Vidéo de la leçon: Applications des fonctions exponentielles Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes concrets impliquant des fonctions exponentielles. Pour ce faire, rappelons les formes générales de la fonction exponentielle. Commençons par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où la base 𝑏 est un nombre positif différent de un. Mais pour modéliser des données de la vie réelle sous forme exponentielle, il faut faire une petite modification. On prend 𝑓 de 𝑥 égale 𝐴 fois 𝑏 puissance 𝑥. Là encore, 𝑏 est un nombre positif différent de un. La variable indépendante, la puissance, représente en général une unité de temps. Et la variable 𝐴 représente la valeur initiale de ce que mesure la fonction.

On trouve facilement la valeur initiale quand 𝑥 est nul et que le temps ne s’est pas encore écoulé. On a déjà précisé que la base 𝑏 était un nombre positif différent de un. Cette valeur de la base 𝑏 indique à quelle vitesse varie la quantité au cours du temps. Elle indique la variation de la valeur initiale. Et ces variations entrent dans l’une des deux catégories suivantes. On aura soit une fonction qui augmente avec le temps, soit une fonction qui diminue avec le temps. Une augmentation correspond à une croissance exponentielle, tandis qu’une diminution correspond à une décroissance exponentielle. Dans le cas d’une croissance exponentielle, la valeur de 𝑏 est supérieure à un. Et dans le cas d’une décroissance exponentielle, la valeur de 𝑏 est inférieure à un.

Mais rappelez-vous, on a dit que 𝑏 était positive. Ça veut dire que dans le cas d’une décroissance exponentielle, la valeur de 𝑏 est comprise entre zéro et un. Avant de passer aux exemples, faisons une remarque à propos de cette valeur de 𝑏. En modélisation exponentielle, nous aurons très souvent affaire à un pourcentage d’augmentation ou de diminution. Et il faut bien réfléchir à comment traduire un pourcentage d’augmentation ou de diminution en une valeur de la base exponentielle.

Supposons qu’on souhaite modéliser une diminution de trois pour cent au cours du temps. Puisqu’on sait qu’il s’agit d’une diminution, il faut rechercher une valeur de base comprise entre zéro et un. On sait aussi que trois pour cent est égal à trois sur 100 ou, sous forme décimale, 0,03. Mais cette fonction modélise la variation de la quantité initiale au cours du temps. Ça veut dire qu’on ne modélise pas combien on a perdu, mais ce qui reste après chaque unité de temps. Et si la diminution est de trois pour cent, alors il reste 97 pour cent. Ce qui veut dire que, si on l’exprime par une fonction, appelons-la 𝑓 de 𝑥, elle est égale à 𝑎 fois 0,97 puissance 𝑥. Il est également possible de la modéliser comme la fraction 97 sur 100 élevée à la puissance 𝑥, même s’il est plus courant d’utiliser la forme décimale pour ce type de modélisation.

Voyons maintenant comment modéliser une augmentation de trois pour cent. Ce pourcentage écrit sous forme décimale vaut 0.03. Ça veut dire qu’on gagne trois pour cent de la valeur initiale à chaque unité de temps. Et dans le cas d’une augmentation exponentielle, cette valeur 𝑏 sera supérieure à un. Ici, nous avons cent pour cent de la valeur initiale plus l’augmentation de trois pour cent à chaque unité de temps. Ce qui se modélise ainsi, 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 fois 1,03 à la puissance 𝑥. En modélisation, il y a quelques ratios usuels qu’on rencontre régulièrement. Si la valeur double à chaque unité de temps, alors 𝑏 est égal à deux. Et si la valeur diminue de moitié à chaque unité de temps, alors 𝑏 est égal à un demi. Nous voilà prêts à traiter quelques exemples.

Le nombre de personnes visitant un musée diminue de trois pour cent chaque année. Cette année, il y a eu 50 000 visiteurs. En supposant que cette diminution se poursuive, écrivez une équation qui exprime le nombre de visiteurs 𝑉 qu’il restera dans 𝑡 années.

Lorsqu’on a affaire à une diminution en pourcentage, il ne s’agit pas d’une fonction linéaire ; la modélisation nécessite une fonction exponentielle. Ça veut dire qu’on utilisera la forme générale 𝑓 de 𝑥 égale 𝐴 fois 𝑏 puissance 𝑥. La variable 𝑏 est le taux de variation. La variable 𝑥 représente l’unité de temps mesuré. Et 𝐴 représente la valeur initiale. Pour être clair, ici on cherche à modéliser le nombre de visiteurs qui se rendront à ce musée.

