Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes concrets impliquant des fonctions exponentielles.
Les fonctions exponentielles apparaissent dans de nombreux modèles mathématiques représentant des problèmes concrets. Les modèles exponentiels représentent généralement des situations où le taux de variation d’une quantité est constant sur une période de longueur donnée. On peut classer les modèles exponentiels en deux grandes catégories : croissance exponentielle et décroissance exponentielle. Nous allons commencer par étudier des modèles de croissance exponentielle. Les modèles de croissance exponentielle représentent des situations concrètes où une quantité augmente avec le temps. Les modèles les plus simples de ce type sont les problèmes de doublement, où la quantité double à chaque période.
Voyons avec le premier exemple comment établir un modèle de croissance exponentielle pour un problème concret.
Exemple 1: Former et évaluer des expressions exponentielles dans un contexte concret
Un micro-organisme se reproduit par division cellulaire tel que chaque cellule se divise en deux cellules chaque heure. Sachant qu’il y avait initialement 15 141 cellules, calculez combien de cellules il y aura après 5 heures.
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer le nombre de cellules après 5 heures. Nous savons que le nombre initial de cellules était de 15 141. Étant donné que chaque cellule se divise en deux cellules chaque heure, le nombre de cellules double après une heure. Cela signifie qu’après 1 heure, il y aura
Puis, après 2 heures, chacune de ces cellules se divisera à nouveau, ce qui donne
On peut continuer à doubler le nombre de cellules pour obtenir le nombre de cellules chaque heure jusqu’à atteindre 5 heures :
Par conséquent, le nombre de cellules après 5 heures est de 484 512.
Dans l’exemple précédent, nous avons résolu un problème de doublement concret en multipliant la quantité précédente par 2 pour obtenir la quantité suivante. En observant la solution de près, on peut voir un modèle apparaître. Plus précisément, on constate que l’on obtient le nombre de cellules après en multipliant le nombre initial de cellules, c’est-à-dire 15 141, par une puissance de 2. Visualisons ce modèle en écrivant ces nombres comme des puissances de 2
D’après cette liste, on voit clairement que
Il s’agit d’une fonction exponentielle où est la variable indépendante de la fonction et représente le nombre passés en heures depuis le début. Dans l’exemple suivant, nous allons identifier un modèle exponentiel pour un problème de doublement.
Exemple 2: Établir une expression exponentielle à l’aide de deux variables
Une start-up a remarqué que le nombre d’utilisateurs de son produit double chaque mois. Ce mois-ci, ils ont eu 4 000 utilisateurs. En supposant que cette tendance continue, formulez une expression permettant de calculer , le nombre d’utilisateurs dans .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons trouver une expression mathématique de , qui représente le nombre d’utilisateurs dans . On sait que la start-up compte actuellement 4 000 utilisateurs. Il est indiqué que le nombre d’utilisateurs double chaque mois. Cela signifie que le nombre d’utilisateurs après 1 mois sera de
Par conséquent, le nombre d’utilisateurs le mois prochain devrait être de 8 000. On peut continuer en suivant le même modèle et ainsi de suite. On peut donc calculer le nombre d’utilisateurs d’un mois donné en multipliant le nombre d’utilisateurs du mois précédent par 2. On voit ainsi un schéma apparaître où on multiplie le nombre d’utilisateurs initial, c’est-à-dire 4 000, par une puissance de 2 correspondant au nombre de mois. On conclut donc que le nombre d’utilisateurs d’ici sera
Dans l’exemple précédent, nous avons identifié un modèle exponentiel pour un problème de doublement concret. Comme on multiplie consécutivement la quantité de la période précédente par 2 pour obtenir la nouvelle quantité, il est logique que l’expression résultante soit une puissance de 2 et donc une fonction exponentielle de base 2 en fonction du temps. On peut donc dire qu’en général, les situations où une quantité double à chaque période mènent à une fonction exponentielle de base 2. Mais cette quantité ne doit pas nécessairement doubler. En suivant la même méthode, on peut trouver des modèles exponentiels si la quantité varie d’un autre taux fixe sur une période donnée. Dans de tels cas, elle peut tripler, quadrupler ou, plus généralement, varier d’un taux quelconque positif. Les fonctions exponentielles capturent le modèle d’une quantité qui varie d’un taux fixe sur une période donnée. Considérer des taux quelconques positifs nous permet d’inclure des modèles plus sophistiqués tels que la taille de la population et le solde d’un compte bancaire.
