Transcription de la vidéo
Un satellite est en orbite autour de la Terre avec un rayon orbital de 42200 kilomètres et se déplace à une vitesse de 3,1 kilomètres par seconde. Le satellite a une orbite circulaire. Quelle est la circonférence de l’orbite du satellite ? Donnez votre réponse en kilomètres en utilisant la notation scientifique à une décimale près. Quelle est la période de l’orbite du satellite ? Donnez votre réponse en heures à l’heure près.
Alors, cette question concerne un satellite en orbite autour de la Terre. Et dans la première partie de la question, on nous demande de déterminer la circonférence de l’orbite du satellite. On nous dit que le satellite a un rayon orbital de 42200 kilomètres. Donc, si cette tache bleue représente la Terre et cette tache rose représente le satellite, cette ligne en pointillés orange représente la trajectoire de l’orbite du satellite, qui on nous dit est circulaire. Et cette orbite a un rayon 𝑟 mesuré à partir du centre de masse de la Terre, où 𝑟 est égal à 42200 kilomètres. Nous avons donc une orbite circulaire dont nous connaissons le rayon, et on nous demande de trouver sa circonférence.
Rappelons que la circonférence d’un cercle 𝑐 est égale à deux 𝜋 multipliée par son rayon 𝑟. En prenant cette équation pour la circonférence d’un cercle et en insérant la valeur de rayon de l’orbite de notre satellite, nous obtenons que la circonférence de cette orbite soit égale à deux 𝜋 multiplié par 42200 kilomètres. Cette multiplication nous donne que la circonférence de l’orbite est de 265150,4… kilomètres, où les trois petits points indiquent qu’il y a d’autres décimales. La question nous demande de donner notre réponse en kilomètres en utilisant la notation scientifique à une décimale près.
Or, notre réponse est déjà en unités de kilomètres, mais nous devons toujours la convertir en notation scientifique. Pour mettre ce nombre en notation scientifique, on déplace la virgule un, deux, trois, quatre, cinq places vers la gauche. Donc, notre résultat devient 2,651504 etcetera fois 10 puissance cinq avec comme unité des kilomètres. Enfin, en arrondissant cela à une décimale, notre résultat s’arrondi à 2,7 fois 10 puissance cinq kilomètres. Et donc notre réponse à la première partie de la question est que la circonférence de l’orbite du satellite est égale à 2,7 fois 10 puissance cinq kilomètres.
Si nous regardons maintenant la deuxième partie de la question, nous voyons qu’on nous demande de trouver la période de l’orbite du satellite. Nous savons que le rayon de l’orbite du satellite, que nous avons déjà nommé 𝑟, est égal à 42200 kilomètres. La question nous dit également que le satellite se déplace sur cette orbite à une vitesse de 3,1 kilomètres par seconde. Nommons la vitesse 𝑣. On peut rappeler que pour un objet se déplaçant sur une orbite circulaire, la période orbitale 𝑇 majuscule est égale à deux 𝜋 multipliés par le rayon de l’orbite 𝑟 divisé par la vitesse 𝑣. Maintenant, il convient de souligner que cette équation n’est en réalité rien d’autre qu’une autre façon d’écrire l’équation qui est peut-être plus connue : la vitesse est égale à la distance divisée par le temps.
Si nous prenons cette équation vitesse-distance-temps et que nous multiplions les deux côtés par le temps, alors à droite, nous pouvons annuler le temps au numérateur avec le temps au dénominateur. Ensuite, si nous divisons les deux côtés par la vitesse, sur le côté gauche, nous pouvons annuler la vitesse au numérateur avec la vitesse au dénominateur. Maintenant, pour un objet se déplaçant sur une orbite circulaire, alors dans un temps égal à une période 𝑇 majuscule, l’objet parcourt une orbite complète. En d’autres mots, elle parcourt une distance égale à la circonférence 𝑐 de l’orbite. Nous savons que 𝑐 est égal à deux 𝜋 multiplié par le rayon 𝑟 et que nous avons nommé la vitesse 𝑣.
Donc, si nous regardons maintenant cette équation, nous voyons qu’en commençant par la simple équation vitesse-distance-temps, nous sommes revenus à notre équation pour la période d’une orbite circulaire. Nous connaissons les valeurs du rayon 𝑟 et de la vitesse 𝑣 du satellite, nous pouvons donc substituer ces valeurs dans cette équation afin de calculer la période 𝑇 majuscule. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons que 𝑇 majuscule est égale à deux 𝜋 multipliés par 42200 kilomètres divisés par 3,1 kilomètres par seconde. Calculer la valeur de cette expression donne un résultat de 85532,39… secondes, où les trois petits points indiquent qu’il y a davantage de décimales. Notez que puisque le rayon 𝑟 a été donné en kilomètres et que la vitesse était en kilomètres par seconde, alors notre période 𝑇 majuscule est en secondes.
Cependant, la question nous demande de donner notre réponse en heures. Nous savons qu’il y a 60 secondes dans chaque minute et qu’il y a 60 minutes dans chaque heure. De manière équivalente, on peut dire qu’il y a un soixantième de minute par seconde et un soixantième d’heure par minute. Donc, pour convertir notre résultat en unités d’heures, nous prenons la valeur en secondes et la multiplions par un sur 60 minutes par seconde, puis à nouveau par un sur 60 heures par minute. Si nous suivons ce qui se passe avec les unités, nous voyons que nous avons des secondes qui s’annulent avec le par seconde et que nous avons des minutes qui s’annulent avec le par minute. Cela nous laisse avec des heures. Cette multiplication nous donne la période de l’orbite en heures comme 23,759… heures où, de nouveau, les trois petits points indiquent qu’il y a d’autres décimales.
Comme dernière étape, la question veut que le résultat soit donné à l’heure près, nous devons donc arrondir cette valeur au nombre entier d’heures le plus proche. Cela donne notre réponse finale à la question selon laquelle, à l’heure près, la période de l’orbite du satellite est égale à 24 heures.