Une diminution de trois pour cent du nombre de visiteurs signifie qu’il restera 97 pour cent des visiteurs. Puisqu’on modélise le nombre de visiteurs, on utilise 97 pour cent. Écrivons ce pourcentage sous forme décimale 0,97. On sait que la valeur 𝑥 se mesure en 𝑡 années. Et la valeur de départ, la valeur initiale, ce sont les 50 000 visiteurs de cette année. Notre équation s’écrit avec un 𝑉 majuscule, ce qui donne l’équation 𝑉 égale 50 000 fois 0,97 puissance 𝑡.

Dans l’exemple suivant, on nous donne un modèle et il s’agit d’interpréter les données de ce modèle.

Une population de bactéries diminue à la suite d’un traitement chimique. 𝑡 heures après l’application du traitement, la population se modélise à l’aide de la fonction 𝑃 de 𝑡, où 𝑃 de 𝑡 est égale à 6000 fois 0,4 puissance 𝑡. Quelle était la population lors de la première application du traitement ? Quel est le taux de diminution de la population ?

Notre fonction a pour forme générale 𝑓 de 𝑥 égale 𝐴 fois 𝑏 puissance 𝑥. Sous cette forme, 𝐴 correspond à la valeur initiale, on peut donc identifier 6000 comme la valeur initiale. Pour vérifier que c’est vrai, prenons 𝑡 égale zéro. Lorsque le temps ne s’est pas encore écoulé, la bactérie a sa population initiale. 0,4 puissance zéro égale un, et 6000 fois un est égal à 6000, ce qui confirme la valeur de la population initiale. Maintenant, passons au taux de diminution de la population.

Pour ce modèle, on sait que la valeur de 𝑏 nous informe sur le taux. La fonction telle qu’elle est écrite exprime le nombre de bactéries qu’il reste après 𝑡 heures. S’il en reste 0,4, alors la diminution est de 0,6. Si on commence par une quantité totale, un certain taux de diminution aboutira à ce qu’il reste 0,4 de la population. Cette valeur est ici 0,6. On préfère généralement répondre sous forme de pourcentage, donc on dit qu’il y a eu diminution de 60 pour cent. Ce modèle indique qu’après le traitement chimique, la population de bactéries a diminué de 60 pour cent par heure.

Dans l’exemple suivant, nous allons écrire un modèle, puis l’utiliser pour déterminer une quantité après une certaine durée.

Un micro-organisme se reproduit par fission binaire : chaque heure, chaque cellule se divise en deux cellules. Sachant qu’il y avait au début 15 141 cellules, donnez le nombre de cellules au bout de cinq heures.

Comme ce micro-organisme se reproduit, on s’attend à une augmentation du nombre de cellules, et donc à une croissance exponentielle. Notre unité de temps est l’heure. Cela signifie que 𝑡 représente le nombre d’heures écoulées depuis le début. Si chaque heure, une cellule se divise en deux cellules, une cellule devient deux cellules après une heure. Une heure plus tard, ces deux cellules deviennent quatre. Cela représente un doublement des cellules toutes les heures.

Il faut donc prendre la forme exponentielle 𝑓 de 𝑥 égale 𝐴 fois 𝑏 puissance 𝑥, où 𝐴 est la valeur initiale, 15 141. 𝑏 est le taux. Puisque le taux double, 𝑏 est égal à deux. Et la variable est 𝑡. Ce sont des unités de temps. On veut maintenant utiliser cette fonction pour déterminer le nombre de cellules au bout de cinq heures, ce qui signifie qu’il faut calculer 15 141 fois deux puissance cinq, ce qui donne 484 512. Après cinq heures, on s’attend à ce que ce micro-organisme ait 484 512 cellules.

Dans le dernier exemple, nous utiliserons les données fournies pour créer un modèle de population.

Le recensement américain a lieu tous les 10 ans. La population du Texas était de 3,05 millions en 1900 et de 20,9 millions en 2000. À l’aide d’un modèle de croissance exponentielle, répondez aux questions suivantes. Écrivez une fonction exponentielle sous la forme 𝑃 de 𝑑 égale 𝑃 zéro fois 𝑘 puissance 𝑑 pour modéliser la population du Texas, en millions, 𝑑 décennies après 1900. Si nécessaire, arrondissez la valeur de 𝑘 à trois décimales. D’après ce modèle, quelle était la population du Texas en 1950 ? Donnez votre réponse avec trois chiffres significatifs. Enfin, réécrivez la fonction sous la forme 𝑃 de 𝑦 est égal à 𝑃 zéro fois 𝑏 puissance 𝑦, où 𝑦 est le nombre d’années écoulées depuis 1900. Arrondissez la valeur de 𝑏 à quatre décimales.