Donnons la définition formelle de ces modèles.
Définition : Modèles exponentiels
Une fonction exponentielle a la forme générale pour des constantes et , . Les paramètres des modèles exponentiels représentent généralement des données réelles :
- La variable indépendante représente habituellement le temps, auquel cas on utilise souvent plutôt que .
- Comme , la quantité est la valeur initiale de la fonction, c’est-à-dire lorsque .
- La base indique la « vitesse » à laquelle la quantité varie avec le temps. Une croissance correspond à une base , tandis qu’une décroissance se produit lorsque .
Les figures ci-dessous illustrent les courbes représentatives de fonctions exponentielles dans ces deux cas.
Dans l’exemple précédent, nous avons obtenu le modèle exponentiel
Il s’agit d’un modèle exponentiel avec et . Comme attendu, correspond au nombre d’utilisateurs initial. De plus, indique bien qu’il s’agit d’un modèle de croissance. On voit en particulier grâce aux deux exemples précédents que les modèles de doublement conduisent toujours à des fonctions exponentielles de base .
Si on sait qu’un problème concret peut être modélisé par une fonction exponentielle de la forme , on peut trouver l’expression de la fonction exponentielle en identifiant les valeurs des deux constantes et . Dans l’exemple suivant, nous allons identifier un modèle de croissance exponentielle pour un problème de population réel.
Exemple 3: Établir un modèle exponentiel et l’utiliser pour résoudre un problème
Le recensement américain est effectué tous les . La population du Texas était de 3,05 millions en 1900 et de 20,9 millions en 2000. En modélisant la croissance démographique comme une croissance exponentielle, répondez aux questions suivantes.
- Établissez une fonction exponentielle de la forme modélisant la population du Texas en millions, décennies après 1900. Arrondissez la valeur de au millième près.
- Selon le modèle, quelle était la population du Texas en 1950 ? Donnez votre réponse en millions au centième près.
- En utilisant la valeur de de la partie A, reformulez la fonction sous la forme où est le temps en années après l’an 1900. Arrondissez la valeur de à quatre décimales près.
Réponse
Partie 1
Dans cette partie, nous devons trouver une fonction exponentielle de la forme
où est le nombre de décennies écoulées depuis 1900 et est la population du Texas en millions, décennies après 1900. Pour trouver cette fonction exponentielle, nous devons identifier les constantes et . Examinons les informations fournies.
L’énoncé indique que la population du Texas était de 3,05 millions en 1900. L’an 1900 correspond à puisque 1900 arrive 0 décennies après 1900. On en déduit que
En substituant dans (1), on obtient
Et comme , cela donne
Nous devons ensuite déterminer la valeur de . On sait également que la population du Texas était de 20,9 millions en 2000. L’an 2000 est 100 ans après l’an 1900, ce qui signifie que 10 décennies se sont écoulées depuis 1900. On en déduit donc que
En substituant dans (1), on obtient
Ce qui donne
En divisant les deux membres de cette équation par 3,05,
Prendre la racine dixième des deux membres de cette équation nous donne . La constante est la base d’une fonction exponentielle et nous savons que la base d’une fonction exponentielle doit être positive. Par conséquent,
En substituant et dans l’équation (1), on a
Partie 2
Nous devons calculer la population du Texas en 1950 à partir du modèle que nous avons établi dans la partie précédente. On remarque que l’an 1950 est 50 ans, soit 5 décennies, après 1900. On peut donc calculer la population du Texas en 1950 d’après notre modèle en substituant dans l’expression ci-dessus. Cela nous donne
En rappelant que l’unité de est le million d’habitants et en arrondissant au centième, la population du Texas en 1950 était de 7,98 millions selon notre modèle.
