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Vidéo de la leçon : Mécanique Orbitale Physique

Dans cette leçon, nous allons apprendre à utiliser la formule 𝑇 = 2𝜋𝑟 / 𝑣 pour calculer les caractéristiques orbitales d’une planète, d’une lune ou d’un satellite artificiel sur une orbite circulaire.

12:40

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, notre sujet est la mécanique orbitale. La mécanique orbitale consiste à décrire mathématiquement le mouvement d’objets qui se déplacent sur des orbites, des objets tels que des planètes, des lunes ou des satellites. Nous allons découvrir et utiliser deux équations qui décrivent ce mouvement. Alors, allons-y. Nous pouvons rappeler de ce que nous savons déjà qu’il existe en général deux types d’orbites. La première est circulaire, où l’objet en orbite se trouve à une distance constante de l’objet autour duquel il est en orbite. Et il y a aussi des orbites elliptiques où la distance entre les deux objets change constamment.

Dans cette leçon, nous allons nous concentrer spécifiquement sur les orbites circulaires. Ce sont des situations où le rayon orbital, nous pouvons l’appeler 𝑟, a une valeur constante tout au long de l’orbite. C’est ce que veut dire une trajectoire orbitale circulaire. Eh bien, en considérant de plus près ce cas d’une orbite circulaire, nous pouvons voir qu’il existe un certain nombre de paramètres. Nous avons déjà vu qu’il y a un rayon orbital, puis, avec cela, nous savons que l’objet en orbite aura une vitesse orbitale. Nous pouvons appeler cette vitesse v.

Naturellement, la raison pour laquelle nous disons que cet objet se déplace sur une orbite est parce qu’il se déplace selon un chemin qu’il suit à répétition. Une fois que l’objet a fini de faire le tour du cercle, il recommence alors sur le même chemin. Nous pouvons voir que la distance de ce chemin est égale à la circonférence du cercle avec une valeur de rayon de 𝑟. Et cela nous amène à notre première relation mathématique pour décrire le mouvement orbital.

Si nous voulons connaître la circonférence d’une orbite circulaire, nous l’appellerons 𝑐, alors nous multiplions deux par 𝜋 et multiplions cela par le rayon de l’orbite. En regardant cette équation, nous pouvons nous rappeler que c’est l’équation de la circonférence d’un cercle, qu’il y ait mouvement orbital ou non. L’utilité de cette équation, pour nos besoins, est qu’elle nous indique la distance parcourue par notre objet lors d’une révolution autour de son orbite.

Eh bien, nous avons dit que notre objet a une vitesse constante, nous l’avons appelé v, alors qu’il se déplace sur cette orbite. Et nous savons maintenant qu’en parcourant une révolution, il parcourt une distance que nous pouvons appeler 𝑐. Donc, nous avons une vitesse constante et une distance parcourue par un objet se déplaçant à cette vitesse. Et cela peut nous rappeler une équation qui relie la vitesse, la distance et une troisième variable, le temps. Nous pouvons nous rappeler qu’en général, la vitesse moyenne d’un objet est égale à la distance parcourue par cet objet divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance.

Dans notre cas, nous avons une vitesse v. C’est la vitesse de notre objet en orbite. Et nous pouvons dire que la distance 𝑑 parcourue par notre objet est égale à la circonférence du cercle qu’il parcourt. Donc, si nous devions réécrire cette équation pour que la vitesse moyenne s’applique au cas du mouvement orbital circulaire, nous pourrions écrire que la vitesse est égale à la distance, qui est deux fois 𝜋 fois 𝑟, divisée par le temps. Et quand il en vient au temps dans cette équation, nous pouvons voir que ce temps représente la durée nécessaire à l’objet pour parcourir la trajectoire circulaire une fois. Mais il y a un nom particulier pour cette quantité de temps. Cela s’appelle la période orbitale. Et il est généralement représenté non pas par 𝑡 minuscule mais par 𝑇 majuscule.

Pour déterminer la période orbitale d’un objet en orbite, nous pourrions faire quelque chose comme ça. Étant donné une certaine position de cet objet que nous pouvons appeler sa position de départ, nous pouvons démarrer un chronomètre. Et puis, alors que l’objet se déplace autour de son orbite circulaire, attendez jusqu’à ce qu’il revienne à l’endroit où il a commencé. À cet instant, nous arrêtons notre chronomètre, et le temps total écoulé est la période orbitale de l’objet. Cela signifie que nous avons maintenant une relation mathématique qui relie la vitesse, la distance et le temps, mais en termes de mouvement orbital. Ici, 𝑇 est la période orbitale, deux fois 𝜋 fois 𝑟 est la longueur de l’orbite, la circonférence du cercle qui la représente, et 𝑠, comme nous l’avons vu, est la vitesse orbitale.

