Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la formule pour calculer les caractéristiques orbitales d’une planète, d’un satellite naturel ou artificiel sur une orbite circulaire.
Rappelons qu’il existe deux types d’orbites. Sur une orbite circulaire, l’objet en orbite reste à une distance constante de l’autre objet autour duquel il tourne. Certains objets sont également sur des orbites elliptiques, où la distance entre les deux objets change constamment. Ici, on va se concentrer sur les orbites circulaires.
Le schéma ci-dessus montre un objet en orbite circulaire autour d’un autre objet plus grand. La trajectoire orbitale indiquée par un cercle est la trajectoire tracée par le centre de masse de l’objet plus petit lorsqu’il se déplace le long de son orbite. Le rayon orbital, , est la distance entre le centre de masse de l’objet le plus grand et le trajet orbital.
Si on connaît la valeur de , on peut aussi calculer la longueur totale du trajet orbital, ou la circonférence de l’orbite. Si l’on appelle la circonférence totale , alors , ou la circonférence d’un cercle de rayon .
Regardons un exemple de calcul de la distance parcourue le long d’une orbite circulaire.
Exemple 1: Déterminer la distance parcourue le long d’une orbite circulaire
Mars tourne autour du Soleil à une distance d’environ 228 000 000 km. En supposant que Mars a une orbite circulaire, quelle est la distance parcourue par la planète après avoir réalisé une orbite complète autour du Soleil ? Donne ta réponse en notation scientifique, au dixième près.
Réponse
Dans cet exemple, on a la planète Mars en orbite circulaire autour du Soleil, comme sur le schéma ci-dessous.
On nous donne la distance, , entre Mars et le Soleil, . On doit calculer la distance parcourue par la planète après une orbite complète, c’est-à-dire la circonférence de l’orbite.
Rappelons que la circonférence, , d’un cercle est lié au rayon, , par .
Notons que a été donnée en kilomètres (km), notre réponse pour sera donc également en kilomètres. On a au kilomètre le plus proche.
Maintenant, on doit indiquer la réponse en notation scientifique au dixième près, la réponse finale pour la distance, , parcourue par Mars après une orbite autour du Soleil est donc de
Dans l’exemple suivant, on fera cela en sens inverse, en déterminant le rayon orbital à partir de la circonférence.
Exemple 2: Déterminer le rayon d’une orbite circulaire
Mercure parcourt 364 millions de kilomètres quand elle complète une orbite autour du Soleil. En supposant que Mercure ait une orbite circulaire, à quelle distance du Soleil se situe Mercure ? Donne ta réponse en notation scientifique, au centième près.
Réponse
Dans cet exemple, on nous donne la distance totale parcourue par Mercure au cours d’une orbite, qui est équivalente à la circonférence de l’orbite. La quantité que l’on doit trouver est la distance entre Mercure et le Soleil, ou le rayon orbital.
Rappelons que le rayon, et la circonférence, , d’un cercle sont liés par
On doit trouver , on doit donc d’abord diviser les deux côtés de cette équation par afin d’avoir
On nous donne la circonférence, , comme 364 millions de kilomètres, qui est équivalent à 364 000 000 km. En la remplaçant dans l’équation ci-dessus, on a au kilomètre le plus proche. Notons que le rayon est en kilomètres parce que la circonférence que l’on a utilisée était en kilomètres.
La distance par rapport au Soleil de l'orbite Mercure est, par conséquent, , écrit en notation scientifique au centième près.
Considérons maintenant la vitesse d’un objet sur une orbite circulaire.
Le schéma ci-dessous montre le même objet à deux positions différentes sur son orbite circulaire. A la première position en haut du schéma, il a une vitesse , et à la deuxième position à droite, il a une vitesse .
On peut voir sur le schéma que les directions de et sont différentes. Cependant, les intensités sont les mêmes. C’est vrai pour toute position le long de l’orbite.
Pour tout objet en orbite circulaire, la direction de son vecteur vitesse change avec le temps, mais l’intensité du vecteur vitesse, qu’on appellee simplement vitesse, reste constante.
Une autre façon de le dire est que la vitesse orbitale est constante. Si on appelle la vitesse orbitale , on peut dire que est la même en tous points de l’orbite.
La grandeur finale avec laquelle on veut travailler par rapport aux orbites circulaires est le temps nécessaire pour compléter une orbite, également appelée période orbitale. On notera la période orbitale comme . C’est la durée mise, depuis n’importe quelle position de départ le long de l’orbite, pour que l’objet parcourt toute la circonférence et retourne au point de départ.
Pour une planète se déplaçant sur une orbite autour du Soleil, la période orbitale est la définition de une ans pour cette planète. Par exemple, une ans sur Terre est environ 365 jours, car il faut environ 365 jours pour que la Terre complète une orbite autour du Soleil.
Dans l’exemple suivant, on va travailler sur la conversion entre les ans pour différentes planètes.
Exemple 3: Comprendre les périodes orbitales
Vénus met 225 jours pour compléter son orbite autour du Soleil.
