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Trouvez l’ensemble solution de log de base trois de 𝑥 égale log de base neuf de quatre sur l’ensemble des nombres réels.
Évidemment, nous aimerions trouver la valeur, ou les valeurs possibles de 𝑥, et nous avons le log de base trois de 𝑥 sur le membre gauche. Comment pouvons-nous transformer cela en 𝑥? Bien, trois à la puissance du membre gauche sera égal à trois à la puissance du membre droit et bien sûr trois à la puissance du log de base trois de 𝑥 est juste 𝑥. Il s’agit juste d’un cas spécifique de 𝑏 à la puissance du log de base 𝑏 de 𝑥, ce qui est égal à 𝑥, ici avec 𝑏 égal à trois.
Nous avons donc 𝑥 est égal à trois à la puissance du log de base neuf de quatre. Pouvons-nous simplifier ce membre droit ? En effet, oui. En fait, si vous le tapez dans une calculatrice, vous constaterez que trois à la puissance du log de base neuf de quatre est juste deux. Pouvons-nous le montrer sans utiliser notre calculatrice ? A nouveau, oui. Trois à la puissance du log de base neuf de quatre fois trois à la puissance du log de base neuf de quatre est neuf à la puissance du log de base neuf de quatre. Il s’agit juste d’un cas spécifique de 𝑎 à la puissance 𝑛 fois 𝑏 à la puissance 𝑛, ce qui donne 𝑎 fois 𝑏 à la puissance 𝑛. Ici, 𝑎 et 𝑏 égalent trois et 𝑛 est le log de base neuf de quatre. Neuf à la puissance du log de base neuf de quatre est quatre.
Ainsi, si nous prenons la racine carrée des deux membres, nous voyons que trois à la puissance du log de base neuf de quatre est plus ou moins deux. Bien sûr, lorsque vous élevez un nombre positif à la puissance d’un autre nombre, vous obtenez toujours un nombre positif. Ainsi, trois à la puissance du log de base neuf de quatre doit être égal à deux. Alors, nous pouvons écrire 𝑥 est égal à deux. Bien sûr, nous cherchons l’ensemble de solutions de cette équation, nous devons donc mettre cette solution, deux, dans un ensemble.
L’ensemble solution est l’ensemble contenant le nombre deux et rien d’autre. Au lieu d’essayer d’obtenir immédiatement 𝑥 du membre gauche, nous aurions pu décider de faire du membre droit le log de base trois de quelque chose. Nous pourrions alors diviser les deux membres par le log de base neuf de trois. Nous avons choisi de le faire car nous pouvons ensuite appliquer la formule de changement de base : log de base 𝑘 de 𝑎 sur log de base 𝑘 de 𝑏 égale log 𝑏 de 𝑎, où 𝑘 est neuf, 𝑎 est quatre et 𝑏 est trois. Nous obtenons donc le log de base trois de quelque chose sur le membre droit.
Qu’est-ce que le log de base neuf de trois ? Une autre façon de demander cela est de dire : neuf à la puissance quoi vaut trois? La réponse est : un demi. Par conséquent, le membre gauche est le log de base trois de 𝑥 sur un demi. En multipliant les deux membres par un demi, nous obtenons le log de base trois de 𝑥 est un demi log de base trois de quatre.
Il s’avère que nous pouvons simplifier le membre droit en utilisant une autre loi des logarithmes. Le membre droit est le log de base trois de quatre à la puissance un demi, qui est le log de base trois de deux. Ainsi, comme avant, nous obtenons 𝑥 égale deux.