Commençons par ce qu’on sait. En 1900, la population était de 3,05 millions d’habitants. En 2000, cette valeur était passée à 20,9 millions. On connaît la forme générale de la fonction exponentielle 𝑓 de 𝑥 égale 𝐴 fois 𝑏 puissance 𝑥. Utilisons cette forme générale avec la fonction 𝑃 de 𝑑 égale 𝑃 zéro fois 𝑘 puissance 𝑑, où 𝑑 représente le nombre de décennies passées depuis 1900. Ça veut dire que la valeur initiale 𝑃 zéro est la population en 1900. Puisque nous parlons en millions, laissons-la à 3,05. 𝑘 est la valeur inconnue. Pour trouver 𝑘, on peut utiliser l’autre donnée.

On sait qu’en 2000, la population était de 20,9 millions d’habitants. On sait aussi que 2000 est arrivé 10 décennies après 1900. On peut utiliser toutes ces informations pour trouver 𝑘. Pour obtenir 𝑘, divisons chaque côté de l’équation par 3,05, ce qui donne 6,8524 etc. est égal à 𝑘 puissance 10. Au lieu d’arrondir ce nombre, utilisons-le tel quel dans la calculatrice. Pour isoler 𝑘, élevons chaque côté de cette équation à la puissance un dixième. 𝑘 à la puissance 10 à la puissance un dixième est égal à 𝑘, et 6,8524 et des poussières à la puissance un dixième est égal à 1,212228 et des poussières. On souhaite arrondir cette valeur 𝑘 à trois décimales près.

La quatrième décimale est deux. Donc on répond 𝑘 égale 1,212. Cette valeur de 𝑘 supérieure à un indique qu’il s’agit d’une croissance de la population. En écrivant le nombre décimal 0,212 sous forme de pourcentage, on trouve que la population augmente d’environ 21,2 pour cent chaque décennie. On a donc créé un modèle qui donne la population 𝑑 décennies après 1900. 𝑃 de 𝑑 est égal à 3,05 fois 1,212 puissance 𝑑. À l’aide de ce modèle, on souhaite estimer la population en 1950. 1950, c’est 50 ans après 1900, soit cinq décennies. Il faut calculer 𝑃 de cinq, 3,05 fois 1,212 puissance cinq, ce qui est égal à 7,9765 et quelques. Ici, trois chiffres significatifs correspondent à la deuxième décimale. En arrondissant à la deuxième décimale, on obtient 7,98. D’après ce modèle, on peut estimer la population du Texas en 1950 à 7,98 millions d’habitants.

Pour la troisième partie de la question, on va réécrire ce modèle exponentiel en prenant pour unité de temps le nombre d’années plutôt que le nombre de décennies. C’est très similaire à ce que nous avons fait dans la première partie. C’est toujours la même valeur initiale 3,05. Mais pour trouver 𝑦, on va utiliser la deuxième donnée. En 2000, la population était de 20,9 millions d’habitants. Et c’était 100 ans après la valeur initiale. Il faut donc prendre 𝑦 égale 100, puis on pourra trouver 𝑏. En divisant chaque côté de l’équation par 3,05, on obtient 6,8524 égale 𝑏 puissance cent. Encore une fois, on ne va pas arrondir tout de suite ce 6,852. Laissons-le dans la calculatrice afin d’élever les deux côtés de cette équation à la puissance un sur 100.

𝑏 puissance cent puissance un sur 100 est égal à 𝑏. Et 6,8524 et quelques puissance un sur 100 est égal à 1,01943 et quelques. Cette fois, on arrondit à quatre décimales, ce qui donne 𝑏 égale 1,0194. La valeur de 𝑏 est inférieure à la valeur de 𝑘. D’après la valeur de 𝑏, la croissance démographique était de 1,94 pour cent par an, contre une croissance de 21,2 pour cent par décennie. Donc, pour le modèle annuel, on a 𝑃 de 𝑦 égale 3,05 fois 1,0194 puissance 𝑦.

Maintenant, récapitulons les points clés. La forme exponentielle pour modéliser des problèmes de la vie réelle est 𝑓 de 𝑥 égale 𝐴 fois 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑎 est la quantité initiale, 𝑏 est l’évolution de la quantité au cours du temps — si 𝑏 est supérieur à un, il s’agit d’une croissance exponentielle, si 𝑏 est compris entre zéro et un, il s’agit d’une décroissance exponentielle — et 𝑥 est l’unité de temps.