Une des raisons pour lesquelles nous parlons de vitesse orbitale plutôt que de vecteur vitesse orbitale est que la vitesse peut être constante lorsque cet objet se déplace sur son orbite. C’est parce que la vitesse, nous nous souvenons, est une quantité scalaire. Il n’y a pas de direction associée, mais seulement une magnitude ou amplitude. Cela signifie que même si notre objet en orbite se déplace sur la trajectoire circulaire, il aura une vitesse constante. Il se déplacera toujours au même nombre, par exemple, de mètres par seconde ou de kilomètres par seconde. Mais le vecteur vitesse de cet objet, en revanche, changera constamment. Et c’est parce que le vecteur vitesse, en tant que vecteur, prend en compte les changements de direction. Et nous pouvons voir que la direction de cet objet en orbite change toujours.

Donc, pour une orbite circulaire comme celle-ci, la vitesse de l’objet en orbite est constante, mais pas le vecteur vitesse. Et cette vitesse est égale à deux fois 𝜋 fois le rayon orbital divisé par la période orbitale, le temps nécessaire à l’objet pour faire un tour complet. Une fois que nous avons ces descriptions mathématiques sur la façon dont les objets qui suivent des orbites circulaires se déplacent, commençons à nous entraîner avec ces équations à travers un exemple.

Disons que nous avons ce scénario.

Une planète se déplace autour d’une étoile selon une orbite circulaire. Le rayon de cette orbite est de 6,0 fois 10 à la puissance sept kilomètres, et le temps nécessaire à cette planète pour faire le tour complet de son orbite est de 210 jours. C’est la période orbitale. Sachant tout cela, disons que nous voulons calculer la vitesse de cet objet en orbite, laquelle nous appelons vitesse orbitale v.

Pour commencer à calculer v, nous pouvons rappeler une équation générale pour les objets qui se déplacent avec une vitesse constante. Cette relation indique que la vitesse d’un objet est égale à la distance parcourue par l’objet divisée par le temps pris. Dans notre exemple, nous voulons calculer la vitesse orbitale v. Et pour ce faire, nous devrons connaître la distance parcourue par l’objet pour parcourir une orbite complète et le temps nécessaire pour le faire. Eh bien, on nous donne le temps. C’est la période orbitale, 𝑇 majuscule. Mais nous ne connaissons pas encore la distance orbitale parcourue. Mais en regardant à nouveau notre orbite, nous pouvons voir que cette distance sera égale à la circonférence du cercle avec un rayon 𝑟.

En réalisant cela, nous nous souvenons que la circonférence, 𝑐, d’un cercle est égale à deux fois 𝜋 fois le rayon du cercle. Et cette circonférence est ici la distance 𝑑 que nous voulons utiliser dans notre équation pour la vitesse orbitale. Donc, voici ce que nous pouvons écrire. La vitesse orbitale de notre objet, que nous voulons calculer, est égale à la distance parcourue, soit une fois autour de l’orbite circulaire, deux fois 𝜋 fois 𝑟, le tout divisé par la période orbitale, 𝑇 majuscule. Et en regardant les informations connues, nous pouvons voir que nous obtenons 𝑟 et qu’on nous donne T majuscule. Donc, nous pouvons maintenant remplacer ces deux valeurs dans notre équation pour la vitesse orbitale v.

Après avoir fait cela, nous pouvons voir que si nous calculons cette fraction tout de suite, nous obtiendrons des unités de kilomètres par jour. Ce seront les unités en fonction desquelles nous calculons notre vitesse orbitale. Naturellement, quand on parle de corps astronomiques tels que cette planète en orbite autour d’une étoile, il n’est pas inhabituel de laisser les distances en termes de kilomètres, car les distances sur une échelle astronomique sont si grandes. Mais il est rare de laisser le temps en unités de jours. Donc, au lieu d’exprimer le temps de cette façon, faisons-le en termes de l’unité de base SI, la seconde.

Pour ce faire, nous devrons convertir cette unité de temps. Et voici ce dont nous pouvons nous rappeler pour nous aider. On peut rappeler qu’un jour est égal à 24 heures et qu’une heure est égale à 3600 secondes. Et la raison pour laquelle nous savons qu’une heure vaut 3600 secondes, c’est qu’une heure fait 60 minutes et qu’il y a 60 secondes dans chaque minute. Donc, si nous multiplions 60 minutes par 60 secondes par minute, nous obtenons 3600 secondes. Maintenant, nous voulons réexprimer 210 jours en un certain nombre de secondes. Nous pouvons le faire de cette façon. Nous pouvons prendre notre valeur de temps initiale, 210 jours, et la multiplier par le nombre d’heures dans un jour, puis multiplier par le nombre de secondes dans une heure.