Combien de temps dure cette période en ans terrestre ? Utilise une valeur de 365 pour le nombre de jours dans une an terrestre. Donne ta réponse au centième près.
Combien de temps la Terre met-elle pour compléter son orbite autour du Soleil en ans de Vénus ? Donne ta réponse au centième près.
Réponse
Cet exemple nécessite de relier les périodes orbitales, ou ans, de deux planètes : la Terre et Vénus.
On abordera la première partie de la question de la même manière que l’on convertirait différentes unités pour différentes grandeurs : on nous donne ici la période de l’orbite de Vénus en jours, et on doit l’exprimer en ans. On le fera en multipliant par une fraction égale à 1, on ne changera donc pas la valeur, et on convertit l’unité de jours en ans terrestre. On nous donne la durée d’une an terrestre, 365 jours, on peut donc utiliser ceci . Si on appelle la période orbitale de Vénus, alors on a au centième près.
Pour la deuxième partie, on doit déterminer combien de temps la Terre met pour compléter son orbite autour du Soleil en ans de Vénus. Ici, on doit rappeler que la durée pour compléter une orbite autour du Soleil est la période orbitale, qui est équivalente à une ans pour chaque planète.
On nous donne la durée d’une an terrestre, 365 jours, c’est donc le temps qu’il faut à la Terre pour compléter son orbite autour du Soleil en jours, on l’appellera . On doit maintenant convertir cela en ans de Vénus, ou en période orbitale de Vénus, qui est de 225 jours. Pour convertir les jours en an de Vénus , il faut multiplier le nombre de jours dans une année terrestre par , donc au centième près.
Maintenant, on connaît la distance parcourue par l’objet au cours d’une orbite, , et on sait qu’il se déplace avec une vitesse constante, . Rappelons que la vitesse et la distance sont liées par
En utilisant la formule ci-dessus, on peut relier la période orbitale, , à la vitesse orbitale, , et la distance totale parcourue, qui est , avec le rayon de la trajectoire orbitale, comme suit :
Exerçons nous un peu en utilisant cette équation dans quelques exemples.
Exemple 4: Déterminer la vitesse orbitale à partir du rayon et de la période pour les orbites circulaires
Un satellite est en orbite autour de la Terre selon un rayon orbital de 10 000 km. Sa période orbitale est de 2,8 heures. À quelle vitesse se déplace le satellite ? Donne ta réponse au kilomètre par seconde le plus proche.
Réponse
Dans cet exemple, on a un satellite en orbite autour de la Terre. On nous donne le rayon orbital, qui est la distance du satellite au centre de masse de la Terre, et la période orbitale, qui est le temps mis par le satellite pour compléter une orbite. On doit déterminer la vitesse du satellite.
Rappelons que la vitesse orbitale, , est donnée par avec le rayon orbital et la période orbitale. Ces grandeurs sont toutes les deux données dans la question : et .
On doit trouver en kilomètres par seconde (km/s), ce qui signifie que l’on doit indiquer la distance en kilomètres et la durée en secondes. On a déjà en kilomètres, mais est donné en heures, on doit donc d’abord convertir cela en secondes. Rappelons que , et , alors . Par conséquent,
Maintenant, on peut remplacer et dans l’équation pour , ce qui donne au kilomètre par seconde le plus proche.
Exemple 5: Déterminer la période orbitale à partir du rayon et de la vitesse pour les orbites circulaires
Le tableau montre des données sur le satellite de Saturne, Titan. En utilisant ces données, calcule la période orbitale de Titan autour de Saturne. Supposons que Titan ait une orbite circulaire. Donne ta réponse en jours au jour le plus proche.
| Titan (satellite de Saturne) | |
|---|---|
| Diamètre | 5 150 km |
| Rayon orbital | 1 220 000 km |
| Vitesse orbitale | 5,57 km/s |
| Masse | |
Réponse
Ici, on nous demande de calculer la période orbitale du satellite Titan sur une orbite circulaire autour de la planète Saturne. Pour nous aider, on nous donne le diamètre, le rayon, la vitesse et la masse de Titan.
Rappelons que cette période orbitale, , est liée à la vitesse orbitale, et au rayon orbital, , par l’équation ce sont donc les seules grandeurs que l’on doit utiliser ; on peut ignorer la masse et le diamètre de Titan, car ils n’ont aucun effet sur la période orbitale.
Puisque la période orbitale, , est la grandeur que l’on doit trouver, on doit réarranger cette équation en fonction de . On fait cela en multipliant les deux côtés de l’équation par de sorte que
Avant de remplacer les valeurs, et , on doit vérifier qu’elles sont dans les bonnes unités. Les deux unités de distance (le rayon en kilomètres et l’élément de distance de la vitesse en kilomètres par seconde) sont donnés en kilomètres, ces unités vont donc s’annuler correctement. La durée est donnée en secondes, on obtient donc un résultat pour la période orbitale en secondes. En remplaçant ces valeurs, on a à la seconde la plus proche.
