allons déterminer l’intégrale entre deux et 2,5 de un huitième multipliée par six 𝑥 moins sept par rapport à 𝑥. Commençons par sortir un huitième devant l’intégrale. Alors, nous avons un huitième multiplié par l’intégrale entre deux et 2,5 de six 𝑥 moins sept par rapport à 𝑥. Nous pouvons maintenant utiliser les propriétés classiques d’intégration pour intégrer six 𝑥 moins sept.
Nous savons que pour intégrer une puissance de 𝑥, il faut ajouter un à la puissance et diviser par la nouvelle puissance. Et nous pouvons faire cela terme par terme. Ainsi, six 𝑥 s’intègre en six 𝑥 au carré sur deux, ce qui se simplifie en trois 𝑥 au carré. Et moins sept est une constante, qui s’intègre en moins sept 𝑥. Alors, nous avons presque fini. Nous avons juste besoin de faire le calcul entre les bornes d’intégration. Pour cela, nous remplaçons d’abord la valeur de la borne supérieure, qui est 2,5. Et puis nous soustrayons la primitive en remplaçant 𝑥 par la valeur de la borne inférieure, qui est deux.
Maintenant, il reste juste à simplifier. 2,5 au carré est égal à 25, sur quatre. Donc, quand en multipliant cette valeur par trois, nous obtenons 75 sur quatre. Et sept multiplié par 2,5 est égal à 35 sur deux. Notons que nous conservons toutes les valeurs sous forme de fraction ici. Trois multiplié par deux au carré est égal à trois multiplié par quatre. Donc, cela fait 12. Et sept multiplié par deux nous donne 14.
Alors, pour simplifier les premières parenthèses, exprimons 35 sur deux avec un dénominateur égal à quatre. Ce qui fait 70 sur quatre. Donc, pour simplifier, nous avons 75 sur quatre moins 70 sur quatre, soit cinq sur quatre. Donc, nous avons un huitième multiplié par cinq sur quatre. Et puis soustrayons cette parenthèse, qui est égale à 12 moins 14. Ce qui fait donc deux. Comme moins deux est égal à moins huit sur quatre, nous avons un huitième multiplié par cinq sur quatre moins moins huit sur quatre. Mais lorsqu’on soustrait un nombre négatif, cela revient à ajouter. Nous avons donc un huitième multiplié par 13 sur quatre. Et en multipliant les numérateurs et les dénominateurs, nous obtenons 13 sur 32.
C’est donc la réponse finale. La probabilité que 𝑋 soit compris entre deux et 2,5 compris est égale à 13 sur 32.