Notez que ces deux fractions, 24 heures dans un jour et 3600 secondes dans une heure, nous sommes parvenus en nous souvenant des conversions de différentes unités de temps. Et lorsque nous multiplions notre valeur de temps initiale de 210 jours par ces deux fractions, regardez ce qui arrive aux unités. Tout d’abord, considérons les jours. Nous avons cette unité dans le numérateur et maintenant aussi dans le dénominateur, ce qui signifie que les multiplier en provoque l’annulation. Et aussi, nous avons des unités d’heures dans le numérateur et le dénominateur. Donc, cette unité de temps s’annule aussi. L’unité qui nous reste, après tout, est simplement une unité de secondes, l’unité de temps que nous voulions.

Donc, pour obtenir cette période orbitale de 210 jours exprimée en secondes, nous devrons multiplier 210 par 24 puis par 3600. En réécrivant notre expression de cette façon, nous pouvons maintenant voir que lorsque nous calculons cette fraction, nous obtiendrons en effet une vitesse 𝑠 en unités de kilomètres par seconde. Et lorsque nous entrons toutes ces valeurs sur notre calculatrice, nous constatons qu’à deux chiffres significatifs, la vitesse orbitale de cette planète en orbite est de 21 kilomètres par seconde. C’est à cette vitesse que cette planète se déplace alors qu’elle parcourt sur son orbite.

Considérons maintenant un deuxième exemple impliquant la mécanique orbitale.

Dans ce cas, un satellite est en orbite circulaire autour de la Terre. En parcourant une révolution complète, le satellite parcourt une distance de 4,0 fois 10 à la puissance 10 mètres. Quel est le rayon de son orbite ?

Donc, dans ce scénario, si voilà la planète Terre, alors on nous dit qu’un satellite est en orbite circulaire autour de la Terre. Et qu’en parcourant une révolution complète de son orbite, c’est-à-dire un tour complet de ce cercle, il parcourt une distance totale donnée à 4,0 fois 10 à la puissance 10 mètres. Sur la base de ces informations, nous voulons calculer le rayon orbital, que nous avons appelé 𝑟. Pour calculer ce rayon, une réalisation clé est qu’il existe une relation mathématique entre la circonférence d’un cercle et son rayon. Cette relation dit que la circonférence de ce cercle, 𝑐, est égale à deux fois 𝜋 multiplié par le rayon du cercle, 𝑟.

Puisque notre satellite se déplace sur une orbite circulaire, cela signifie que cette distance parcourue est égale à la circonférence de la trajectoire circulaire qu’il parcourt. Et cela signifie que nous pouvons utiliser cette relation pour calculer le rayon du cercle, 𝑟. Voici comment nous pouvons le faire. Nous allons commencer par réarranger cette équation de sorte que 𝑟 soit le sujet de l’équation. C’est-à-dire qu’il est tout seul d’un côté de l’équation. Pour ce faire, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par deux fois 𝜋. Et lorsque nous faisons cela, cela signifie que deux fois 𝜋 s’annule sur le côté droit. Il nous reste une équation qui dit que 𝑐 sur deux 𝜋, la circonférence du cercle divisée par deux 𝜋, est égale au rayon du cercle. Et c’est exactement ce que nous voulons calculer.

Finalement, en remplaçant des valeurs dans la partie gauche de cette équation pour calculer 𝑟, nous nous rappelons que 𝜋 au dénominateur est une constante. 𝜋 est égal à 3,1415..., et ainsi de suite. Nous allons donc utiliser une valeur approximative pour 𝜋. Nous le traiterons comme étant exactement égal à 3,14. Ensuite, voyez que la circonférence du cercle nous est donnée dans l’énoncé du problème. C’est 4,0 fois 10 à la puissance 10 mètres. Avant de procéder au calcul de 𝑟, notez que l’unité de cette expression est le mètre, une unité de distance. Alors, le rayon que nous calculons sera en mètres. Lorsque nous calculons cette fraction à deux chiffres significatifs, nous trouvons un résultat de 6,4 fois 10 à la puissance neuf mètres. C’est le rayon de l’orbite de ce satellite.

Résumons ce que nous avons appris sur la mécanique orbitale. En commençant, nous avons vu que les objets en orbite peuvent se déplacer soit en cercles comme ici, soit en ellipses comme ici. Pour le cas des orbites circulaires, nous avons vu que si 𝑐 est la circonférence de cette orbite circulaire, la distance parcourue par l’objet en orbite lors d’une révolution complète autour de son orbite, et 𝑟 est le rayon orbital, alors 𝑐 est égal à deux fois 𝜋 fois 𝑟.

Et puis, en s’imaginant l’objet en orbite se déplaçant à une vitesse que nous pouvons appeler v, nous avons vu que cette vitesse orbitale est égale à la circonférence de l’orbite, deux fois 𝜋 fois son rayon, le tout divisé par T majuscule, la période orbitale, qui est le temps nécessaire à l’objet en orbite pour parcourir une révolution complète. Ces deux relations s’appliquent spécifiquement aux orbites circulaires et nous pouvons les utiliser pour résoudre la période orbitale, la vitesse orbitale, le rayon orbital et la distance parcourue par un objet en mouvement sur son orbite.

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