Partie 3
Dans cette partie, nous devons reformuler notre modèle exponentiel de la population du Texas par
où est le nombre d’années, au lieu de décennies, depuis l’an 1900 et est la population du Texas années après 1900. Plutôt qu’établir un tout nouveau modèle, nous pouvons commencer avec le modèle de la partie 1 : la population du Texas décennies après 1900 était de
Comme 1 an est égal à décennie, est égal à décennies. En d’autres termes, années après 1900 est équivalent à décennies après 1900. En substituant donc dans l’expression ci-dessus, on obtient
Cela n’est pas sous la forme de l’équation (2) mais on peut appliquer les lois des puissances pour simplifier cette expression. On rappelle que pour toute base et exposants et ,
En utilisant cette loi et en notant , on peut écrire
On a donc à quatre décimales près. Par conséquent,
Jusqu’à présent, nous avons considéré quelques exemples concrets de croissance exponentielle. Penchons-nous maintenant sur les modèles de décroissance exponentielle. Comme le terme « décroissance » le suggère, les modèles de décroissance exponentielle représentent des situations réelles où une quantité diminue avec le temps. De la même manière que nous avons illustré les modèles de croissance exponentielle par des problèmes concrets de doublement, on peut comprendre les modèles de décroissance exponentielle en considérant des problèmes de réduction de moitié. Cela signifie qu’au lieu de doubler après chaque période, la quantité est réduite de moitié après chaque période.
L’exemple le plus commun d’un problème de réduction de moitié concerne les modèles de décroissance radioactive. Un élément radioactif, tel que l’uranium ou le carbone 14, est un élément de nature instable, ce qui signifie que l’élément se divise en éléments plus petits et plus stables au fil du temps. On associe une demi-vie à chaque élément radioactif. La demi-vie d’un élément radioactif est le temps nécessaire pour que la quantité de l’élément soit réduite de moitié par rapport à sa quantité initiale. Par exemple, la demi-vie du carbone 14 est de 5 730 ans, ce qui signifie qu’une quantité donnée de carbone 14 est réduite de moitié après ce nombre d’années. On peut utiliser cette information pour définir un modèle de décroissance exponentielle de la quantité ou de la concentration de carbone 14 dans un objet, qui peut ensuite être utilisé pour approcher l’âge de l’objet en comparant les concentrations actuelles et initiales de carbone 14. Ce processus est connu sous le nom de datation au carbone.
Dans la question suivante, nous allons étudier un problème de décroissance radioactive.
Exemple 4: Identifier des expressions exponentielles équivalentes
L’élément radioactif a une demi-vie de 1 semaine. Si une expérience commence avec 20 g de l’élément , on peut calculer la masse restante , en grammes, de l’élément après en utilisant l’expression . Déterminez une expression permettant de calculer la masse restante de l’élément après .
Réponse
Dans cet exemple, on sait que la masse de l’élément radioactif est définie par une fonction exponentielle où est le temps écoulé depuis le début de l’expérience, mesuré en semaines. Nous devons exprimer en fonction de , qui représente le temps mesuré en jours. Comme 1 jour est égal à , est égal à . Par conséquent, en substituant dans l’expression ci-dessus, on obtient
On rappelle qu’une fonction exponentielle est généralement de la forme pour des constantes et vérifiant , et . L’expression de que nous avons obtenue ci-dessus n’est pas sous cette forme puisque l’exposant est au lieu de simplement . On peut alors appliquer la loi des puissances qui stipule que pour reformuler par
Dans l’exemple précédent, nous avons vu un problème de réduction de moitié pour un élément radioactif. Comme les modèles de croissance exponentielle, les quantités décroissantes ne doivent pas nécessairement diminuer de moitié. Toute base d’une fonction exponentielle telle que crée un modèle de décroissance exponentielle. Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un modèle de décroissance exponentielle et déterminer le taux de décroissance.
Exemple 5: Évaluer une fonction représentant une décroissance exponentielle
Une population de bactéries diminue à la suite d’un traitement chimique. La population après l’application du traitement peut être modélisée par la fonction , où .
- À combien s’élevait la population au moment où le produit chimique a été appliqué ?
- Quel est le taux de décroissance de la population ?