On nous demande de donner ceci en jours au jour la plus proche, on doit donc convertir cette valeur en jours. Rappelons que , , et . Par conséquent, au jourle plus proche.
Exemple 6: Déterminer la période orbitale à partir du rayon et de la vitesse pour les orbites circulaires
Un satellite est en orbite autour de la Terre selon un rayon orbital de 7 720 km et se déplace à une vitesse de 7,2 km/s. Le satellite a une orbite circulaire.
Quelle est la circonférence de l’orbite du satellite ? Donne ta réponse en kilomètres, en utilisant la notation scientifique, au dixième près.
Quelle est la période de l’orbite du satellite ? Donne ta réponse en minutes à la minute la plus proche.
Réponse
Dans cet exemple, on considère un satellite artificiel en orbite circulaire autour de la Terre. On nous donne le rayon et la vitesse de l’orbite, et on va d’abord devoir déterminer la circonférence de l’orbite du satellite.
Rappelons que la circonférence, , d’un cercle est lié au rayon, , par .
On peut donc trouver à partir du rayon orbital, , comme suit : au kilomètre le plus proche. On nous demande de donner cela en notation scientifique au dixième près, cela devient donc .
Ensuite, on doit déterminer la période de l’orbite du satellite. Rappelons que cette période orbitale, , est liée au rayon orbital, et à la vitesse, , par et on a déjà trouvé , on doit donc pouvoir remplacer cela pour que l’on ait
On doit trouver , on peut donc réarranger cette équation en fonction de en multipliant les deux côtés par , ce qui donne
On peut maintenant remplacer avec les nombres et . Notons que l’on utilise la valeur de avant d’arrondir pour ne pas accumuler d’erreurs d’arrondi. Les deux unités de distance sont le kilomètres, et la durée est en secondes, donc en utilisant ces valeurs on aura une période orbitale en secondes. On a maintenant à la seconde la plus proche.
On nous demande en minutes à la minute la plus proche, on doit donc convertir cette valeur en minutes. Rappelons que , donc à la minute la plus proche.
Exemple 7: Comprendre la vitesse orbitale et la période orbitale
Deux planètes, A et B, sont en orbite autour d’une étoile. Les deux planètes ont des orbites circulaires. La planète A tourne autour de l’étoile à une distance de et à une vitesse de 30 km/s. La planète B tourne autour de l’étoile à une distance de et à une vitesse de 17 km/s.
Combien de fois la longueur de l’orbite de la planète B est-elle supérieure à celle de la planète A ?
En combien de temps de plus la planète B complète une orbite autour de l’étoile par rapport à la planète A ? Donne ta réponse à une décimale près.
Réponse
Ici, on a un système consistant en une étoile avec deux planètes, A et B, en orbite autour d’elle. La configuration est illustrée sur le schéma ci-dessous.
Le rayon orbital de la planète A est noté , et sa vitesse . Le rayon orbital de la planète B est représenté par , et sa vitesse orbitale .
La planète B est située plus loin de l’étoile que la planète A, donc son rayon orbital est plus grand, et la longueur de son orbite sera également plus grande. On nous demande de déterminer combien de fois la trajectoire orbitale de la planète B est plus grande que la trajectoire orbitale de la planète A. Une autre façon de dire cela consiste à affirmer que si on appelle la longueur du trajet orbital de la planète A , et la longueur du trajet orbital de la planète B , on doit trouver .
Rappelons que la circonférence d’un cercle, , est lié au rayon, , par . On peut donc dire que
Sur le côté droit, on a le facteur en haut et en bas de la fraction, ils s’annulent donc et il nous reste
On peut maintenant remplacer les valeurs données dans la question, et , on a donc , la longueur de l’orbite de la planète B est donc 3,2 fois plus longue que l’orbite de la planète A.
Dans la deuxième partie de la question, on doit déterminer en combien de temps de plus la planète B complète une orbite autour de l’étoile par rapport à la planète A. En d’autres termes, on doit trouver , avec la période orbitale de la planète B et la période orbitale de la planète A.
Rappelons que cette période orbitale, , est liée à la vitesse orbitale, et au rayon, , par
On peut réarranger cela en fonction de en multipliant les deux côtés de l’équation par , ce qui donne
On peut écrire comme . En remplaçant dans l’équation , on a
Si on rapproche les termes semblables, on a
On a en haut et en bas de la fraction, ils annulent donc, et on a déjà trouvé que ci-dessus. Si l’on remplace dans cela les vitesses orbitales et , on a à une décimale près. Par conséquent, il faut environ 5,6 fois plus de temps à la planète B pour compléter son orbite autour de l’étoile par rapport à la planète A.
Points clés
- Les objets en orbites circulaires ont une vitesse constante appelée vitesse orbitale.
- Dans une orbite circulaire, la circonférence de l’orbite, , est liée au rayon de l’orbite, , par .
- Le temps nécessaire pour compléter une orbite est appelé la période orbitale et est noté .
- La vitesse orbitale, , la période orbitale, , et le rayon de la trajectoire orbitale, , sont liés par
