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Soit 𝑥 une variable aléatoire continue avec pour fonction de densité 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 sur huit si 𝑥 est strictement compris entre deux et trois, un sur 48 si 𝑥 est strictement compris entre trois et 36 et zéro sinon. Déterminez la probabilité que 𝑥 soit compris entre 11 et 24.
On rappelle qu’une variable aléatoire continue est une variable qui peut prendre une infinité de valeurs. Pour déterminer la probabilité que 𝑥 appartienne à un intervalle donné, on utilise une fonction de densité de probabilité. Une fonction de densité de probabilité doit vérifier un certain nombre de conditions. La première est que 𝑓 de 𝑥 doit être supérieur ou égal à zéro pour tout 𝑥. La deuxième est que l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 entre moins l’infini et plus l’infini doit être égale à un. Et la troisième, celle qui nous intéresse ici, est que la probabilité que 𝑥 soit strictement compris entre 𝑎 et 𝑏 doit être égale à l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 entre 𝑎 et 𝑏.
Et puisqu’il s’agit d’une fonction continue, c’est aussi la probabilité que 𝑥 soit supérieur ou égal à 𝑎 et inférieur ou égal à 𝑏. Et tant mieux, car dans cette question, on cherche à déterminer la probabilité que 𝑥 soit supérieur ou égal à 11 et inférieur ou égal à 24. Donc, la probabilité que 𝑥 soit supérieur ou égal à 11 et inférieur ou égal à 24 est égale à l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 entre 11 et 24. On peut voir qu’ici, 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux. Alors quelle partie de la fonction doit-on utiliser?
Eh bien, la partie de la fonction qui nous intéresse est la deuxième, là où les valeurs de 𝑥 sont strictement comprises entre trois et 36. Car n’oublions pas que dans cette question, on cherche à ce que 𝑥 soit compris entre 11 et 24. Donc, on doit calculer l’intégrale définie entre 11 et 24 de un sur 48, par rapport à 𝑥. Intégrer un sur 48 nous donne 𝑥 sur 48. Donc, la probabilité que 𝑥 soit compris entre 11 et 24 est égale à 24 sur 48 moins 11 sur 48, ce qui est égal à 13 sur 48. On a montré que si 𝑥 est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est celle donnée dans l’énoncé, alors la probabilité que 𝑥 soit compris entre 11 et 24 est égale à 13 sur 48.