Réponse
Partie 1
Dans cette partie, nous devons calculer la population initiale, où la population est définie par une fonction exponentielle. On rappelle que dans une fonction exponentielle de la forme , la constante positive représente la quantité initiale. On peut donc voir dans l’expression donnée qu’au moment où le produit chimique a été appliqué, la population était de 6 000.
On peut également obtenir cette réponse directement en substituant puisque cette valeur de correspond au moment où le produit chimique a été appliqué. Cela donne
Partie 2
Dans cette partie, nous devons déterminer le taux de décroissance de la population. On rappelle qu’une fonction exponentielle avec représente une quantité qui diminue d’un taux fixe sur une période donnée. Comme est mesuré en nombre d’heures après l’application du traitement, le taux de décroissance de la population est égal au pourcentage de la population de bactéries qui ont disparu sur une période d’une heure. En utilisant le modèle , on a ce qui nous indique que la population de bactéries est maintenant égale à de la population initiale. On peut également voir que et ainsi de suite. Dans chaque cas, la population après est égale à de la population de bactéries de l’heure précédente. En d’autres termes, le taux de décroissance de la population est
Dans l’exemple précédent, nous avons étudié un modèle de décroissance exponentielle pour identifier le taux de décroissance. Le taux de décroissance est la proportion de la quantité qui diminue sur une période donnée. Si on désigne ce taux par , on peut obtenir la quantité de la période suivante en multipliant la quantité de la période précédente par .
Définition : Taux de décroissance dans les modèles de décroissance exponentielle
Si le taux de décroissance d’une quantité sur une unité de temps donnée est de tel que , et que la quantité initiale est , alors le modèle de décroissance exponentielle est défini par
Il convient de noter que doit être exprimé en proportion et non en pourcentage. Dans la partie 2 de l’exemple précédent, nous avons conclu que le taux de décroissance de la population était de . Pour obtenir dans ce cas, il faudrait convertir le pourcentage en proportion :
Nous avons de plus trouvé dans la partie 1 de cet exemple que la population initiale était de 6 000, ce qui signifie que . En appliquant la définition ci-dessus, on obtient le modèle de décroissance exponentielle
On peut voir qu’il s’agit bien du même modèle que le modèle exponentiel fourni dans le problème.
Dans le dernier exemple, nous allons identifier un modèle de décroissance exponentielle pour un problème concret.
Exemple 6: Établir une expression exponentielle à deux variables
Le nombre de visiteurs d’un musée diminue de par an. Cette année, il y a eu 50 000 visiteurs. En supposant que la baisse continue, déterminez une expression permettant de calculer , le nombre de visiteurs dans années.
Réponse
L’énoncé indique que le nombre de visiteurs diminue de par an et qu’il y a eu 50 000 visiteurs cette année. Nous devons déterminer le nombre de visiteurs dans années. Comme le nombre de visiteurs diminue de par an, le nombre de visiteurs de l’an prochain sera égal à du nombre de visiteurs de cette année. Cela signifie que
Le nombre de visiteurs dans sera égal à de ce nombre, on peut donc le calculer en multipliant le nombre ci-dessus par 0,97. En continuant ainsi, on obtient et ainsi de suite. On voit alors un modèle se dessiner où on peut calculer le nombre de visiteurs après en multipliant 50 000 par . Par conséquent, le nombre de visiteurs dans années sera
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Les modèles exponentiels représentent des situations concrètes où le taux de variation d’une quantité est constant sur une période donnée. Si la quantité augmente, on parle de modèle de croissance exponentielle. Si la quantité diminue, il s’agit d’un modèle de décroissance exponentielle.
- Une fonction exponentielle peut être écrite sous la forme générale pour des constantes et , . Les paramètres des modèles exponentiels représentent généralement des données réelles :
- La variable indépendante représente habituellement le temps, auquel cas on utilise souvent plutôt que .
- Comme , la quantité est la valeur initiale de la fonction, c’est-à-dire lorsque .
- La base indique la « vitesse » à laquelle la quantité varie avec le temps. Une croissance correspond à une base , tandis qu’une décroissance se produit lorsque .
- Si le taux de décroissance d’une quantité sur une unité de temps donnée est pour et que la quantité initiale est , alors le modèle de décroissance exponentielle est défini par
