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Le tableau suivant montre les valeurs de la fonction 𝑓 à diverses valeurs d'entrée 𝑚. Quelle expression de 𝑓(𝑚) correspond le mieux aux données ? (A) 230 multiplié par 1,12 puissance un moins 𝑚, (B) 230 multiplié par 0,79 puissance 𝑚, (C) 230 multiplié par 0,79 puissance moins 𝑚, (D) 230 multiplié par 1,12 puissance 𝑚 ou (E) 230 multipliée par 0,79 puissance 𝑚 moins un.
Alors, pour nous aider à résoudre ce problème, rappelons la forme générale d’une fonction exponentielle. Cette fonction 𝑓 de 𝑥 est de la forme 𝐴 multiplié par 𝑏 puissance 𝑥, où 𝐴 est la valeur initiale, 𝑏 correspond à la vitesse et 𝑥 est une variable indépendante, qui est généralement le temps. Et nous avons aussi des conditions, qui sont que 𝑏 doit être positif et ne peut pas être égal à un. Et nous pouvons voir que toutes les fonctions proposées sont de cette forme.
Et en fait, dans cet exercice, nous avons une fonction de la forme 𝑓 de 𝑚 égale 𝐴𝑏 puissance 𝑚. Car 𝑚 est la variable indépendante. Alors, pour résoudre ce type de problème où nous avons un tableau de valeurs, il faut chercher le point correspondant aux valeurs zéro, 𝐴. Et nous cherchons ce point car cela nous permet d’identifier la valeur initiale. La valeur initiale correspond en effet à la valeur de la fonction en zéro. Et dans ce cas, il s’agit de 𝑚 égal zéro.
Donc, dans cet exemple, nous pouvons voir que 𝐴 est égal à 230. Et nous allons maintenant utiliser un autre point de la série des données. Et nous allons utiliser ce point pour déterminer les autres variables. Donc, nous allons utiliser le deuxième point, où 𝑚 est égal à deux et 𝑓 de 𝑚 est égal à 140. Alors, si nous remplaçons cela dans la forme générale, nous obtenons 140. Car 𝑓 de 𝑚 est égal à 230, ce qui correspond à 𝐴, que nous avons calculé, multiplié par 𝑏. Et le 𝑏 est au carré. Car la valeur de 𝑚 est deux.
Alors, nous allons diviser les deux côtés par 230. Et en faisant cela, nous obtenons 140 sur 230 égal à 𝑏 au carré. Alors, nous allons prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation pour trouver 𝑏. Et en faisant cela, nous obtenons 𝑏 égal à 0,780 etc. Alors, rappelons que la valeur négative ne nous intéresse pas car nous avons déjà dit que 𝑏 doit être positif et ne peut pas être égal à un. Alors, si nous remplaçons cette valeur dans la fonction de 𝑚, nous obtenons 𝑓 de 𝑚 égale à 230 multiplié par et nous avons 0,780 etc. puissance 𝑚. Alors, si nous comparons cela aux réponses proposées, nous voyons que la réponse la plus proche est (B) 230 multipliée par 0,79 puissance 𝑚.
