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Déterminez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq en utilisant le graphique.
À partir du graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux et composée de plusieurs sous-fonctions. Nous nous intéressons au comportement de la fonction 𝑓 lorsque 𝑥 est proche de moins cinq. Examinons donc les sous-fonctions près de cette valeur. Lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à moins 10 mais strictement inférieur à moins cinq, 𝑓 de 𝑥 est définie par la sous-fonction affine indiquée. Notez que le cercle vert et plein à l’extrémité gauche de cette droite indique que la valeur de 𝑥 égale à moins 10 est incluse dans le domaine de définition de cette sous-fonction.
Le cercle vert et creux à l’extrémité droite de cette droite indique que la valeur de 𝑥 égale à moins cinq n’est pas incluse dans le domaine de définition de cette sous-fonction. Lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à moins cinq mais strictement inférieur à moins trois, 𝑓 de 𝑥 est définie par la sous-fonction affine nouvellement indiquée. Lorsque 𝑥 est égal à moins trois, 𝑓 de 𝑥 est définie par le cercle vert et plein de coordonnées moins trois, moins deux. Nous pourrions continuer à faire une analyse similaire pour le reste du graphique. Mais nous allons nous arrêter ici pour le moment, car nous n’avons besoin que de la partie du graphique où 𝑥 approche la valeur de moins cinq pour répondre à la question donnée.
Nous savons que si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq existe, alors elle doit être égale à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la gauche et à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la droite. Calculons la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la gauche. Pour ce faire, nous considérerons les valeurs de 𝑥 proches de moins cinq mais strictement inférieures à moins cinq. Par conséquent, nous devons considérer la sous-fonction de 𝑓 dont le domaine de définition contient les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins 10 mais strictement inférieures à moins cinq.
Nous voyons que lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la gauche, la sous-fonction se rapproche de la valeur moins sept, bien qu’elle n’atteigne pas cette valeur comme indiqué par le cercle creux. Par conséquent, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la gauche est moins sept. Maintenant, calculons la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la droite. Pour ce faire, nous considérerons des valeurs de 𝑥 proches de moins cinq mais strictement supérieures à moins cinq. Par conséquent, nous devons considérer la sous-fonction de 𝑓 dont le domaine de définition contient les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins cinq mais strictement inférieures à moins trois.
Nous voyons que lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la droite, la sous-fonction se rapproche de la valeur quatre et atteint cette valeur comme indiqué par le cercle vert rempli. Par conséquent, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la droite est égale à quatre. Puisque quatre n’est pas égal à moins sept, nous avons que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la gauche n’est pas égale à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la droite. Par conséquent, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq n’existe pas. Ceci est notre réponse finale.
